（x）,r（x）是唯一决定的.
定理1对于数域P上的任意两个多项式f（x）9g（x）,其中g（x）H0,g（x）I/*（x）的充分必要条件是g（x）除/（x）的余式为零.
定理2对于P[X]中任意两个多项式/（A）,g（x）,在P[x]中存在一个最大公因式d（x）,且d（x）可以表示成f（x）,g（x）的一个组合,即有P[x]中多项式m（x）,v（a）使d（x）=w（x）/（x）+y（x）g（x）.
定理3P[x]中两个多项式/（A-）,g（x）互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式
/心）,v（x）使«（x）/（x）+v（x）g（x）=1.
定理4如果（f（x）,g（x））=l,且/（x）Ig（x）h（x）,那么f（x）Ih（x）.
定理5如果“（X）是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式/（x）,g（x）,由p（x）If（x）gM一定推出p（x）If（x）或者p（x）\g（x）.
因式分解及唯一性定理数域P上每一个次数XI的多项式/（X）都可以唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式f（X）=Pl（x）p2（x）•-ps（x）=4（x）§2（x）••q（x）,那么必有s=t,并且适当排列因式的次序后有Pi（x）=ciqi（x）,i=1,2,•••,$,其中Cf（i=1,2,…,s）是一些非零常数.
定理6如果不可约多项式"（x）是/（X）的k重因式（k>\），那么它是微商广（x）的—1重因式.
定理7（余数定理）用一次多项式A-6Z去除多项式/（X）,所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值/（&）.
定理8P［x］中n次多项式（//>0）在数域P中的根不可能多于〃个，重根按重数计算.
定理9如果多项式/（x）,g（x）的次数都不超过川，而它们对幵+1个不同的数弘冬,•••£+］有相同的值，即/g）=g（e）,i=1,2,•••/1+1,那么f（x）=g（x）.代数基本定理每个次数21的复系数多项式在复数域中有一根.
复系数多项式因式分解定理每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.
实系数多项式因式分解定理每个次数XI的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.
定理10（高斯（Gauss）引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式.
定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.
定理12设/（朗=唧+%的+・••+如是一个整系数多项式,而二是它的有理
S
根，其中互素,那么必有s\an,r\a0.特别地,如果/（x）的首项系数"”=1,那么/（x）的有理根是整根，而且是心的因子.
I
定理13（艾森斯坦（Eisenstein）判别法）设f（x）=a„xn+a„_xxn~x+•••+a0是一个整系数多项式，如果有一个素数"，使得
1.pIan;
2・PI勺_］，%_2昇・・，°0；
3・p2/a（）
那么/（x）在有理数域上是不可约的.
第二章
定理1对换改变排列的奇偶性.
定理2任意一个"级排列与排列12・."都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.
定理3设d=5（'：
2
州表示元素®的代数余子式，则下列公式成
〃，当《=二飞当kHi・
立:
akA\+%人2+•••+aknAm
Cl\lA\j+Cl2!
A2丿+…+勺/帀
定理4（克拉默法则）如果线性方程组a[XxA+anx2+--+aXnxn=br
“2內+«22X2+・・・+a2nXn=b2，
<
°"內+°”2兀2+•••+%"="“4如…"J的系数矩阵A=如如…①”
♦••
♦••
.an\Cln2…%.
的行列式〃=国H0,
那么该线性方程组有解，
并且解是唯一的，解可以通过系数表为
旦,…
d
=佥,
其中©是把矩阵A中第丿•列换成方程组的常数项
所成的行列式，即
如…S°]j十]…（仏
anl…ClnJ-lbn…Gm
定理5如果齐次线性方程组
4內+如七+•••+"],耳=°,。
2內+吆勺+…+吆£=°，
1勺內+叱2+・・・+%£=0
的系数矩阵的行列式|4|工0,那么它只有零解•换句话说，如果该方程组有非零解，那么必有同=0.
定理6（拉普拉斯定理）设在行列式D中任意取定了1）个行.
由这k行元素所组成的一切R级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.
«nan•…如
%%•…bin
定理7两个〃级行列式0=
a2\a22…a2n
♦••
♦••
♦••
和D=
■
b2Xb22…b2n
♦••
♦••
的
5an2…%
bn\b池…bnn
CliC12・・•Cl/r
乘积等于一个“级行列式c=?
?
…:
"，其中5是9的第i行元素分别与
•••
GiJ%•…C呦
D?
的第j列的对应兀素乘积之和：
C”=anb}+a』?
j卜atJ）nj•
第三章
定理1在齐次线性方程组
®内+如花+・・・+%兀=0，
勺內+吆七+…+。
2届=°，
<
耳內+陽2勺+•••+%£=0
中，如果$〈几，那么它必有非零解.
定理2设吟旳…4与卩1：
%…心是两个向量组，如果
1）向量组勺①…鸟可以经4松…心线性表出，
2）『>$,
那么向量组％旬・・・4「必线性相关.
定理3一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量
定理4矩阵的行秩与列秩相等.
定理5nxn矩阵
5
a2n
的行列式为零的充分必要条件是4的秩小于“.
定理6一矩阵的秩是卩的充分必要条件为矩阵中有一个『级子式不为零，同时所有r+1级子式全为零.
定理7（线性方程组有解判别定理）线性方程组
坷內+如勺+・・・+纠筋=久
。
2內乜22勺+—+"2,有解的充分必要条件为它的系数矩阵
Cl\\Ci\2・••a\n
^11如…®A
A=
«21a22…吆
♦••
♦••
与增广矩阵2=
。
21“22***“2口Q
♦•••
♦•••
♦•••
.5%・・・為.
as2・・・知b、_
有相同的秩。
匕内+%2兀2+・•・+©“£=%
定理8在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解
系所含解的个数等于n-r,这里r表示系数矩阵的秩.
4内+如花+・・・+如俎=%
定理9如果％是方程组＜"2內+。
22兀2+-+勺“％=',的一个特解，那么该方內+%2兀+•••+%"=—
程组的任一个解r都可以表成『=%+“，其中〃是导出组q內+如吃+・・・+®儿=°，
严2內+如勺+・・・+吆£=0,的一个解.因此，对于方程组的任一个特解勺,当0取
遍它的导出组的全部解时，［二％+"就给出本方程组的全部解.
第四章
?
定理1设A£是数域p上的两个nxn矩阵，那么|4冋=|绷冋，即矩阵的乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积.
定理2设4是数域P^nxm矩阵，£是数域P上mXs矩阵，于是秩（AB〉Smin［秩（A＞秩（B）］,即乘积的秩不超过各因子的秩.
定理3矩阵4是可逆的充分必要条件是A非退化，而
A1==国h0）.
定理44是一个SXB矩阵，如果尸是$x$可逆矩阵，q是nxn可逆矩阵，那么秩3）=秩&2=秩30）.
定理5任意一个SX兀矩阵4都与一形式为的矩阵等价，它称为矩阵4的标准形，主对角线上1的个数等于4的秩（1的个数可以是零）.
定理6"级矩阵4为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：
4=
第五章
定理1数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和
d]彳+©；+•・•（/局.
定理2在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.
定理3任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的。
定理4任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的。
定理5
（1）任一复对称矩阵4都合同于一个下述形式的对角矩阵；
，其中，对角线上1的个数『等于4的秩.
（2）任一实对称矩阵4都合同于一个下述形式的对角矩阵：
其中对角线上1的个数P及-1的个数r~P（r是4的秩）都是唯一确定的，
分别称为4的正、负惯性指数.它们的差2p-r称为A的符号差.
定理6九元实二次型是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于
H・
定理7实二次型
=ZEWj=X'AX
i=ij=i
是正定的充分必要条件为矩阵4的顺序主子式全大于零.
定理8对于实二次型/（X],…,人）二XJ4X,其中A是实对称的，下列条件等价：
（1）几5…叫）是半正定的，
（2）它的正惯性指数与秩相等，
（3）有可逆实矩阵使
（4）有实矩阵C使A=CT,
（5）A的所有主子式皆大于或等于零.
第六章
定理1如果在线性空间v中有“个线性无关的向量坷,％且v中任一向量
都可以用它们线性表出，那么y是”维的，而坷，冬,…耳就是v的一组基.
定理2如果线性空间v的非空子集合w对于y的两种运算是封闭的，那么w就是一个子空间.
定理31）两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价.2）
血血,•叫）的维数等于向量组吧叫的秩.
定理4设W是数域P上“维线性空间V的一个，“维子空间，坷禺，是W的一组基，那么这组向量必定可扩充为整个空间的基.也就是说，在V中必定可以找到“-加个向量兔+|，兔+2,,使得坷,偽，•叫是V的一组基.
I
定理5如果％,匕是线性空间v的两个子空间，那么它们的交v.nv2也是v的子空间.
定理6如果K，%是V的子空间，那么它们的和K+匕也是V的子空间.
定理7（维数公式）如果是线性空间V的两个子空间，那么
维（k）+维（v2）=维（v；+匕）+维（xn%）.
定理8和v,+v2是直和的充分必要条件是等式
a{+a.=0,
0护=1,2）
只有在G全为零向量时才成立.
定理9设X，%是V的子空间，令w=K+%,则w=v{®v2的充分必要条件为
维（w）二维（K）+维（匕）.
定理10设u是线性空问V的一个子空间，那么一定存在一个子空间w使
定理11$%,・・・〃是V的一些子空间，下面这些条件是等价的：
I）W是直和；
2）零向量的表法唯一；
3）皿为片={0}（i=12…⑶；
j刘
4）维（W）二为维（*）.
定理12数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.
第七章
定理1设W2是线性空间V的一组基，“,…码是V中任意”个向量.存在
唯一的线性变换A使Ae,=a,,i=1,2,
定理2设刍尼，…心是数域P上“维线性空间V的一组基，在这组基下，每个线性变换对应一个“"矩阵.这个对应具有以下的性质：
1）线性变换的和对应于矩阵的和；
2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；
3）<
n线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；
5）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.
定理3设线性变换A在基刍G，…心下的矩阵是A,向量e在基wg下的坐
刍，6，...,q下的坐标（>1，儿，…,儿）可以按公式
定理4设线性空间V中线性变换A在两组基
（6）
下的矩阵分别为A和B,从基（6）到基（7）的过渡矩阵是X,于是B=X~'AX・定理5线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.
定理6相似的矩阵有相同的特征多项式.
哈密尔顿一凯莱（Hamilton-Caylay）定理设人是数域P上一个心“矩阵，f（A）=\AE-A\是A的特征多项式,则
f（A）=A”-（au+a21+•••+%）£+•••+（_1）"同E=0.
定理7设A是“维线性空间V的一个线性变换，A的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是，A有”个线性无关的特征向量.
定理8属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
定理9如果入，…人是线性变换A的不同的特征值，而••气是属于特征值入的线性无关的特征向量，心1,…朮，那么向量组冷,也线性无关.
定理10设A是“维线性空问U的线性变换，w・g是V的一组基，在这组基下A的矩阵是则
1）A的值域AV是由基像组生成的子空间，即
AV=L（A^!
.A^Z1）・
2）A的秩=A的秩.
定理11设A是"维线性空间卩的线性变换，则AV的一组基的原像及AjO）的一组基合起来就是V的一组基.由此还有
A的秩+A的零度=”.
定理12设线性变换A的特征多项式为/"）,它可分解成一次因式的乘积
）
/（刃=（久一入）%（&一人户…（久一入y.
则v可分解成不变子空间的直和
V=V；©K©...®V,其中匕={§1仏一人£）役=0工€町.
定理13设A是复数域上线性空间卩的一个线性变换，则在V中必定存在一组基，使A在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵.
定理14每个”级复矩阵人都与一个若尔当形矩阵相似.
定理15数域P上“级矩阵4与对角矩阵相似的充分必要条件为A的最小多项式是P上互素的一次因式的乘积.
第八章
定理1一个”X”的入-矩阵4（入）是可逆的充分必要条件为行列式削入）|是一个非零的数.
定理2任意一个非零的sxn的入-矩阵4（入）都等价于下列形式的矩阵
其中r>l^s（A）（i-l;2;..vr）是首相系数为1的多项式，且
%）城+小），（i二1,2,…,「1）.
定理3等价的入-矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子.
定理4入-矩阵的标准形是唯一的.
定理5两个入-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.
定理6矩阵&入）是可逆的充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.
定理7设是数域P上的两个nxn矩阵.4与£相似的充分必要条件是它们的特征矩阵XE-A和入E—E等价.
定理8两个同级复数矩阵£相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子.
定理9首先用初等变换化特征矩阵XE-A为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幕的乘积，则所有这些一次因式的方薜（相同的按出现的次数计算）就是4的全部初等因子.
定理10每个n级矩阵的复数矩阵4都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵4唯一决定的，它称为4的若尔当标准形.
定理11设A是复数域上线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组基，使A在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被A唯一决定的.
定理12复数矩阵4与对角矩阵相似的充分必要条件是，4的初等因子全为一次的.
定理13复数矩阵4与对角矩阵相似的充分必要条件是，4的不变因子都没有重根.
定理14数域P±nxn方阵4在P上相似于唯一的一个有理标准形，称为4的有理标准形.
定理15设A是数域P上“维线性空问的线性变换，则在「中存在一组基，使A在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A唯一决定，称为A的有理标准形.
第九章
定理1“维欧式空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.
定理2对于“维欧式空间中任意一组基刍爲，…吗，都可以找到一组标准正交基
"|，“2,…，几，使M勺冷…心）=）3=12•
定理3两个有限维欧式空间同构的充分必要条件是它们的维数相同.
定理4设A是"维欧式空间V的一个线性变换，于是下面四个问题是相互等价的：
（1）A是正交变换；
（2）A保持向量的长度不变，即对于V,|Aft|=|ft|.
（3）如果坷，勺，…吗是标准正交基，那么Aq，A勺，…，Aj也是标准正交基；
•••
（4）A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
定理5如果子空间KM，…，匕两两正交，那么和片+©+•••+】；是直和.
定理6“维欧式空间V的每一个子空间-都有唯一的正交补.
定理7对于任意一个“级实对称矩阵4,都存在一个口级正交矩阵:
r,使
TfAT=T~]AT成对角形.
nn
定理8任意一个实二次型=作
i=lJ=1
都可以经过正交的线性替换变成平方和入才+入掳+•••+入此，
其中平方项的系数入:
入，…，入就是矩阵4的特征多项式全部的根.
第十章
定理1设「是P上一个"维线性空间，斫，习，…耳是V的一组基，…;％是P中任意“个数，存在唯一的V上线性函数/使
沧）=环心1,2…半.
\
定理2L（匕P）的维数等于r的维数,而且k忌…缶是厶（匕P）的一组基.
定理3设刍，勺，…心及帀4,…，几是线性空间F的两组基，它们的对偶基分别为區…乂及91』2厂'心.如果由坷，勺，…心到“皿，…，几的过渡矩阵为a,那么由區…人到91血…心的过渡矩阵为（川）J
定理4卩是一个线性空间，［严是V的对偶空间的对偶空间.F到「严的映射
**
是一个同构映射.
定理5设F是P上“维线性空间j（60）是F上对称双线性函数，则存在V的一组基巧心，…吗，使几代0）在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.
《数学分析》
第一、二章
定理（确界原理）设S为非空数集.若S有上界，则S必有上确界；若S有下界,则S必有下确界.
定理数列｛色｝收敛于a的充要条件是：
｛af-a｝为无穷小数列.
收敛数列的性质：
定理（唯一性）若数列｛©｝收敛，则它只有一个极限.
定理（有界性）若数列｛“”｝收敛，则｛©｝为有界数列，即存在正数使得对—切正整数"有\a,\定理（保号性）若lim©=a>0（或<0）,则对任何（或Ru（aO））,
存在正数N,使得当n>N有勺>（或an定理（保不等式性）设｛%｝与｛仇｝均为收敛数列.存在正数N。
，使叫时有a„n—>x>
定理（迫敛性）设收敛数列｛©｝,｛化｝都以。
为极限，数列｛-｝满足：
存在正数N（）,当n>No时有an定理（四则运算法则）若｛©｝与他｝收敛，则数列｛©+$｝,｛©"”｝,｛anbn｝也都是收敛数列，且有
lim（%±化）=lima”±limb”
n^xn—moc
lim（a〃・®）=limajlim化
n—>xn->oc
特别当乞为常数c•时有
\imcan=climan・n—
lim（a+c）=lima+c,
“fXH—>0C
=lim©/limb”・n—>oo//i—>oo
若在假设乞HO及limb”HO,则竺也是收敛数列，且有恤乞
n—>»卜/:
->»h
定理数列｛©｝收敛的充要条件是：
｛©｝的任何非平凡子列都收敛.
定理（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.
定理（柯西收敛法则）数列仗”｝收敛的充要条件是：
对任何给定的£<0,存在
正整数N,使得当n,m>N时有\an-a^<£.
第三章
定理limf（x）=Aolimf（x）=limf（x）=A.
函数极限的性质：
定理（唯一性）若极限lim/（a）存在，则此极限是唯一的.
定理（局部有界性）若limf（x）存在，则/在的某空心邻域^°Cv0）内有界.
定理（局部保号性）若lim/（x）=A>0（或<0），则存在任何正数r存在〃°（勺），使得对一切xeU°（x0）有f（x）>r>0（或f（x）<-r<0）.
定理（保不等式性）设limf（x）与limg（x）都存在，且在某邻域xu（/）（心5）有Xf❻YTXo
f（x）定理（迫敛性）设nm/（x）=limg（x）=A,且在某xet/°（x0;J）内有
f（x）XfYo
.V—>.1（1
定理（四则运算法则）若极限Um/（x）与limg（x）都存在,则函数f±g.厂g当
x->x（）时极限也存在，且
1）lim[/（x）±g（x）]=limf（x）±limg（x）；
2）lim[/（x）g（x）]=limf（x）・limg（x）;
•TfS.Yf§XT%
又若limg（x）H0,则//g当存在，且有
fM
•f丫0
3）lim八、'=limf（x）/limg（x）.
-V->Abg（X）I心/XTAb
定理（归结原则）设/在xei/°（x0;^）内有定义.lim/（x）存在的充要条件是:
对任何含于xet/°（x0;内且以儿为极限的数列陆｝,极限limf（xn）
Xf5
都存在且相等.
定理设函数/在点心的某空心右邻域匕°（心有定义.limfM=A的充要条
件是:
对任何以％为极限的递减数列{xn}czU^（x0）9有]imf（xn）=A.
定理设/•为定义在t/+°（A0）上的单调有界函数，则右极限lim/（x）存在.
[
定理（柯西准则）设函数/在（无;夕）内有定义.lim/（x）存在的充要条件是:
任给£>o,存在正数5（<夕），使得对任何V,Zet/°（x0;<^）有
定理设函数f.gji在”°（勺）内有定义，且有
/（X）~g（X）（XTXo）.
（i）若limf（x）h（x）=A,则limg（x）h（x）=A；
Xf$XT心
（ii）若lim—=B,则lim也卫
f/（x）Fg（x）
定理（i）设/在U°（Xo）内有定义且不等于0.若/为XT如时的无穷小量，则+为XT兀）时的无穷大量.
x（）时的无穷大量，则丄为XT%时的无穷小量.
g
第四章
¥
定理函数/•在点X。
连续的充要条件是：
/在点X。
既是右联系，又是左联系.
连续函数的性质：
定理（局部有界性）若函数/在点X。
连续，则/•在某〃（无）内有界.
定理（局部保号性）若函数/在点心连续，则/（x0）>0（或vO）,则对任何正数r
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