矩形菱形导学案.docx

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矩形菱形导学案

矩形、菱形

一、基础知识梳理（课前完成）

1.

（一）定义:

（1）矩形的定义：

__________________________的平行四边形叫矩形．

（2）菱形的定义：

有一组_________________________相等的平行四边形叫菱形．

2.矩形、菱形的性质与判定：

矩形的性质：

矩形的常用判定方法：

1矩形的四个角都是_______；①有______角是直角的四边形是矩形；

2矩形的对角线_________；②对角线相等的_____________是矩形；

推论：

直角三角形斜边上的中线等于；推论：

如果一个三角形一边上的____那么这个三角形是_______________.

菱形的性质：

菱形的常用判定方法：

①菱形的四条边________；①四条边相等的四边形是______；

②菱形的对角线互相_______，并且___②________互相垂直的平行四边形是菱形

3.矩形、菱形的对称性与面积：

①矩形既是对称图形,又是图形,它有条对称轴.S=

②菱形既是对称图形,又是图形,它有条对称轴.S==

二、基础诊断题

1．如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（）

A．AB∥DCB．AC=BDC．AC⊥BDD．OA=OC

2．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（　　）

A．3　　B．3.5　　C．2.5　　D．2.8

3.如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）

A．

B．

C．

D．

三、典型例题

例题1（2014年浙江嘉兴）已知：

如图，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．

（1）求证：

△DOE≌△BOF．

（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFED为菱形？

请说明理由．

考点：

平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．

分析：

（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF（ASA）；

（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．

例题2（2014•湘潭）如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．

（1）求证：

△EDF≌△CBF；

（2）求∠EBC．

考点：

翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质

分析：

（1）首先根据矩形的性质和折叠的性质可得DE=BC，∠E=∠C=90°，对顶角∠DFE=∠BFC，利用AAS可判定△DEF≌△BCF；

（2）在Rt△ABD中，根据AD=3，BD=6，可得出∠ABD=30°，然后利用折叠的性质可得∠DBE=30°，继而可求得∠EBC的度数．

例题3（2014•邵阳）准备一张矩形纸片，按如图操作：

将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．

（1）求证：

四边形BFDE是平行四边形；

（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．

考点：

翻折变换（折叠问题）；平行四边形的判定；菱形的性质

分析：

（1）根据四边形ABCD是矩形和折叠的性质可得EB∥DF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可．

（2）求出∠ABE=30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，再根据菱形的面积计算即可求出答案．

四、达标检测题

（一）基础检测

一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）

1．已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（）

A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2

2．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（）

A．3B．4C．5D．6

3．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，

，BE=2，则tan∠DBE的值是（　　）

A．

B．2C．

D．

4．下列命题中的真命题是（　　）

A．三个角相等的四边形是矩形

B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形

D．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形

５．如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（　　）

A．（

，

）　　B．（

，

）　　

C．（-

，

）　　D．（

，

）

二、填空题

6．在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是.（写出一种即可）

7．如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．

8.如图：

矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______．

9．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是.

10．如图，已知菱形ABCD的一个内角

，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且

，则

=　　　　度．

三、解答题

11.如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．

（1）求证：

△ABE≌△FCE．

（2）连接AC．BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：

四边形ABFC为矩形．

12.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．

（1）求证：

四边形BMDN是菱形；

（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．

（二）能力提升

1、（2014•丽水）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：

分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（　　）

　A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形

2、（2014年山东烟台）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（　　）

　A．28°B．52°C．62°D．72°

3、（2014•呼和浩特）已知矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F（不与顶点重合），则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为（　　）

A．

△CDE与△ABF的周长都等于10cm，但面积不一定相等

B．

△CDE与△ABF全等，且周长都为10cm

C．

△CDE与△ABF全等，且周长都为5cm

D．

△CDE与△ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定

4、（2014•兰州）下列命题中正确的是（　　）

A．

有一组邻边相等的四边形是菱形

B．

有一个角是直角的平行四边形是矩形

C．

对角线垂直的平行四边形是正方形

D．

一组对边平行的四边形是平行四边形

5、（2014•德州）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：

①四边形CFHE是菱形；

②EC平分∠DCH；

③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；

④当点H与点A重合时，EF=2

．

以上结论中，你认为正确的有（　　）个．

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

6、（2014•枣庄）如图，菱形ABCD的边长为4，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F，AE=3，则四边形AECF的周长为（）

7、（2014•毕节地区）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BC相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（）

8、（2014•十堰）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（　　）

9、（2014年浙江嘉兴）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=4cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG延长线恰好经过点D，则CD的长为（　　）

10（2014•苏州）如图，在矩形ABCD中，

=，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E．若AE•ED=，则矩形ABCD的面积为　　．

11、（2014年江苏南京）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．

（1）求证：

四边形DBFE是平行四边形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形？

为什么？

12、（2014•白银）D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．

（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：

四边形DGFE是平行四边形；

（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？

（直接写出答案，不需要说明理由．）

五、课后反馈

1.如图：

矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC，若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是__________.

2．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5．过对角线交点Ｏ作OE

AC交AD于E，则AE的长是（）

A．1.6B．2.5C．3D．3.4

3.如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=

，点E是折线段A－D－C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

4.如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（）

A．2　　　B．

　　　C．4　　　D．

5.下列命题是真命题的是（　　）

A．对角线相等的四边形是矩形　　　　　　　　B．一组邻边相等的四边形是菱形

C．四个角是直角的四边形是正方形　　　　　　D．对角线相等的梯形是等腰梯形

6.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）

A．

　　　B．

　　　C．

　　　D．

7.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是．

8.如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=23，AC，BD相交于点O．

（1）求边AB的长；

（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．

①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；

3转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．

9..已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均

为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置

方式如图所示，AB＝4，BC＝6，则tan

的值等于

A．

B．

C．

D．

10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝4，∠AOD＝120°，

求AC的长.

10/1011.如图1，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠ABC＝67.5°，△ABD和△ABC关于AB所在的直线对称，点M为边AC上的一个动点（不与点A，C重合），点M关于AB所在直线的对称点为N，△CMN的面积为S．

（1）求∠CAD的度数；

（2）设CM＝x，求S与x的函数表达式，并求x为何值时S的值最大？

（3）S的值最大时，过点C作EC⊥AC交AB的延长线于点E，连接EN（如图2）．P为线段EN上一点，Q为平面内一点，当以M，N，P，Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的NP的长．

12.如图，

的半径为1，

是

的内接等边三角形，

点D，E在圆上，四边形

为矩形，这个矩形的面积是

A．2　　B．

C．

　　　D．

13、

（1）如图，在四边形

是矩形，点E是AD的中点，求证：

（2）如图，AB与

相切于C，

，

的半径为6，AB＝16，求OA的长.