小升初几何题.docx

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小升初几何题

小升初奥数几何专题

【例1】

【分析与解】

（1）用标数法得0+1+2+3+…+9=45，或者排列组合法

（2）因为∠AOB内角分线OC1、OC2…OC9共有9条，即9+1=10个基本角.总共有角：

10+9+…+2+1=55（个）.

（3）①要数多少条线段：

先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：

（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：

（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.

（4）AB边上的线段有：

5+4+3+2+1=15.BC边上的线段有：

3+2+1=6.长方形：

15×6=90（个）,

含★的长方形有2×2×2×4=32（个）（上下左右的线段数相乘）

（5）长宽高三个方向线段数相乘,分别为=1680（个）

含★的长方体的个数2×6×2×3×1×3=216（个）（上下左右前后的线段数相乘）

（6）几何中的线、面、体计数问题常用组合知识，任意两点可以组成一线段，任意两线段可以组成一矩形，任意三线段可组成一个立方体。

【评析】在几何计数当中也用到了很多排列组合的方法．

【拓展】

【分析与解】若周角中含有n个基本角，那么它上面角的总数是n（n-1）+1.所以为111.

【例2】

【分析与解】长方形个数：

（个）

为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形.　　

①以一条基本线段为边的正方形个数共有：

　　6×5=30（个）.

②以二条基本线段为边的正方形个数共有：

　　5×4=20（个）.

③以三条基本线段为边的正方形个数共有：

　　4×3=12（个）.

④以四条基本线段为边的正方形个数共有：

　　3×2=6（个）.

⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有：

　　2×1=2（个）.

所以，正方形总数为：

6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=30+20+12+6+2=70（个）.

【评析】若一长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份，（长和宽上的每一份是相等的）那么正方形的总数为（n＜m）：

mn+（m-1）（n-1）+…+（m-2）（n-2）+…+（m-n+1）·1

【例3】

【分析与解】分析图中有若干个大小不同、形状各异但有规律的三角形.因此适合分类来数.首先要找出三角形的不同的种类？

每种相同的三角形各有多少个？

根据图中三角形的形状和大小分为六类：

　　Ⅰ.与△ABE相同的三角形共有5个；

　　Ⅱ.与△ABP相同的三角形共有10个；

　　Ⅲ.与△ABF相同的三角形共有5个；

　　Ⅳ.与△AFP相同的三角形共有5个；

　　Ⅴ.与△ACD相同的三角形共有5个；

　　Ⅵ.与△AGD相同的三角形共有5个；

所以图中共有三角形5+10+5+5+5+5=35（个）。

【例4】

【分析与解】利用图形的对称性，可得出以下剪拼方法：

【例5】

【分析与解】从A出发的第一步共有6条路线，每条线有9种方案，共54种方法。

【例6】

【分析与解】应用标数法，可得A到B有10种，B到C有3种，所以A经过B到C有3×10=30种。

B处不能走，则B处标0，由标数法可得26

【例7】

【分析与解】教师要帮助学生理解三天路线有什么不同？

每天的路线有无限制条件？

若有，是什么？

仍然用对角线法求解．第一天（无限制条件）共有16条；第二天（必须经过公园）共有8条；第三天（必须不经过公园）共有8条．

【例8】

【分析与解】

（1）设登上n级楼梯共有an种不同走法，n＝1，2，….把上到第n级楼梯的情形分为两种走法.一类是先上到第n-1级楼梯，然后再上一级，共有an-1种走法.另一类是先上到第n-2级楼梯，然后再上两级，共有an-2种走法.由加法原理，上到第n级楼梯的走法an满足下列递推关系式：

an=an-1＋an-2。

又∵a1=1，a2=2，故上楼梯方法数an依次为1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….

∴上到第12级楼梯共有233种不同走法。

（2）如果一次可以走1级、2级、3级则依次为1,2,4,7,13,24,……，即前三数的为等于下一个数。

（3）如果有一级坏，就标0处理。

【教师点评】上面的数列叫兔子数列，也叫斐波那契数列.

【例9】

【分析与解】为了便于理解，可以将本题转化为：

上16级楼梯，每次上2级或3级，共有多少种不同方法？

如下图所示，后一级的走法等于前2，前3级的走法数之和，最后得37.

【补充】

【分析与解】图中只有E、D是奇点，从E或D出发可以不重复地走过每条棱，而从B点出发不可能不重复地过每一条棱再到D，至少要多走一条棱，所以从E点出发的蚂蚁获胜．图中只有A与C两个奇点，从A点出发的人可以不重复地走遍每一条路．从B点出发的人至少有一条路要重复走．又两人速度相同，所以从E点出发的人快．

【补充】【考点分析】一笔画问题，三年级★★★★，四年级★★★，五年级★★，六年级★★

【分析与解】

（方法2）胡先友老师推荐方法：

8个奇点，要8÷2=4笔才能画成。

其中3笔最少画3条4分米的线段，所以它最多爬过的距离为（4＋5＋6）×4-3×4=48分米。

【评析】一笔画问题三大结论的应用。

【补充】

【分析】一层：

周长=（20＋12）×2

二层：

三层：

周长=（3×20+3×12）×2………

依此类推，摆好十二层后周长为（12×20+12×12）×2

【解】（12×20+12×12）×2=768（厘米）

答：

摆好后图形的周长是768厘米．

【例10】★★分别求出图中各图形的面积（∷的面积为2）．求下右图ABC的面积（∴的面积为3）

【解】（方法一：

图形分割法）图①分解成1个梯形＋1个正方形．

图①的面积=梯形面积＋正方形面积=（1+3）×1÷2+1=3，3×2=6

图②分解成4个小三角形，2个长方形和一个平行四边形．

图②的面积=三角形面积＋长方形面积十平行四边形面积=2+8+1=11,11×2=22

图③分解成4个小三角形，1个长方形和1个平行四边形．

图③的面积=三角形面积＋长方形面积＋平行四边形面积=2+3+1=6,6×2=12

图④的面积（4÷2+4-1）×6=30

（方法二：

公式法）

【小结】顶点都在格点上的多边形叫格点多边形，有正方形格点多边形和三角形格点多边形。

求格点多边形面积可以统一用：

，表示最小的平行四边形的面积。

（记忆提示：

边2内1。

妈妈配在儿子旁边学奥数的格点面积，好累咽）

【例11】

【分析与解】连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE　　又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF

而S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF　∴S△ACE=S△BEF∴S△BEF=S△ADE=1．

【评析】同时加一块在面积计算中的应用。

或都说梯形蝴蝶定理中双腰相等结论的应用。

【例12】

【解】AD︰BE︰EC=8︰6︰9，，=,-=-，=10，=40

【例13】

【分析与解】方法一：

因为CEFG的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关．设正方形CEFG的边长为x，有：

又阴影部分的面积为:

（平方厘米）.

方法二：

连接FC，有FC平行与DB，则四边形BCFD为梯形．（梯形蝴蝶定理中两腰相等）

有△DFB、△DBC共底DB，等高，所以这两个三角形的面积相等，显然,△DBC的面积（平方厘米）．阴影部分△DFB的面积为50平方厘米．

【拓展】

【分析与解】（方法一）两块阴影部分的面积相等，AM/BC=GM/GB=,所以GB/BM=，而三角形ABG和三角形AMB同高，所以S△BAG=S△ABM=××1÷2=，所以阴影面积为×2=

（方法二）利用梯形蝴蝶定理，设AMG的面积为X，则BCG面积为4X，BGA的面积=MCG的面积=2X，阴影面积=（1-1×0.5÷2）÷9×4=1/3

【补充】

【分析与解】在△A′B′B与△ABC中，∠A′BB′+∠ABC=180°．因为AB=AA′，所以A′B=2AB，又因为B′B=BC，所以S△A′B′B=1×2×S△ABC=2S△ABC=2．同理S△B′C′C=2×1×S△ABC=2．S△A′C′A=2×1×S△ABC=2．所以S△A′B′C′=S△A′B′B+S△B′C′C+S△A′C′A+S△ABC=2+2+2+1=7。

【补充】

【分析与解】连结AG、CG，如图所示，　∵AF=EC，有S△AGF=S△CGE，　又∵ED=BG，有S△AED=S△ABG,且S△CDE=S△BCG，由此可见：

△EFG的三个部分中S△ABG补到了S△EAD，S△AFG补到了S△CEG之后，又将其中的S△BCG补到了S△CDE而S△AEG的位置不变，由此一来相当于将△EFG等积变形到了四边形ABCD，两者面积相同，即：

S△EFG=1．

【评析】见到线段相等或者成倍数关系，应该立刻想到“线段关系转化为面积关系”。

【例14】

【解】连结对角线AE（如图），三角形AEC的面积16÷2—4=4．因为△ACF与△AEC有相同的高线AF，且它们的面积都等于4，所以CF=CE．同理，△ABE的面积是16÷2—3＝5，所以BD/BE=3/5，即BE=5/8DE=5/8AF．又因为△BCE与△ACF有相等的高（CE=CF），故△BCE的面积是△ACF面积的5/8，即为4×5/8=2.5从而△ABC的面积等于16－（3+4+2.5）=6.5．

【点评】本题还可以从长方形的宽一定，通过面积比确定长的比。

如图，DB︰BE=长方形ADBM︰长方形MBFE=（3×2）︰（16-3×2）=3︰5，所以长方形OBEC的面积=长方形NDEC的面积×=（16-4×2）×=5

所以三角形BCE的面积为5÷2=2.5，所以三角形ABC的面积为16－（3+4+2.5）=6.5．

【例15】

【分析与解】阴影面积=R2-r2=50，环形面积=π（R2-r2）=50π=157

【例16】

【分析与解】从图中可以看出△PBC和△ABC是同底的两个三角形，它们的面积之比等于它们对应高的比，所以同理可得，，

所以。

又，

因此

【例17】

【分析】题目中给出的已知条件都是边的倍比关系，其余的条件中只有一个三角形ABC的面积已知，要想办法使已知条件能够相互关联，使边的倍比关系可以转化为面积之比。

【分析与解】连结AE、BF、CD如下图所示．由EB＝2BC，得＝2,同理可得＝2,

＝6,＝3，所以＝1＋2＋3＋1＋2＋6＋3＝18.

【评析】解题过程中通过连接AE、BF、CD，使题目中所给的边的倍比关系可以构造模型一相互关联，再通过共高三角形面积与相应底边之间的对应比例关系求解．

【例18】

【分析与解】∴S阴影＝（S正方形ABCE+S半圆-S△ADE）÷2=32.125

【拓展】

【解】解法1：

下图中，阴影面积＝整个面积一空白面积＝（正方形ABCD＋半圆）一（）

＝（10×10＋π×5×5×2一[15×5÷2＋（5＋15）×5÷2]

＝51.75.

解法2：

下图中＝一圆＝5×5一×π×5×5，

上面阴影面积＝三角形APE一＝15×5÷2一5×5＋×π×5×5,

下面阴影面积＝三角形QPF一＝10×5÷2一（5×5一×π×5×5）.

所以阴影面积＝（15×5÷2一5×5＋×π×5