届中考数学复习第19课时全等三角形测试.docx
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届中考数学复习第19课时全等三角形测试
第四单元三角形
第十九课时全等三角形
基础达标训练
1.下列说法正确的是( )
A.全等三角形是指形状相同的两个三角形
B.全等三角形是指面积相等的两个三角形
C.两个等边三角形是全等三角形
D.全等三角形是指两个能完全重合的三角形
2.如图,在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠DEF,补充下列哪一条件后,
能应用“SAS”判定△ABC≌△DEF( )
第2题图
A.∠A=∠D
B.∠ACB=∠DFE
C.AC=DF
D.BE=CF
3.如图,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则对于结论①AC=AF,②∠FAB=∠EAB,③EF=BC,④∠EAB=∠FAC,其中正确结论的个数是( )
第3题图第4题图
4.(2017眉山)如图,EF过▱ABCD对角线的交点O,交AD于E,交BC于F,若▱ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为( )
A.14B.13C.12D.10
5.(2017黔东南州)如图,点B、F、C、E在一条直线上,已知FB=CE,AC∥DF,请你添加一个适当的条件________使得△ABC≌△DEF.
第5题图 第6题图
6.如图,Rt△ABC≌Rt△DCB,两斜边交于点O,如果AC=3,那么OD的长为________.
7.(2017达州)△ABC中,AB=5,AC=3,AD是△ABC的中线,设AD长为m,则m的取值范围是________.
第8题图
8.(2017新疆建设兵团)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中:
①∠ABC=∠ADC;②AC与BD相互平分;③AC,BD分别平分四边形ABCD的两组对角;④四边形ABCD的面积S=
AC·BD.正确的是__________.(填写所有正确结论的序号)
9.(6分)(2017云南)如图,点E、C在线段BF上,BE=CF,AB=DE,AC=DF.
求证:
∠ABC=∠DEF.
第9题图
10.(6分)(2017南充)如图,DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别是点E,F,DE=CF,AE=BF.求证:
AC∥BD.
第10题图
11.(6分)(2017郴州)已知△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D、E分别为边AB、AC的中点.
求证:
BE=CD.
第11题图
12.(8分)(2017株州模拟)已知△ABN和△ACM位置如图,AB=AC=3,BD=CE=2,∠B=∠C.
(1)求证:
∠1=∠2;
(2)若CM∥AB,求线段CM的长度.
第12题图
13.(8分)(2017苏州)如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.
(1)求证:
△AEC≌△BED;
(2)若∠1=42°,求∠BDE的度数.
第13题图
14.(8分)(2017湘潭)如图,在▱ABCD中,DE=CE,连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证:
△ADE≌△FCE;
(2)若AB=2BC,∠F=36°,求∠B的度数.
第14题图
15.(8分)(2017广西四市)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.
(1)求证:
AE=CF;
(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.
第15题图
16.(8分)(2017长沙中考模拟卷一)如图,已知△ABC是等边三角形,点D、E分别是AC、BC上的两点,AD=CE,且AE与BD交于点P,BF⊥AE于点F.
(1)求证:
△ABD≌△CAE;
(2)若BP=6,求PF的长.
第16题图
能力提升训练
1.在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是AC的中点,EC⊥BD于E,交BA的延长线于点F,若BF=12,则△FBC的面积为( )
A.40 B.46 C.48 D.50
第1题图 第2题图
2.如图,点C为线段AB上一点,△DAC、△ECB都是等边三角形,AE、DC交于点M,DB、EC交于点N,DB、AE交于点P,连接MN,下列说法中正确的个数有( )
①MN∥AB;②∠DPM=60°;③∠DAP=∠PEC;④△ACM≌△DCN;⑤若∠DBE=30°,则∠AEB=80°.
A.2个B.3个C.4个D.5个
3.(2017哈尔滨)如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论:
(1)PM=PN恒成立;
(2)OM+ON的值不变;(3)四边形PMON的面积不变;(4)MN的长不变,其中正确的个数为( )
A.4B.3C.2D.1
第3题图
4.(9分)(2017重庆B卷)如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点E是AC上一点,连接BE.
(1)如图①,若AB=4
,BE=5,求AE的长;
(2)如图②,点D是线段BE延长线上一点,过点A作AF⊥BD于点F,连接CD,CF.当AF=DF时,求证:
DC=BC.
第4题图
5.
(9分)已知四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥AD,连接AC,过点A作AE⊥AC,且使AE=AC,连接BE,过点A作AH⊥CD于H,交BE于F.
(1)如图①,当E在CD的延长线上时,求证:
①△ABC≌△ADE;②BF=EF;
(2)如图②,当E不在CD的延长线上时,BF=EF还成立吗?
请证明你的结论.
第5题图
拓展培优训练
如图,在△ABC中,∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I,若∠B=35°,BC=AI+AC,则∠BAC的度数为________.
第1题图
答案
1.D 2.D 3.C
4.C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,在△OAE和△OCF中,
,∴△OAE≌△OCF(ASA),∴CF=AE,OE=OF,∵OE=1.5,∴EF=2OE=3,∵▱ABCD的周长为18,∴AD+DC=9,∴四边形EFCD的周长=DE+EF+CF+CD=DE+AE+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12.
5.AC=DF(答案不唯一) 【解析】∵FB=CE,∴BC=EF,∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE,由三角形全等的判定定理可知添加的条件为:
AC=DF(SAS)或∠B=∠E(ASA)或∠A=∠D(AAS).
6.1.5 【解析】如解图,连接AD,∵Rt△ABC≌Rt△DCB,∴∠ABC=∠BCD=90°,且AB=CD,∴AB∥CD,∴四边形ABCD是矩形,∴OD=
BD=
AC=1.5.
第6题解图
7.1<m<4 【解析】如解图,延长AD到点E,使AD=ED,连接CE,∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,∵在△ABD和△ECD中,BD=CD,DE=AD,∠ADB=∠EDC,∴△ABD≌△ECD,∴AB=EC,∴在△AEC中,AC+EC>AE,且EC-AC<AE,即AB+AC>2AD,AB-AC<2AD,∴2<2AD<8,∴1<AD<4,即1<m<4.
第7题解图
8.①④ 【解析】在△ABC与△ADC中,
,∴△ABC≌△ADC(SSS),∴∠ABC=∠ADC,故①正确;∵△ABC≌△ADC,∴∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA,∴AC平分∠BAD和∠BCD,而AB与BC不一定相等,∴BD不一定平分∠ABC和∠ADC,故③错误;又∵AB=AD,∠BAC=∠CAD,∴OB=OD,∴AC,BD互相垂直,但不互相平分,故②错误;∵AC,BD互相垂直,∴四边形ABCD的面积S=
AC·BO+
AC·OD=
AC·BD.故④正确,综上所述,正确的结论是①④.
9.证明:
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF,
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(SSS)
∴∠ABC=∠DEF.
10.证明:
∵DE⊥AB,CF⊥AB,
∴∠AFC=∠BED=90°,
又∵AE=BF,
∴AE+EF=BF+EF,
∴AF=BE,
在△ACF和△BDE中,
,
∴△ACF≌△BDE(SAS),
∴∠A=∠B,
∴AC∥BD.
11.证明:
∵∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC,
∵点D、E分别为边AB、AC的中点,
∴BD=
AB,CE=
AC,
∴BD=CE,
又∵∠ABC=∠ACB,BC=CB,
∴△CBE≌△BCD(SAS),
∴BE=CD.
12.
(1)证明:
在△ABD与△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠1=∠2;
(2)解:
∵CM∥AB,
∴∠M=∠1,
又∵∠C=∠B,
∴△AMC∽△DAB,
∴
=
,
∴MC=
=
.
13.
(1)证明:
∵AE和BD相交于点O,
∴∠AOD=∠BOE,
在△AOD和△BOE中,∠A=∠B,
∴∠BEO=∠2,
又∵∠1=∠2,
∴∠1=∠BEO,
∴∠AEC=∠BED,
在△AEC和△BED中,
,
∴△AEC≌△BED(ASA);
(2)解:
∵△AEC≌△BED,
∴EC=ED,∠C=∠BDE,
∵在△EDC中,EC=ED,∠1=42°,
∴∠C=∠EDC=69°,
∴∠BDE=∠C=69°.
14.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAE=∠CFE,
又∵∠AED=∠FEC,DE=CE,
∴△ADE≌△FCE(AAS);
(2)解:
由
(1)知,△ADE≌△FCE,
∴AD=FC,
∵在▱ABCD中,AD=BC,AB=2BC,
∴AB=FB,
∴∠BAF=∠F=36°,
∴∠B=180°-2×36°=108°.
15.
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠ABE=∠CDF,
∴在△ABE与△CDF中,
,
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴AE=CF;
(2)解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=OB,
∵∠COD=60°,
∴∠AOB=60°,
∴△AOB为等边三角形,
∴AO=AB=6,
∴AC=12,
在Rt△ABC中,由勾股定理可得
BC=
=6
,
∴矩形ABCD的面积=AB·BC=6×6
=36
.
16.
(1)证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠C,
在△ABD和△CAE中,
,
∴△ABD≌△CAE(SAS);
(2)解:
∵△ABD≌△CAE,
∴∠ABD=∠CAE,
∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°,
∴∠BPF=∠APD=60°,
∴在Rt△BFP中,∠PBF=30°,
∴PF=
BP=
×6=3.
能力提升训练
1.C 【解析】∵CE⊥BD,∴∠BEF=90°,∵∠BAC=90°,∴∠CAF=90°,∴∠FAC=∠BAD=90°,∠ABD+∠F=90°,∠ACF+∠F=90°,∴∠ABD=∠ACF,∵在△ABD和△ACF中,
,∴△ABD≌△ACF(ASA),∴AD=AF,∵AB=AC,D为AC中点,∴AB=AC=2AD=2AF,∵BF=AB+AF=12,∴3AF=12,∴AF=4,∴AB=AC=2AF=8,∴△FBC的面积=
×BF×AC=
×12×8=48.
2.C 【解析】∵△DAC、△ECB都是等边三角形,∴AC=CD,BC=CE,∠ACD=∠BCE=60°,∴∠ADC=∠DCE=60°,∴∠ACE=∠BCD,∵∠DCE=60°,∴AD∥CE,∴∠DAP=∠PEC,故③正确;在△ACE与△DCB中,
,∴△ACE≌△DCB(SAS),∴∠CAE=∠CDB,又∵∠PMD=∠AMC,∴∠DPM=∠ACM=60°,故②正确;在△ACM与△DCN中,
,∴△ACM≌△DCN(ASA),故④正确;∴CM=CN,∴△CMN是等边三角形,∴∠CMN=60°,∴∠CMN=∠ACD,∴MN∥AB,故①正确;∵∠DBE=30°,∠BPE=∠APD=60°,∴∠AEB=90°,故⑤错误.综上所述,正确的个数是①②③④,共4个.
第3题解图
3.B 【解析】如解图,过点P分别作OA、OB的垂线PC、PD,根据角平分线的性质可得PC=PD,∵OP为定值,∴OC=OD,∵∠AOB为定角,∠MPN与∠AOB互补,∴∠MPN也为定角,∵∠CPD与∠AOB也互补,∴∠MPN=∠CPD,∴∠MPC=∠NPD,∴△MPC≌△NPD,∴CM=DN,MP=NP,故
(1)正确;∵OM+ON=OC+CM+OD-DN,∴OM+ON=OC+OD,∵OC=OD为定长,∴OM+ON为定长,故
(2)正确;∵△MPC≌△NPD,∴S四边形MONP=S△CMP+S四边形CONP=S△NPD+S四边形CONP=S四边形CODP,∴四边形MONP面积为定值,故(3)正确;∵Rt△MPC中,MP为斜边,CP为直角边,∴可设MP=k·CP,∴PN=k·DP,∵∠MPN=∠CPD,∴△MPN∽△CPD,其相似比为k,∴MN=k·CD,当点M与点C重合,点N和点D重合时,MN=CD,当点M与点C不重合,点N与点D不重合时,MN≠CD,∴MN的长度在发生变化,故(4)错误.
4.
(1)解:
在△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠BAC=∠ABC=45°,
∴AC=BC=AB·sin45°=4,
∴在Rt△BCE中,CE=
=3,
∴AE=AC-CE=4-3=1;
(2)证明:
如解图,过C点作CM⊥CF交BD于点M,
第4题解图
∴∠FCM=90°,
∴∠FCA=∠MCB,
∵AF⊥BD,
∴∠AFB=90°,
∴∠AFE=∠ACB,
∵∠AEF=∠BEC,
∴∠CAF=∠CBM,
在△ACF和△BCM中,
,
∴△ACF≌△BCM(ASA),
∴FC=MC,
又∵∠FCM=90°,
∴∠CFM=∠CMF=45°,
∴∠AFC=∠AFB+∠CFM=90°+45°=135°,
∠DFC=180°-∠CFM=180°-45°=135°,
∴∠AFC=∠DFC,
在△ACF和△DCF中,
,
∴△ACF≌△DCF(SAS),
∴AC=DC,
∵AC=BC,
∴DC=BC.
5.解:
(1)证明:
①∵AB⊥AD,AE⊥AC,
∴∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD,
即∠BAC=∠DAE,
又∵AB=AD,AC=AE,
∴△ABC≌△ADE(SAS);
②由①知△ABC≌△ADE,AE=AC,∠ACB=∠AED,
∵AH⊥CD,
∴∠AED=∠ACD=45°,CH=HE,
∴∠ACB=∠AED=45°,
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°,
∴AH∥BC,
∴点F是BE的中点,即BF=EF;
第5题解图
(2)成立.证明如下:
如解图,过点B作BG∥AE,交AH于点G,
∵AE∥BG,
∴∠AGB=∠GAE,
∵∠ACH+∠CAH=90°,∠GAE+∠CAH=90°,
∴∠ACH=∠GAE,
∴∠AGB=∠ACD,
∵∠BAG+∠DAH=90°,∠ADC+∠DAH=90°,
∴∠BAG=∠ADC,
又∵AB=AD,
∴△ABG≌△DAC(AAS),
∴BG=AC,
∵AC=AE,
∴BG=AE,
∵BG∥AE,
∴∠AEF=∠GBF,
∴△BFG≌△EFA(AAS),
∴BF=EF.
拓展培优训练
1.70° 【解析】如解图①,在BC上取CD=AC,连接BI、DI,∵CI平分∠ACB,∴∠ACI=∠BCI,在△ACI与△DCI中,
,∴△ACI≌△DCI(SAS),∴AI=DI,∠CAI=∠CDI,∵BC=AI+AC,∴BD=AI,∴BD=DI,∴∠IBD=∠BID,∴∠CDI=∠IBD+∠BID=2∠IBD,又∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线,∴BI是∠ABC的平分线,∴∠ABC=2∠IBD,∠BAC=2∠CAI,∴∠CDI=∠ABC,∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC,∵∠B=35°,∴∠BAC=35°×2=70°.
【一题多解】如解图②,延长CA到D,使AD=AI,∴∠D=∠AID,∵BC=AI+AC,∴BC=CD,在△BCI与△DCI中,
,∴△BCI≌△DCI(SAS),∴∠D=∠CBI,∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线,∴BI是∠ABC的平分线,∴∠ABC=2∠CBI,又∵∠CAI=∠D+∠AID=2∠D,∠BAC=2∠CAI=2∠ABC,∵∠B=35°,∴∠BAC=2×35°=70°.