青海省中考数学五年中考荟萃第6章 图形的变化 第1节 图形的轴对称与中心对称.docx
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青海省中考数学五年中考荟萃第6章图形的变化第1节图形的轴对称与中心对称
第六章 图形的变化
第一节 图形的轴对称与中心对称
青海五年中考命题规律）
年份
题型
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2017
填空
10
轴对称图形
由点的移动、旋转判断其路径形成的图形是属于哪种对称
2
2
2016
选择
14
轴对称图形
判断对称轴的条数
3
3
2015
未考查
2014
选择
16
图形的对称
判断既是中心对称图形，又是轴对称图形的图形
3
3
2013
填空
6
对称与折叠
利用折叠的性质求角的度数
2
选择
14
图形的对称
判断既是中心对称图形，又是轴对称图形的图形
3
5
命题规律
纵观青海省近五年中考，图形的对称与折叠共考查5次，多以选择题形式出现，没设解答题，考查难度较低，基本上是送分题．预计2018年青海中考仍会涉及图形对称的识别，也可能涉及几何图形折叠问题的计算.
青海五年中考真题）
图形对称的判断
1．（2017青海中考）如图，在一个4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A在格点上，动点P从A点出发，先向右移动2个单位长度到达P1，P1绕点A逆时针旋转90°到达P2，P2再向下移动2个单位长度回到A点．P点所经过的路径围成的图形是__轴对称__（选填“轴对称”或“中心对称”）图形．
2．（2016青海中考）以下图形，对称轴的数量小于3的是（ D ）
A）
B）
C）
D）
3．（2014青海中考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ B ）
A）
B）
C）
D）
4．（2013青海中考）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ C ）
A）
B）
C）
D）
5．（2016西宁中考）在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形，下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（ D ）
A）
B）
C）
D）
6．（2014西宁中考）将两个全等的直角三角形纸片构成如下的四个图形，其中属于中心对称图形的是（ C ）
A）
B）
C）
D）
对称与折叠中的计算
7．（2016西宁中考）将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC＝（ A ）
A．73°B．56°
C．68°D．146°
8．（2013青海中考）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于G，已知∠EFG＝56°，那么∠BEG＝__68°__．
（第8题图）
（第9题图）
9．（2015西宁中考）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，BD为AC边上的高，将△ABC折叠，使点B与D重合，折痕EF交BD于点D1，再将△BEF折叠，使点B与点D1重合，折痕GH交BD1于点D2，依次折叠，则BDn＝__
__．
中考考点清单）
轴对称图形与轴对称
轴对称图形
轴对称
图
形
定
义
如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴
如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴
性
质
对应线段相等
AB＝①__AC__
AB＝A′B′
BC＝B′C′
AC＝A′C′
对应角相等
∠B＝∠C
∠A＝②__∠A′__，
∠B＝∠B′，∠C＝∠C′
对应点所连的线段被对称轴垂直平分
区
别
（1）轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；
（2）对称轴不一定只有一条
（1）轴对称是指③__两个__图形的位置关系，必须涉及两个图形；
（2）只有一条对称轴
关
系
（1）沿对称轴对折，两部分重合；
（2）如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称
（1）沿对称轴翻折，两个图形重合；
（2）如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形
【规律总结】1.常见的轴对称图形：
等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．
2．折叠的性质：
折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．
【方法技巧】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．
1．与三角形结合：
（1）若涉及直角，则优先考虑直角三角形的性质（勾股定理及斜边上的中线等于斜边的一半），若为含特殊角的直角三角形，则应利用其边角关系计算；
（2）若涉及两边（角）相等，则利用等腰三角形的相关性质计算，若存在60°角，则利用等边三角形性质进行相关计算，一般会作出高线构造特殊角的直角三角形进行求解；
（3）若含有中位线，则需利用中位线的位置及数量关系进行量的代换．
2．与四边形结合：
（1）与平行四边形、矩形、菱形、正方形结合，往往会利用其特殊性质求解；
（2）若为一般的四边形，则可通过构造特殊的三角形或四边形求解．
中心对称图形与中心对称
中心对称图形
中心对称
图
形
定
义
如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心
如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称
性
质
对应点
点A与点C，点B与点D
点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′
对应
线段
AB＝CD，
AD＝BC
AB＝A′B′，④__BC__＝B′C′，AC＝A′C′
对应角
∠A＝∠C，
⑤__∠B__＝∠D
∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∠C＝∠C′
区
别
中心对称图形是指具有某种特性的一个图形
中心对称是指两个图形的关系
联
系
把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称
把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形
【规律总结】常见的中心对称图形：
平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．
中考重难点突破）
轴对称与中心对称图形的识别
【例1】（湖州中考）为了迎接杭州G20峰会，某校开展了设计“YJG20”图标的活动．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A）
B）
C）
D）
【解析】判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后对称轴的图形能够完全重合；判断中心对称图形的关键是寻找对称中心，将图形绕对称中心旋转180°后能够与原图形重合．选项A，D中的图形是轴对称图形，选项D中的图形也是中心对称图形．
【答案】D
1．（2017襄阳中考）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ C ）
A）
B）
C）
D）
2．（2017绍兴中考）一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（ B ）
A）
B）
C）
D）
3．（2017烟台中考）下列国旗图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ A ）
A）
B）
C）
D）
4．（2017河北中考）图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的正方形放在图②中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（ C ）
A．① B．②
C．③ D．④
5．（宁波中考）下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成的，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形；
（3）选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形．
（请将三个小题依次作答在图
（1）、图
（2）、图（3）中，均只需画出符合条件的一种情形）
解：
（1）画出下列其中一种即可：
（2）画出下列其中一种即可：
（3）画出下列其中一种即可：
图形折叠中的相关计算
【例2】如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（ ）
A．3B.
C．5D.
【解析】∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，由折叠知∠CBD＝∠EBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴ED＝EB.设ED＝EB＝x，则AE＝6－x，在Rt△ABE中，根据勾股定理，得BE2＝AE2＋AB2，即x2＝（6－x）2＋9，解得x＝
.
【答案】B
6．（南充中考）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上的点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（ C ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
（第6题图）
（第7题图）
7．（2017重庆中考）如图，正方形ABCD中，AD＝4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是__
__．
8．（2017滨州中考）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F.若AD＝8，AB＝6，AE＝4，则△EBF周长的大小为__8__．
9．（2017河北中考）如图，AB＝16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧
于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP.
（1）求证：
AP＝BQ；
（2）当BQ＝4
时，求
的长；（结果保留π）
（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．
解：
（1）连接OQ.∵AP，BQ分别与优弧
相切，∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，即∠APO＝∠BQO＝90°.又OA＝OB，OP＝OQ，∴Rt△APO≌Rt△BQO，∴AP＝BQ；
（2）∵BQ＝4
，OB＝
AB＝8，∠BQO＝90°，
∴sin∠BOQ＝
，∴∠BOQ＝60°.∵OQ＝8×cos60°＝4，∴
的长为
＝
；
（3）设点M为Rt△APO的外心，则M为OA的中点，∴OM＝4.当点M在扇形的内部时，OM＜OC，∴4＜OC＜8.
10．（2017河北中考）如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x＝－5与x轴交于点D，直线y＝－
x－
与x轴及直线x＝－5分别交于点C，E.点B，E关于x轴对称，连接AB.
（1）求点C，E的坐标及直线AB的解析式；
（2）设面积的和S＝S△CDE＋S四边形ABDO，求S的值；
（3）在求
（2）中S时，嘉琪有个想法：
“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？
”但大家经反复验算，发现S△AOC≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里．
解：
（1）把y＝0代入y＝－
x－
，得x＝－13.∴C（－13，0）．
把x＝－5代入y＝－
x－
，得y＝－3.∴E（－5，－3）．∵点B，E关于x轴对称，∴B（－5，3）．设直线AB的解析式为y＝kx＋b，则
解得
∴直线AB的解析式为y＝
x＋5；
（2）∵CD＝8，DE＝DB＝3，OA＝OD＝5，∴S△CDE＝
×8×3＝12，S四边形ABDO＝
×（3＋5）×5＝20，即S＝32；
（3）当x＝－13时，y＝
x＋5＝－0.2≠0，∴点C不在直线AB上，即A，B，C三点不共线，∴他的想法错在将△CDB与四边形ABDO拼接后看成了△AOC.
11．（2017德州中考）如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ.过点E作EF∥AB交PQ于点F，连接BF.
（1）求证：
四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时（如图②），求菱形BFEP的边长；
②若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
解：
（1）∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称．∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF.又∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP，∴∠EPF＝∠EFP，∴EP＝EF，∴BP＝BF＝FE＝EP.∴四边形BFEP为菱形；
（2）①∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°.∵点B与点E关于PQ对称，∴CE＝BC＝5cm.在Rt△CDE中，DE2＝CE2－CD2，即DE2＝52－32，∴DE＝4cm.∴AE＝AD－DE＝5－4＝1cm.在Rt△APE中，EP2＝AE2＋AP2.∵AE＝1，AP＝3－PB＝3－EP.∴EP2＝12＋（3－EP）2，解得EP＝
cm.∴菱形BFEP的边长为
cm；
②当点Q与点C重合时，如题图②，点E离A点最近，由①知，此时AE＝1cm.当点P与点A重合时，如答图，点E离A点最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，∴点E在边AD上移动的最大距离为3cm.
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