经济数学II线性代数教学大纲 新版.docx

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经济数学II线性代数教学大纲新版

《经济数学II（线性代数）》

教学大纲

制定单位：

山东财经大学数学与数量经济学院

制定时间：

2013年7月修订

课程中文名称：

线性代数

课程英文名称：

LinearAlgebra

课程代码：

16200081

学时数：

34

学分数：

2

先修课程：

无

适用专业：

金融学专业（高水平运动员）。

一、课程的性质和任务

1.课程性质

《经济数学II（线性代数）》是金融学专业（高水平运动员）的学科基础课。

本课程运用行列式、矩阵等知识研究线性空间、线性方程组及矩阵特征值的理论，其概念、性质及理论具有较强的抽象性和严密的逻辑性。

2.课程任务

通过本课程的学习，使学生掌握《线性代数》的基本理论与方法，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，使学生获得应用科学中常用的行列式与矩阵方法、线性方程组、矩阵特征值、二次型等理论知识，并具有熟练的运算能力和解决实际问题的能力，为学生学习后续课程奠定必要的数学基础。

二、本课程与其他课程的联系与分工

本课程不仅是现代数学的基础，而且其理论和方法在物理学、计算机科学、经济管理以及工程技术科学中都有重要应用。

本课程是我校《概率论与数理统计》、《投入产出分析》、《计量经济学》等课程的先修课程。

三、课程教学内容

第一章   行列式

教学目的与要求：

1.了解排列、逆序、逆序数和奇、偶排列的定义。

2.理解

阶行列式的定义,能用定义计算一些特殊的行列式。

3.掌握行列式的基本性质和计算方法。

4.理解余子式、代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开法则。

5.掌握克莱姆（Cramer）法则。

教学重点与难点：

重点：

行列式的概念与性质，行列式按行（列）展开法则，行列式的计算，利用克莱姆法则求解线性方程组。

难点：

n阶行列式的概念，高阶行列式的计算。

第一节

阶行列式

一、二阶、三阶行列式

1.二阶行列式的定义与计算

2.三阶行列式的定义与计算

二、n级排列与逆序数

n级排列的定义，逆序及逆序数的定义，奇排列与偶排列。

三、

阶行列式

n阶行列式的定义，上（下）三角形行列式，对角形行列式。

第二节行列式的性质

行列式的基本性质及其应用。

第三节行列式按行（列）展开

一、行列式按某一行（列）展开

1.余子式与代数余子式

2.行列式按行（列）展开法则

二、行列式按k行（列）展开*

1.k阶子式的余子式与代数余子式

2.拉普拉斯定理

3.行列式的乘法

第四节行列式的计算

行列式的计算举例，范德蒙行列式。

第五节克莱姆法则

一、克莱姆法则

二、齐次线性方程组有非零解的条件

第二章矩阵

教学目的与要求：

1.了解矩阵的概念。

2.掌握矩阵的线性运算、矩阵乘法、方阵的幂、矩阵的转置运算。

3.理解单位矩阵、数量矩阵、对角形矩阵、上（下）三角形矩阵的概念及其运算性质；了解对称矩阵与反对称矩阵。

4.了解方阵的行列式、伴随矩阵的概念。

5.理解逆矩阵的定义，掌握矩阵可逆的充分必要条件，会用伴随矩阵法求逆矩阵。

6.掌握逆矩阵的性质。

7.了解分块矩阵的概念及分块矩阵的运算，会求特殊的分块矩阵的逆矩阵。

8.理解初等变换和初等矩阵的概念及二者之间的关系，了解矩阵的等价关系，理解可逆矩阵和初等矩阵的关系。

9.掌握初等变换求逆矩阵的方法。

10.了解矩阵的k阶子式、阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵的概念。

11.理解矩阵的秩的定义，会求矩阵的秩。

教学重点与难点：

重点：

矩阵的线性运算与矩阵乘法；逆矩阵的定义与性质，方阵可逆的充分必要条件，求逆矩阵的伴随矩阵法与初等变换法；矩阵的初等变换与初等矩阵；矩阵的秩。

难点：

矩阵的乘法，分块矩阵的乘法；矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系；矩阵秩的定义。

第一节矩阵的概念

矩阵的概念，同型矩阵与矩阵相等的概念，行（列）矩阵及单位矩阵的概念。

第二节矩阵的运算

一、矩阵的加法与减法

矩阵的加法与减法的定义及运算法则。

二、数与矩阵的乘法

数与矩阵的乘法的定义及运算法则。

三、矩阵的乘法

1.矩阵的乘法定义及运算法则

2.方阵的幂

四、矩阵的转置

转置矩阵的定义及转置矩阵的性质。

第三节几种特殊的矩阵

一、对角形矩阵、数量矩阵、上（下）三角形矩阵

二、对称矩阵与反对称矩阵

第四节逆矩阵

一、方阵的行列式与伴随矩阵

1.方阵的行列式及其性质

2.伴随矩阵的定义

3.矩阵

与其伴随矩阵

的关系：

。

二、逆矩阵

1.逆矩阵的定义

2.方阵可逆的充分必要条件及伴随矩阵法求逆矩阵

三、逆矩阵的性质

第五节分块矩阵

一、分块矩阵的概念

二、分块矩阵的运算

1.分块矩阵的加法与数乘

2.分块矩阵的乘法

3.分块矩阵的转置

4.特殊分块矩阵求逆

第六节矩阵的初等变换

一、矩阵的初等变换

1.矩阵的初等变换的定义

2.矩阵的标准形及矩阵等价

二、初等矩阵

1.初等矩阵的定义及其性质

2.初等矩阵与矩阵的初等变换的关系

三、初等行变换法求逆矩阵

1.矩阵可逆的两个充分必要条件

2.初等行变换法求逆矩阵

第七节矩阵的秩

一、矩阵的秩

k阶子式，矩阵秩的定义，阶梯形矩阵与行简化阶梯形矩阵。

二、求矩阵秩的方法

三、矩阵秩的性质

第三章

维向量

教学目的与要求：

1.了解向量的概念，掌握向量的线性运算。

2.理解向量的线性组合、向量组的等价、向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的性质及判别法。

3.理解向量组的极大无关组与向量组的秩的概念，会求向量组的极大无关组及向量组的秩。

4.理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系。

教学重点与难点：

重点：

向量组的线性组合，向量组的线性相关与线性无关的性质及判别方法，线性组合与线性相关定理，向量组的极大无关组与向量组的秩。

难点：

向量组的线性相关与线性无关定义，线性组合与线性相关定理，向量组的极大无关组与向量组的秩的定义。

第一节

维向量及其运算

一、

维向量的概念

二、向量的线性运算

1．向量的加法与向量的数乘

2．向量的线性运算满足的运算律

第二节向量间的线性关系

一、向量的线性组合

1.线性组合的定义

2.向量组的等价

二、向量组的线性相关与线性无关

1.线性相关与线性无关的定义

2.线性组合和线性相关性的定理

第三节向量组的秩

一、向量组的极大无关组

二、向量组的秩

1.向量组的秩的定义

2.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

3.向量组的极大无关组与秩的求法

第四章线性方程组

教学要目的与求：

1.了解线性方程组的概念及矩阵表示形式，了解线性方程组的初等变换，掌握线性方程组的消元解法。

2.掌握非齐次线性方程组有解的充分必要条件及解的个数的判定，掌握齐次线性方程组有非零解的判定方法。

3.理解齐次线性方程组解的性质、基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。

教学重点与难点：

重点：

消元法解线性方程组，线性方程组有解的判定，齐次线性方程组的基础解系与通解。

难点：

线性方程组有解的判定定理，基础解系存在定理。

第一节线性方程组的初等变换

一、消元法解线性方程组

二、线性方程组的初等变换

第二节线性方程组有解的判定

一、线性方程组的矩阵表示形式和向量表示形式

二、线性方程组有解的判定定理

1.线性方程组有解的充分必要条件

2.线性方程组的一般解

第三节齐次线性方程组

齐次线性方程组有非零解的判定。

第四节线性方程组解的结构

一、齐次线性方程组解的结构

1.齐次线性方程组解的性质

2.基础解系的定义

3.基础解系的存在性定理

4.齐次线性方程组的通解

第五章矩阵的特征值与特征向量

教学目的与要求：

1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念。

2．掌握矩阵的特征值与特征向量的基本性质，会求矩阵的特征值与特征向量。

3.理解相似矩阵的概念、性质、矩阵与对角形矩阵相似的条件，掌握判断矩阵

是否可对角化的方法。

4.了解约当标准形的概念。

5.了解向量的内积、长度、正交的概念；了解向量的内积、长度的基本性质；理解正交向量组、标准正交向量组、正交矩阵的概念及其性质；了解施密特（Schmidt）正交化方法。

6.理解正交相似的概念、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质；掌握用正交变换将实对称矩阵对角化的方法。

教学重点与难点：

重点：

矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵、正交向量组、正交矩阵的概念与性质，实对称矩阵的性质，矩阵可对角化的条件，矩阵对角化的方法。

难点：

特征多项式的计算，用正交变换将实对称矩阵对角化的方法。

第一节矩阵的特征值与特征向量

一、矩阵的特征值与特征向量的概念

矩阵的特征值与特征向量，特征矩阵，特征多项式，特征方程。

二、特征值与特征向量的求法

三、特征值与特征向量的基本性质

第二节相似矩阵与矩阵可对角化的条件

一、相似矩阵的概念

相似矩阵的概念，相似关系的性质。

二、相似矩阵的性质

三、矩阵与对角形矩阵相似的条件

矩阵可对角化的条件，矩阵对角化的方法。

第三节实对称矩阵的对角化

一、向量的内积与正交向量组

1.内积的概念及基本性质

2.向量的长度（模、范数）的概念及性质

3.向量正交的概念

4.正交向量组、标准正交向量组

二、施密特（Schmidt）正交化方法

三、正交矩阵

1.正交矩阵的概念及基本性质

2.正交矩阵与标准正交向量组的关系定理

四、实对称矩阵的对角化

1.实对称矩阵特征值与特征向量的性质

2.正交相似的概念

3.用正交变换将实对称矩阵对角化的方法

四、学时分配表

章次

章目

学时分配

备注

第一章

行列式

8

习题课1课时

第二章

矩阵

8

习题课1课时

第三章

维向量

6

习题课1课时

第四章

线性方程组

6

习题课1课时

第五章

矩阵的特征值与特征向量

6

习题课1课时

合计

34

五、课程教学的基本要求

1.课堂讲授：

讲授以课件为主，板书为辅，课堂讲授共29，其中习题讲授5学时。

教师在基本知识讲授的基础上，加强对学生处理应用问题能力的锻炼与培养。

2.实验环节:

无。

3.作业：

每次课都要选择教材中的课后习题3-6道题作为书面作业，其余题目作为课下练习题。

以此加深学生对所学概念的理解、基本方法及技巧的掌握，从而提高学生分析和解决问题的能力。

六、建议教材及主要参考资料

1.建议教材

郝秀梅、姜庆华主编，线性代数[M]，北京：

经济科学出版社，2013，第二版。

2.主要参考资料

[1]《线性代数》卢刚主编，高等教育出版社，2004，第二版。

[2]《线性代数学习指导》孟宪萌、王继强主编，经济科学出版社，2013，第二版。

[3]《线性代数》赵树嫄主编，中国人民大学出版社，2006，第三版。

[4]《线性代数中的典型例题分析与习题》卢刚编，高等教育出版社，2004

[5]《线性代数》同济大学，高等教育出版社，1991，第二版。

七、课程成绩考核

课程成绩包括两部分：

平时成绩和期末考试成绩，采用百分制。

平时成绩包括：

考勤，课堂表现，作业，小测验等，共占总成绩的30％；期末考试采用闭卷笔试方式，占总成绩的70％。

具体考核内容及所占比例，详见下表：

考核内容

占总成绩的比例

平时考核

考勤、作业

20%

课堂表现、小测试

10%

期末考核

教学大纲涵盖的内容

70%

大纲制（修）订人：

苏华

大纲审定人：

刘贵基

校对：

脱秋菊

日期：

2013.7.20