（3）存在．t的值是2＋或2－或或.
（30分）
5．（15分）[2017·攀枝花]如图6－2－5，在平面直角坐标系中，直线MN分别与x轴，y轴交于点M（6，0），N（0，2），等边三角形ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴正半轴上，点A恰好落在线段MN上，将等边三角形ABC从图①的位置沿正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB，AC分别与线段MN交于点E，F（如图②所示），设△ABC平移的时间为t（s）．
（1）等边三角形ABC的边长为__3__；
（2）在运动过程中，当t＝__3__时，MN垂直平分AB；
（3）若在△ABC开始平移的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BA→AC运动，当点P运动到C时即停止运动，△ABC也随之停止平移．
①当点P在线段BA上运动时，若△PEF与△MNO相似，求t的值；
②当点P在线段AC上运动时，设S△PEF＝S，求S与t的函数关系式，并求出S最大值及此时点P的坐标．
图6－2－5
【解析】
（1）由题易知OM＝6，ON＝2，∴MN＝4，∴∠NMO＝30°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAM＝90°，即AB⊥MN，∴AB＝OM＝3，即等边三角形边长为3；
（2）由等边三角形的性质易知当MN垂直平分AB时，C点与M点重合，∴OB＝OM－MB＝3，即t＝3；
（3）①当P点在线段AB上运动时，则OB＝t，PB＝2t，则BM＝6－t，PA＝3－2t，△PEF与△MNO相似分为△PEF∽△MON或△PEF∽△NOM两种对应情况思考；②当点P在线段AC上运动时，S△PEF＝EF·PH＝·t·＝－t2＋t＝－2＋≤，∴当t＝时，Smax＝.
解：
（3）①当P点在线段AB上运动时，OB＝t，BP＝2t，则BM＝6－t，PA＝3－2t，△PEF与△MNO相似分为△PEF∽△MON或△PEF∽△NOM两种对应情况，
①②
第5题答图
当△PEF∽△MON时，则∠EPF＝∠EFA＝∠EMB＝30°，
∴AE＝AF＝AP＝，BE＝BM＝.
又∵BE＝AB－AE＝3－，∴3－＝，解得t＝；
当△PEF∽△NOM时，若点P在线段BE上，则∠PFE＝∠NMO＝30°，
即PF∥OM，∴△PAF是等边三角形，∴EF垂直平分PA，
∴BE＝BP＋PA＝＋t，又∵BE＝MB＝，
∴＋t＝，解得t＝1；
当△PEF∽△NOM时，若点P在线段AE上，则P点与A点重合，即t＝.
综上所述，t＝或1或；
②当点P在线段AC上运动时，则BM＝6－t，PC＝6－2t，≤t≤3.
∴BE＝BM＝3－，即AE＝，∴EF＝AE＝t，AF＝2AE＝t，
∴CF＝AC－AF＝3－t，∴PF＝PC－CF＝3－t.
第5题答图③
如答图③，作PH⊥EF于H点，由∠AFE＝30°可知，PH＝PF＝.S△PEF＝EF·PH＝·t·＝－t2＋t＝－＋≤，
∴当t＝时Smax＝.
6．（15分）[2017·衢州]在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC.连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF.已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为ts.
图6－2－6
（1）如图6－2－6①，当t＝3时，求DF的长；
（2）如图②，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？
如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值；
（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分面积之比为1∶2时，求相应t的值．
【解析】
（1）当t＝3时，点E为AB中点．DE为△ABO的中位线．
（2）过D作DM⊥OA，DN⊥AB，垂足分别为M，N.利用△DMF∽△DNE即可求解．
（3）AD将△DEF分成的两部分面积之比为1∶2可转化为AD与EF交点G为EF的三等分点，即讨论G点所处的位置．
解：
（1）当t＝3时，点E为AB中点．
∵点D为OB中点，∴DE∥OA，DE＝OA＝4.
∵OA⊥AB，∴DE⊥AB.∴∠OAB＝∠DEA＝90°.
又∵DF⊥DE，∴∠DFA＝90°，
∴四边形DFAE是矩形，∴DF＝AE＝3.
（2）∠DEF的大小不变．如答图①，过D作DM⊥OA，DN⊥AB，垂足分别为M，N.
∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，
∴四边形DMAN是矩形，
∴∠MDN＝90°，DM∥AB，DN∥OA，
∴＝，＝.
∵点D为OB中点，∴M，N分别是OA，AB中点．
∴DM＝AB＝3，DN＝OA＝4，
∵∠EDF＝90°，∴∠FDM＝∠EDN.
又∵∠DMF＝∠DNE＝90°，∴△DMF∽△DNE，
∴＝＝.
∵∠EDF＝90°，∴tan∠DEF＝.
第6题答图
（3）过D作DM⊥OA，DN⊥AB，垂足分别为M，N.若AD将△DEF的面积分成1∶2的两部分，设AD交EF于点G，则易得点G为EF的三等分点．
①如答图②，当E到达AB中点之前时，NE＝3－t，由△DMF∽△DNE，得MF＝（3－t）．
∴AF＝4＋MF＝－t＋.
∵G1为EF的三等分点，∴G1.
由点A（8，0），D（4，3）得直线AD的表达式为
y＝－x＋6，将G1代入，得t＝.
②如答图③，当E越过AB中点之后，NE＝t－3，由△DMF∽△DNE，得MF＝（t－3）．
∴AF＝4－MF＝－t＋.
∵G2为EF的三等分点，∴G2.
代入直线AD表达式y＝－x＋6，得t＝.综上，t的值为.
（20分）
7．（20分）[2017·绍兴]如图6－2－7①，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB＝6，点A的坐标为（1，－4），点D的坐标为（－3，4），点B在第四象限，点P是▱ABCD边上的一个动点．
（1）若点P在边BC上，PD＝CD，求点P的坐标；
（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y＝x－1上，求点P的坐标；
（3）若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图②，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标（直接写出答案）．
图6－2－7
解：
（1）∵CD＝6，∴点P与点C重合，
∴点P的坐标是（3，4）．
第7题答图①
（2）①当点P在边AD上时，由已知得直线AD的函数表达式为y＝－2x－2，设P（a，
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