《高等数学BIBII》教学大纲.docx

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《高等数学BIBII》教学大纲

《高等数学BI、BII》教学大纲

一、课程名称：

高等数学BI、BII

AdvancedMathematicsBI、BII

二、课程编号：

101003、101004

三、学分学时：

5+6学分/80+96学时

四、使用教材：

《高等数学》（上）（下），科学出版社

五、课程属性：

学科基础课/必修

六、教学对象：

水文、地信、资环、水务、水工、热动、港航、交通、给排水、环境、农水、设农、材料、土木、地质、测绘等专业本科生。

七、开课单位：

理学院大学数学部

八、先修课程：

高中数学课程

九、教学目标：

高等数学是工科高等学校教学计划中各专业的一门必须的重要的基础理论课。

其目标是：

通过这门课程的学习，使学生系统地获得微积分、级数及常微分方程的基础理论知识。

掌握必要的基础理论和常用的计算方法等，使学生初步受到用数学方法解决几何和物理等实际问题的能力训练。

通过各个教学环节的学习，逐步培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意综合运用、分析解决实际问题能力的训练，为学习后续课程及进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。

十、课程要求：

本课程采用以课堂教学为主、课后练习、研讨和集中答疑为辅的教学模式，开展研究式、问题式、启发式和应用式等多形式教学方式，实行互动式研究型教学。

课堂上结合知识的物理背景重点讲授基本概念、基本结论和基本研究方法，寓问题于课程教学过程中，重点培养学生获取知识和应用数学知识解决基本问题的能力，同时提升学生的基本数学素质。

因此，本课程要求做好课前预习和课后复习，可以到课程网站上（）下载课程课件和与课程相关的资料，也可以到主讲教师的个人空间中下载课件，主动参与课程教学过程中和课程网站上的研讨，课后按时完成布置的作业。

本课程教学环节的具体要求为：

⏹每周两到三次课后作业；

⏹每周定点安排的课程集中答疑；

⏹一次期中考试；

⏹课程研讨报告；

⏹一次期末考试。

十一、教学内容：

本课程主要由以下内容组成：

第一章函数、极限、连续（14学时）

⏹知识要点：

理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单问题的函数关系；了解有界性、单调性、周期性、奇偶性的概念；理解复合函数、分段函数的概念，了解反函数、隐函数的概念，掌握基本初等函数的性质与图形；对简单函数会求反函数，对反三角函数强调主值范围，对双曲函数只强调定义和记号；理解数列、函数极限的几何意义；了解极限存在与左、右极限的关系；能熟练运用极限的线性运算、四则运算法则；了解极限的性质；会用夹逼定理、单调有界原理求简单极限；掌握使用两个重要极限计算极限的方法；理解无穷大与无穷小的概念，理解无穷小与极限的关系，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小替换计算极限，了解无穷小的阶与阶的估计；了解函数连续的概念（含左、右连续的概念），了解初等函数的连续性；会判别函数的间断点；了解最大值、最小值定理；了解介值定理与根值定理，会用根值定理证明方程根的存在性。

⏹重点难点：

重点是极限的概念和运算、夹逼定理、单调有界原理、两个重要极限、函数的连续性的定义和性质、最值定理和介值定理；难点是反函数、极限的

定义、证明及运算。

⏹教学方法：

学生自学预习，教师课堂讲解，结合研讨性问题开展研究型教学，课后集中答疑和讲解习题，布置习题练习等。

第二章导数与微分（15学时）

⏹知识要点：

理解导数概念与几何意义；简单了解利用导数的定义解题的技巧；熟练掌握四则运算，复合函数，反函数，隐函数，参数方程求导法则；会求形如

等简单情况下的高阶导数；了解可微的概念与判定，掌握微分计算。

⏹重点难点：

重点是导数、微分的定义、几何意义及具体的计算；难点是用导数的定义求导数、复合函数的导数及隐函数求导。

⏹教学方法：

学生自学预习，教师课堂讲解，结合研讨性问题开展研究型教学，课后集中答疑和讲解习题，布置习题练习等。

第三章微分中值定理与导数的应用（15学时）

⏹知识要点：

熟练掌握罗尔定理和拉格朗日定理的条件与结论；了解柯西定理的条件与结论；会用中值定理去解析题目，解决一些实际问题；会构造形如

的辅助函数去解析题目；只要求掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；熟悉把函数

展成

阶的带有Lagrange余项及带有Peano余项的Taylor公式的条件及公式；对于带有Lagrange余项的Taylor公式只要求会把函数

展成二阶的带有Lagrange余项的Taylor公式理解函数的极值概念；掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用，会用导数判断函数图形的凹凸性，会求曲线的拐点，水平、铅直和斜渐近线，会描绘简单函数的草图。

⏹重点和难点：

重点是罗尔定理、拉格朗日定理、罗必塔法则及函数的性态；难点是中值定理。

⏹教学方法：

学生自学预习，教师课堂讲解，结合研讨性问题开展研究型教学，课后集中答疑和讲解习题，布置习题练习等。

第四章不定积分（14学时）

⏹知识要点：

理解原函数与不定积分概念，掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握不定积分的换元法，对于第二类换元法,重点要求熟练掌握被积函数是

类的积分代换

及用三角代换解决被积函数是形如

和

类的积分；掌握不定积分的分部积分法，利用分部积分能进行一些简单的递推公式的推导；对有理函数的积分，掌握分母次数≤3的积分，如

，

等的积分；了解万能代换并能解决一些简单的三角函数如

等积分。

⏹重点与难点：

重点是不定积分的多种计算方法；难点是求不定积分的技巧。

⏹教学方法：

学生自学预习，教师课堂讲解，结合研讨性问题开展研究型教学，课后集中答疑和讲解习题，布置习题练习等。

第五章定积分（xx学时）

⏹知识要点：

理解定积分的概念，不要求掌握利用定义求定积分，但要求能将某些和的极限表示成定积分；理解定积分中值定理，掌握定积分的性质，对于区间可加性的性质只要求从几何上理解其含义；掌握定积分的换元法，掌握定积分的分部积分法，会利用定积分的基本方法求解基本的题目。

会求简单有理函数、简单三角有理函数与简单无理函数的积分，了解广义积分的概念，不要求掌握Γ—函数。

⏹重点与难点：

重点是微积分基本定理；难点是定积分等式与不等式的证明。

⏹教学方法：

学生自学预习，教师课堂讲解，结合研讨性问题开展研究型教学，课后集中答疑和讲解习题，布置习题练习等。

第六章定积分的应用（10学时）

⏹知识要点：

会利用微元法求解平面图形的面积、已知平行截面面积和旋转体的立体体积及简单图形平板垂直置于水中时所受的压力。

⏹重点与难点：

重点是用定积分计算面积、体积、功；难点是定积分求体积、功。

⏹教学方法：

学生自学预习，教师课堂讲解，结合研讨性问题开展研究型教学，课后集中答疑和讲解习题，布置习题练习等。

第七章常微分方程（20学时）

⏹知识要点：

常微分方程的概念；微分方程的解、通解、初始条件和特解；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程。

⏹基本要求：

1、了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。

2、掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。

3、会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程。

4、会用降阶法解下列方程：

。

5、理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

6、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

7、会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

⏹重点与难点：

重点是一阶微分方程及二阶常系数微分方程的求解；难点是二阶非齐次微分方程的求解。

⏹教学方法：

学生自学预习，教师结合多媒体进行课堂讲授，集中答疑和讲解习题，课后布置习题练习等。

第八章多元函数微分学（22学时）

⏹知识要点：

多元函数的概念；二元函数的极限和连续的概念；有界闭区域上连续函数的性质；偏导数、全微分的概念；全微分存在的必要条件和充分条件；全微分在近似计算中的应用；复合函数、隐函数的求导法；二阶偏导数；方向导数和梯度的概念及其计算；空间曲线的切线和法平面；曲面的切平面和法线；多元函数的极值和条件极值的概念；多元函数极值存在的必要条件；二元函数极值的充分条件；极值的求法；拉格朗日乘数法；多元函数的最大值、最小值及其简单的应用。

⏹基本要求：

1、理解多元函数的概念。

2、了解二元函数的极限与连续性的概念。

3、理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。

4、了解方向导数与梯度的概念。

5、掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

6、会求隐函数的偏导数。

7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

8、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

⏹重点与难点：

重点是多元复合函数及隐函数的求导及多元函数微分法在几何上的应用；难点是梯度的概念和条件极值的求解。

⏹教学方法：

学生自学预习，教师结合多媒体进行课堂讲授，集中答疑和讲解习题，课后布置习题练习等。

第九章重积分（14学时）

⏹知识要点：

二重积分的概念；二重积分的性质；二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算；三重积分的概念；三重积分在直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下的计算；重积分的简单应用。

⏹基本要求：

1、理解二重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。

2、掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法。

3、理解三重积分的概念，了解重积分的性质。

4、掌握三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）的计算方法。

⏹重点与难点：

重点是二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算、三重积分的计算；难点是三重积分在柱面坐标系和球面坐标系下的计算。

⏹教学方法：

学生自学预习，教师结合多媒体进行课堂讲授，集中答疑和讲解习题，课后布置习题练习等。

第十章曲线积分、曲面积分（18学时）

⏹知识要点：

第一型曲线积分的概念、性质和计算；第二型曲线积分的概念、性质和计算；格林公式；第一型曲面积分的概念和计算；第二型曲面积分的概念和计算；高斯公式；斯托克斯公式。

⏹基本要求：

1、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2、掌握计算两类曲线积分的方法。

3、会用格林公式计算平面曲线积分，了解平面曲线积分与路径无关的四个等价条件。

4、理解两类曲面积分的概念，了解两类曲面积分的性质及两类曲面积分的关系。

5、掌握计算两类曲面积分的方法。

6、会用高斯公式计算曲面积分。

了解斯托克斯公式的应用。

7、会用重积分、曲线、曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量等）。

⏹重点与难点：

重点是两类曲线积分和曲面积分的计算；难点是格林公式和高斯公式。

⏹教学方法：

学生自学预习，教师结合多媒体进行课堂讲授，集中答疑和讲解习题，课后布置习题练习等。

第十一章级数（22学时）

⏹知识要点：

常数项级数的收敛与发散的概念；收敛级数的和的概念；级数的基本性质与收敛的必要条件；几何级数与p级数；正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法；交错级数的莱布尼兹定理；绝对收敛与条件收敛；函数项级数的收敛域与和函数的概念；幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域；幂级数在其收敛区间内的基本性质；简单幂级数的和函数的求法；函数可展开为泰勒级数的充分必要条件；

α的麦克劳林（Maclaurin）展开式；付立叶级数。

⏹基本要求：

1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2、掌握几何级数与p级数的收敛性。

3、会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比较审敛法。

4、会用交错级数的莱布尼兹定理。

5、了解无穷级数的绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数。

9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10、掌握

α的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11、掌握付立叶级数的收敛定理

xx、会将一些简单函数展开成以

为周期的付立叶级数。

⏹重点与难点：

重点是正项级数的审敛法和幂级数的收敛区间的求法解；难点是付立叶级数。

⏹教学方法：

学生自学预习，教师结合多媒体进行课堂讲授，集中答疑和讲解习题，课后布置习题练习等。

十二、实践环节：

根据各自的讲课情况，在课堂教学过程穿插讲解习题和讲授常用数学软件如Mathematic、MatLab等软件。

十三、教学参考：

1、参考教材

《高等数学》（第五版）（上）（下），同济大学应用数学系主编，高等教育出版社；

《工科数学分析基础》（上）（下），马知恩、王棉森主编，高等教育出版社；

《高等数学学习指导书》，河海大学大学数学部编写；

《高等数学》（上）（下）习题册；

2、网络资源。

国家精品课程--西安交通大学“高等数学”网站；

国家精品课程--同济大学“高等数学”网站；

河海大学精品课程---“高等数学”网站。

十四、考核方式：

考试或考查方式：

期中和期末考试为闭卷笔试或半开卷笔试，课程总成绩由平时成绩（到课情况、作业情况、课程研讨情况等）、期中考试成绩和期末考试成绩综合评定。

十五、课程说明：

《高等数学》是工科学校各专业学生一门必修的基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的，是工科各专业学生研究生入学考试的必考课程。

本课程为河海大学精品课程。

本课程为河海大学研究性教学示范课程。

大纲编写人：

xx

大纲编写时间：

20xx年3月xx日