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气体动理论参考资料
第十九章气体动理论
一、基本要求
1.了解气体分子热运动图像，能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概念。
2.初步掌握气体动理论的研究方法，了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。
3.理解麦克斯韦速率分布律及速率分布函数和速率分布曲线的物理意义，了解玻尔兹曼能量分布律。
4.理解能量按自由度均分定理。
5.了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程。
二、重要概念和基本规律
1.平衡态
在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质不随时间改变的状态。
2.理想气体状态方程
在平衡态下，理想气体各参量之间满足关系式
或
式中
为气体摩尔数，摩尔气体常量
J·mol
·K
玻尔兹曼常量
J·K
3.理想气体压强的微观公式
4.温度及其微观统计意义
温度是决定一个系统能否与其它系统处于热平衡的宏观性质，在微观统计上
5.能量均分定理
在平衡态下，分子热运动的每个自由度的平均动能都相等，且等于
。
以
表示分子热运动的总自由度，则一个分子的总平均动能为
6.速率分布函数
麦克斯韦速率分布函数
7.三种速率
最概然速率
平均速率
方均根速率
8.玻尔兹曼分布律
平衡态下某状态区间（粒子能量为
）的粒子数正比于
重力场中粒子数密度按高度的分布（温度均匀）：
9.范德瓦尔斯方程
采用相互作用的刚性球分子模型，对于1mol气体
10.气体分子的平均自由程
11.输运过程
内摩擦
，
热传导
扩散
，
三、习题选解
19-1.一根铜棒的两端分别与冰水混合物和沸水接触，经过足够长的时间后，系统也可以达到一个宏观性质不随时间变化的状态。
它是否是一个平衡态？
为什么？
答：
这不是一个热力学平衡态。
平衡态是指热力学系统在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不随时间变化的状态。
所谓的没有外界影响，指外界对系统既不做功又不传热。
两端分别与冰水混和物和沸水接触的铜棒，在和沸水接触的一端，铜棒不断吸收热量，而在和冰水混合物接触的一端，铜棒不断的释放热量。
铜棒和外界以传热的方式进行能量交换，因而它不是一个热力学平衡态。
19-2.
（1）水银气压计中混进了一个空气泡，因此它的读数比实际的气压要小一些。
当精确的气压计的水银柱为0.768m时，它的水银柱只有0.748m高，此时管中水银面到管顶的距离为0.080m。
试问此气压计的水银柱为0.734m高时，，实际的气压应是多少？
（把空气看作理想气体，并设温度不变）
（2）水银气压计中，从水银池表面到封闭管管顶的距离为Lmm，在标准气压计的读数为HmmHg和温度
的情况下，有一个空气泡进入管中，因此水银柱的长减到h1mm。
求这一气压计的气压修正量
的表达式，引入
后可对任何温度
的任何压强读数h作修正。
解：
（1）设第一状态气体的压强为
，体积为
；第二状态气泡的压强为
，体积为
，气压计截面积为
，如图所示
=768-748=20mmHg
=0.080
=[0.080+（0.748－0.734）]
由于温度不变，有
，所以
mmHg=17mmHg
实际压强为
mmHg=1.00×105Pa
（2）设气压计的截面积为
。
当标准气压计的读数为
，温度为
，气压计中气柱的体积为
，其压强应是
；如果在温度
时，水银柱高度是
，则气泡的体积
，压强是
。
据气体状态方程，有
所以
测出的压强应为
19-3.如图所示，两个相同的容器装着氢气，
以一光滑水平玻璃管相连，管中用一滴水银
做活赛，当左边容器的温度为
，而右边
容器的温度为
时，水银滴刚好在中央
维持平衡。
试问：
（1）当右边容器的温度由
升到
时，水银是否会移动？
怎样移动？
（2）如果左边温度升到
，而右边升到
，水银滴是否会移动？
（3）如果要使水银滴在温度变化时不移动，则左右两边容器的温度变化应遵从什么规律？
解：
（1）可假设水银柱不移动，这样左边容器从
升到
时，压强会增大，所以水银将向右侧移动。
（2）同样假设水银滴不移动，左右两侧体积不变。
以
表示左右两侧未升温前的压强，
表示升温后左侧压强，
表示升温后右侧压强，则
可以看出
水银滴左侧的压强大于右侧的压强，水银滴将向右侧移动。
（3）依条件
由
19-4.
（1）推导压强公式时，为什么不考虑分子间的相互碰撞？
（2）推导压强公式时，如果不假设每个分子与器壁的碰撞是弹性的，而把气体分子的动量改变分成两部分来看：
一是向壁运动的分子动量的消失，二是离壁运动的分子动量的获得。
按此观点，再按平衡态下大量分子的统计性质，如何说明压强公式仍然存在。
答：
（1）因为分子是全同的，分子碰撞后交换速度，不会改变速度的分布。
（2）决定器壁压力的大小是大量分子单位时间内给予器壁法线方向的冲量，它等于分子沿器壁法线方向动量的变化率。
在平衡状态下，当分子向器壁运动时，也有相等的大量分子离开器壁运动。
按照统计规律，单位时间内向器壁上每单位面积运动的分子向前的动量总共消失
；单位时间内离开器壁每单位面积运动的分子向后的动量总共获得
。
单位时间内与单位面积器壁作用引起分子动量的总变化为
，所以压强公式仍然成立。
19-5.每秒钟有1.0×1023个氢分子（质量为3.3×10-27㎏）以1.0×103m·s-1的速度沿着与器壁法线成450角的方向撞在面积为2.0×10-4㎡的器壁上，求氢分子作用在器壁上的压强
解：
如图所示与器壁碰撞后，每一个分
子的动量改变为
每秒总的动量改变为
压强
Pa
19-6.
（1）具有活塞的容器中盛有一定量的气体，如果压缩气体并对其进行加热，使它的温度27℃升到177℃，体积减小一半，求气体压强变化为多少？
（2）此时气体分子的平均平动动能变化多少？
分子的方均根速率变化多少？
解：
（1）由理想气体状态方程
K
K
有
（2）由题意
温度为
时，方均根速率为
温度为
时，方均根速率为
所以
19-7.
（1）试计算在什么温度时氢分子的方均根速率等于从地球表面逃逸的速度。
对氧分子作同样的计算。
（2）试问在月球表面上，计算结果是否相同，假设月球表面的重力加速度为0.16g。
（3）在地球的上层大气中，温度约为1000K左右。
你认为该处是否有很多氢气？
解：
（1）第二宇宙速率
km·s
m·s
。
分子的方均根速率
。
氢分子的摩尔质量
kg。
由题意
。
K
氧分子摩尔质量为
kg有
K
（2）月球表面逃逸速率
m·s
m·s
有
K
K
（3）地球大气层中，不会有很多氢气，会有较多氧气。
19-8.道尔顿（Dalton’sLaw）定律指出，当不起化学作用的气体在一容器中混合时，在给定温度下每一成分气体所作用的压强和该气体单独充满整个容器时的压强相同；并且总压强等于各成分气体的分压强之和。
试根据气体动理论并利用式（19-5）导出道尔顿定律。
解：
气体动理论给出的压强公式为
设几种气体混合贮在同一容器中，单位体积内所含各种气体的分子数分别为
，则单位体积内混合气体的总分子数为
又混合气体的温度相同，根据能量均分定理，不同成份的气体分子平均动能相等，即
混合气体的压强为
其中
······
即每一成分气体单独充满整个容器时的压强，并且总压强等于各成分气体的压强之和，这就是道耳顿分压定律。
19-9.水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，即H2O=H2+
O2，当不计振动自由度时，求此过程中内能增加的百分比。
解：
设初始水蒸气的分子总数为
由
H2O
H2+
O2
分解后将有
个H2分子和
个O2分子
刚性双原子分子可用三个平动自由度（
），和两个转动自由度（
）完整的描述其运动，刚性三原子分子则需要用三个平动自由度（
）和三个转动自由度（
）描述其运动。
由能量均分原理知一个分子的平均能量为
温度为
时水蒸气的总能量为
若分解为氢气和氧气后，气体温度值为
，这时气体总能量为氢分子能量和氧分子能量之和，用
表示有
能量增加的百分比为
19-10.一个能量为1012eV的宇宙射线粒子，射入氖管中，氖管中0.01mol，如果宇宙射线粒子的能量全部被氖气分子所吸收而变成热运动能量，氖气温度能升高几度。
解：
0.01mol氖气共有
个原子，其中
为阿伏加德罗常数。
氖为惰性气体，氖分子以单元子形式存在，若气体温度为
，每一个氖分子的平均能量为
。
相应的总能量为
，若射线能量被每个氖分子平均吸收。
=
19-11.一容器被中间隔板分成相等的两半，一半装有氦气，温度为250K，另一半装有氧气，温度为310K。
两者压强相等。
求去掉隔板两种气体混合后的温度。
解：
隔板未去掉前，容器两侧压强和体积相等设为
和
，再设氦分子摩尔数为
，氧气分子摩尔数为
，由理想气体方程有
，
，
氦气为单原子分子，氧气为双原子分子，由能量均分定理，每一个分子的平均能量为
其中
为平动自由度，
为转动自由度，
为振动自由度
对于氦气，有
对于双原子分子，
在常温下，不足以激发原子的振动，可作为刚性双原子考虑，这时
，因而有
初始状态的总能量为
其中
为阿伏加德罗常数。
若去掉隔板后两种气体混合温度为
，其总能量为
去掉隔板的过程不会对系统有任何外界的影响，能量守恒有
将
和
代入有
化简后得
K
19-12.已知
是速率分布函数，说明以下各式的物理意义。
（1）
（2）
其中n是分子数密度，（3）
（4）
其中
为最概然速率；（5）
答：
（1）
，是速率在
到
之间的分子数与总分子数的比。
（2）
，是单位体积内，速率在
到
之间的分子数。
（3）
是介于
到
之间的分子速率之和与总分子数的比值，它没有明显物理意义。
（4）
是分子速率在0到
之间的分子数与总分子数的比值，即速率小于最概然速率的分子的比例。
（5）
是速率大于
的速率平方之和与总分子数的比值。
这也是一个物理意义不明显的量。
19-13.将气体中某一个分子在长时间内可能取的速率对时间求平均所得的结果，按麦克斯韦速率分布所得平均速率有无差别？
若要使二者相等，观测的时间满足什么条件？
答：
麦克斯韦速率分布律是指在平衡态下，分布在任一速率区间
的分子数
与总分子数N之比是速率
的函数
麦克斯韦速率的平均速率是大量分子的速率的平均值
对某一个分子而言，它不断与其它分子碰撞，速率也在不断变化，在时间
时间内跟踪某一个分子，分子对时间的平均速率为
是大量分子速率分布的平均值，
是某一个分子速率对时间的平均值。
两者的物理意义有本质的区别。
各态历经假说提出路程的连续性，当力学体系从任一初态运动后，只要时间足够长，力学体系将经历所有的微观状态。
对某一分子而言，在初始时刻其速率可能是
，在其后足够长的时间内，这一分子将经历速率在
范围内的所有状态。
这时分子对时间的平均速率与大量分子的麦克斯韦平均速率相等。
19-14.有N个粒子，其速率分布函数为
（1）做速率分布曲线并求常量a；
（2）分别求速率大于
和小于
的粒子数
求粒子的平均速率
解：
（1）速率分布曲线如图所示。
由归一化条件
有
（2）若总分子数为N，则速率大于
的分子数为
速率小于
的分子数为
（3）平均速率为
19-15.设氢气的温度为300K，求速率为3000m·s-1到3010m·s-1之间
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