计数原理专题训练.docx
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计数原理专题训练
计数原理专题训练
1．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案有（ ）
A．48种B．72种C．96种D．216种
2．二项式n的展开式前三项系数成等差数列，则n等于（ ）
A．6B．8C．7D．9
3．山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中A，B两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为（ ）
A．12B．24C．36D．48
4．岳阳高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该检票口进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有（ ）
A．24种B．36种C．42种D．60种
5．二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为（ ）
A．7B．5C．4D．3
6．若二项式（3－x）n展开式中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则＋的最小值为（ ）
A．2B.C.D.
7．已知（2x－1）4＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋a3（x－1）3＋a4（x－1）4，则a2等于（ ）
A．18B．24C．36D．56
8．李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中到“东亚文化之都——泉州”二日游，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有（ ）
A．16种B．18种C．20种D．24种
9．在（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）11的展开式中，x2的系数是（ ）
A．220B．165C．66D．55
10．若（x2＋2）5展开式中x2项的系数是40，则实数m的值为（ ）
A.B．2C．±D．±2
11．某大型医疗器械展览将于2019年5月18至20日在兰州举行，现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为（ ）
A．540B．300C．180D．150
12．九九重阳节期间，学校准备举行慰问退休老教师晚会，学生们准备用歌曲、小品、相声三种艺术形式表演五个节目，其中歌曲有2个节目，小品有2个节目，相声有1个节目，要求相邻的节目艺术形式不能相同，则不同的编排种数为（ ）
A．96B．72C．48D．24
13．一共有5名同学参加《我的中国梦》演讲比赛，3名女生和2名男生，如果男生不排第一个演讲，同时两名男生不能相邻演讲，则排序方式有________种．（用数字作答）
14．多项式5的展开式中，含x2的项的系数是________；常数项是________．
15．若（1－2x）2018＝a0＋a1x＋…＋a2018x2018（x∈R），则＋＋…＋的值为________．
16．（2x－1）n展开式中二项式系数的
计数原理专题训练答案
1．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案有（ ）
A．48种B．72种C．96种D．216种
答案 C
解析 按照以下顺序涂色，
A：
C→B：
C→D：
C→C：
C→E：
C→F：
C，
所以由分步乘法计数原理得总的方案数为
C·C·C·C·C＝96.
2．二项式n的展开式前三项系数成等差数列，则n等于（ ）
A．6B．8C．7D．9
答案 B
解析 展开式的通项为Tk＋1＝kC，
其前三项的系数分别是1，，C，
据已知得n＝1＋，
解得n＝8（n＝1舍弃）．
3．山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中A，B两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为（ ）
A．12B．24C．36D．48
答案 B
解析 因为A，B两型号的种子试种方法数为2×2＝4，
所以一共有4A＝24（种）试种方法．
4．岳阳高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该检票口进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有（ ）
A．24种B．36种C．42种D．60种
答案 D
解析 若三名同学从3个不同的检票通道口进站，
则有A＝6（种）；
若三名同学从2个不同的检票通道口进站，
则有CCAA＝36（种）；
若三名同学从1个不同的检票通道口进站，
则有CA＝18（种）．
综上，这3个同学的不同进站方式有60种．
5．二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为（ ）
A．7B．5C．4D．3
答案 A
解析 二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则n＝20，
20展开式的通项为
Tk＋1＝C20－kk＝20－kC，
展开式的有理项满足20－k（k∈N）的值为整数，
据此可得，k可能的取值为0,3,6,9,12,15,18，共有7个．
6．若二项式（3－x）n展开式中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则＋的最小值为（ ）
A．2B.C.D.
答案 B
解析 令x＝1，可得二项式（3－x）n（n∈N*）展开式中所有项的系数之和为a＝2n，令x＝－1，可得（3－x）n展开式中所有项的系数的绝对值之和为b＝4n，则＋＝＋＝2n＋，故当n＝1时，＋取得最小值.
7．已知（2x－1）4＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋a3（x－1）3＋a4（x－1）4，则a2等于（ ）
A．18B．24C．36D．56
答案 B
解析 （2x－1）4＝4，
故a2（x－1）2＝C[2（x－1）]2＝4C（x－1）2，
所以a2＝4C＝24.
8．李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中到“东亚文化之都——泉州”二日游，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有（ ）
A．16种B．18种C．20种D．24种
答案 C
解析 任意相邻两天组合一起，
包括①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，一共有6种情况，
若李雷选①②或⑥⑦，则韩梅梅有4种选择，
若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则韩梅梅有3种选择，
故若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有2×4＋4×3＝20（种）．
9．在（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）11的展开式中，x2的系数是（ ）
A．220B．165C．66D．55
答案 A
解析 展开式中x2的系数为
C＋C＋C＋C＋…＋C，
由组合数的性质得，
C＋C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋C＋…＋C
…
＝C＝＝220.
10．若（x2＋2）5展开式中x2项的系数是40，则实数m的值为（ ）
A.B．2C．±D．±2
答案 C
解析 （x2＋2）5展开式中x2项是由5展开式中常数项与的二次项之积和5展开式中二次项与的常数项之积组成的．
∵5的展开式的通项为
Tk＋1＝C·5－k·（－mx）k＝（－m）kCx3k－10，
令3k－10＝0，解得k＝，不合题意，应舍去；
令3k－10＝2，解得k＝4，
∴（x2＋2）5的展开式中x2项的系数为2·（－m）4C＝40，即m4＝4，
解得m＝±.
11．某大型医疗器械展览将于2019年5月18至20日在兰州举行，现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为（ ）
A．540B．300C．180D．150
答案 D
解析 将5人分成满足题意的3组有1,1,3与2,2,1两种，
分成1,1,3时，有C·A种分法；
分成2,2,1时，有·A种分法，
由分类加法计数原理得，
共有C·A＋·A＝150（种）不同的分法．
12．九九重阳节期间，学校准备举行慰问退休老教师晚会，学生们准备用歌曲、小品、相声三种艺术形式表演五个节目，其中歌曲有2个节目，小品有2个节目，相声有1个节目，要求相邻的节目艺术形式不能相同，则不同的编排种数为（ ）
A．96B．72C．48D．24
答案 C
解析 第一类，先选择一个小品插入到2个歌曲之间，另一个小品放在歌曲的两边，这时形成了5个空，将相声插入其中一个，故有AAAA＝40（种）；第二类，相声插入歌曲之间，再把小品插入歌曲两边，有AA＝4（种）；第三类，相声插入小品之间，再把歌曲插入小品两边，有AA＝4（种），根据分类加法计数原理可得，共有40＋4＋4＝48（种）．
13．一共有5名同学参加《我的中国梦》演讲比赛，3名女生和2名男生，如果男生不排第一个演讲，同时两名男生不能相邻演讲，则排序方式有________种．（用数字作答）
答案 36
解析 根据题意，分2步完成：
①将3名女生全排列，有A＝6（种）顺序，
②排好后，有4个空位，男生不排第一个演讲，除去第一个空位，有3个空位可用，在这3个空位中任选2个，安排2名男生，有A＝6（种）情况，
则有6×6＝36（种）符合题意的排序方式．
14．多项式5的展开式中，含x2的项的系数是________；常数项是________．
答案 200 144
解析 根据题意，5的展开式的通项为
Tk＋1＝C25－k·xk.
∴当k＝2时，有T3＝C23·x2＝80x2；
当k＝3时，有T4＝C22·x3＝40x3；
当k＝0时，有T1＝C25·x0＝32；
当k＝1时，有T2＝C24·x1＝80x.
∴多项式5的展开式中，
含x2的项为2×80x2＋·40x3＝200x2，
即含x2的项的系数是200；
常数项是2×32＋·80x＝144.
15．若（1－2x）2018＝a0＋a1x＋…＋a2018x2018（x∈R），则＋＋…＋的值为________．
答案 －1
解析 在（1－2x）2018＝a0＋a1x＋…＋a2018x2018（x∈R）中，
令x＝0时，可得（1－2×0）2018＝a0，即a0＝1，
令x＝时，
可得2018＝a0＋＋＋…＋，
即a0＋＋＋…＋＝0，
又a0＝1，所以＋＋…＋＝－1.
16．（2x－1）n展开式中二项式系数的和为32，则（2x2＋x－1）n展开式中x3的系数为________．
答案 －30
解析 由（2x－1）n展开式中二项式系数的和为32，可得2n＝32，解得n＝5，（2x2＋x－1）5＝（x＋1）5（2x－1）5，
根据二项式定理可以求得（x＋1）5的展开式中，
三次项、二次项、一次项的系数和常数项分别是10,10,5,1，
（2x－1）5的展开式中，
常数项及一次项、二次项、三次项的系数分别是－1,10，－40,80，
所以展开式中x3项的系数为－10＋100－200＋80＝－30.
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