高三数学 51等差数列与等比数列复习学案.docx

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高三数学51等差数列与等比数列复习学案

四川省古蔺县中学高三数学复习学案：

5.1等差数列与等比数列

【知识特点】

（1）数列是高中数学的主要内容之一是高考的常考内容；

（2）数列具有函数特征，又能构成独特的递推关系，故使得数列与函数、方程、不等式等知识有较密切的联系，因此高考命题时常将数列与函数、不等式、向量等交汇，考查学生的逻辑思维能力、运算推理能力，呈现出综合性强、立意新的特点；

（3）数列、等差与等比数列的概念和性质、通项公式、前n项和公式等知识，突出了“小、巧、活”的特点，也提供了知三求二的理论依据；

（4）数列的规律性较强，学习时一定要从其规律入手来计算、分析、解决有关问题。

【重点关注】

（1）要正确理解数列、等差、等比数列的基本概念，掌握各公式之间的联系和内在规律，掌握公式的灵活运用，甚至要灵活地回归定义，巧用性质，使运算更简捷；

（2）要善于运用函数与方程、化归与转化、分类讨论等思想方法去分析问题、解决问题；

（3）本章另一重点是由递推公式得出数列，以及数列的前n项和Sn与通项之间的关系。

体现了由特殊到一般的思维规律；

（4）与数列有关的应用题也是高考考查的重点，特别是数列建模问题；

（5）数列证明问题与数学归纳法的联系。

【地位和作用】

数列是函数大家庭中的一员，其特殊性在于其定义域是正整数，它是按一定次序排列的一列数，数列在中学数学中既具有相对的独立性，又具有较强的综合性，它是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，因此历年的高考中占有较大的比重，在选择、填空题中，突出“小、巧、活”的特点。

递推思想可以极大地激活人们探索与发现真理的能力，由给出的前若干项及an与an+1的关系式得到的数列叫递推数列，该关系式叫递推公式。

高考命题中数列善于占有重要一席

，而运用递推式是解题的起点。

对于本章而言，从新课改近几年各省份的高考信息可以看出，高考命题呈现出以下几个特点：

1、考查题型较为全面。

选择、填空、解答均有所考查，一般一小一大，分值占10%，其中解答题难度较大；

2、重点考查等差数列、等比数列的定义，通项公式和前n项和公式，注重在知识的交汇处命题，如数列与函数、方程、不等式等知识的综合应用。

注意对观察、转化与化归能力及数学归纳法的考查；

3、预计今后高考仍将以等差数列、等比数列的定义，通项公式和前n项和公式为考点，同时与其他章节结合命题将是数列解答题的命题方向。

第一节等差数列与等比数列

【高考目标导航】

一、数列的概念与简单表示法

1、考纲点击

（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；

（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数。

2、热点提示

（1）已知数列的通项公式或递推关系，求数列的各项；

（2）以数列的前几项为背景，考查“归纳——推理”思想。

（3）由数列的递推关系式求数列的通项公式是本节重点，也是本节的难点。

二、等差数列及其前n项和

1、考纲点击

（1）理解等差数列的概念；

（2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；

（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；

（4）了解等差数列与一次函数的关系。

2、热点提示

（1）等差数列的通项公式与前n项和公式是考查重点；

（2）归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、运用函数的性质解决等差数列问题是重点，也是难点；

（3）题型以选择题和填空题为主，与其他知识结合则以解答题为主。

三、等比数列及其前n项和

【考纲知识梳理】

一、数列的概念与简单表示法

1、数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。

2、数列的分类

分类原则类型满足条件

按项数分类有穷数列项数有限

无穷数列项数无限

按项与项间的大小关系分类递增数列

其中

递减数列

常数列

按其他标准分类有界数列存在正数M，使

摆动数列的符号正负相间，如1，-1，1，-1，……

3、数列的表示法：

数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法。

注：

数列可以看作一个函数，其定义域是正整数集（或它的有限子集{1，2，3，……，n}）,可表示为。

4、数列的通项公式

如果数列{}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

注：

数列的通项公式不唯一，如数列-1，1，-1，1，……通项公式可以为或，有的数列没有通项公式。

5、数列与函数的内在联系

从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

6、递推公式

如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

二、等差数列及其前n项和

1、等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，通常用d表

示，其符号语言为：

2、等差数列的通项公式

若等差数列{}的首项为，公差是d,则其通项公式为。

注：

已知等差数列{}的第m项为，公差为d，则其第n项可以表示为：

。

3、等差中项

如果三个数a,A,b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，且有。

4、等差数列的前n项和公式

三、等比数列及其前n项和

等比数列的相关概念

相关名词等比数列{}的有关概念及公式

定义

通项公式

前n项和公式

等比中项设a、b为任意两个同号的实数，则a、b的等比中项为：

注：

是a,b,c成等比的必要不充分条件，∵当b=0,a,c至少有一个为零时，成立，但a,b,c不成等比，反之，若a,b,c成等比，则必有

方法提示：

1、数列的项与集合中元素的区别：

把数列中的项与集合中的元素相比较，数列中的项具有确定性、有序性、可重复性，不具有互异性；集合中的元素具有确定性、无序性、互异性。

2、求通项公式的技艺：

根据数列的前几项写出数列的通项公式时，常用到“观察、归纳、猜想、验证”的数学思想方法，即先找出各项相同的部分（不变量），再找出不同的部分（可变量）与序号之间的关系，并用n表示出来，不是所有的数列都有通项公式，一个数列的通项公式在形式上可以不唯一。

【要点名师透析】

一、数列的概念与简单表示法

（一）由数列的前几项求数列的通项公式

※相关链接※

数列的通项公式

（1）据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察观察分析，抓住以下几方面的特征：

①分式中分子、分母的特征；

②相邻项的变化特征；

③拆项后的特征；

④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想。

（2）观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）转换而使问题得到解决。

（3）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着从特殊到一般的思想，由不完全归纳提出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用或来调整。

※例题解析※

〖例〗写出下列各数列的一个通项公式：

思路解析：

由所给数列前几项的特点，归纳出其通项公式，注意项与项数的关系，项与前后项之间的关系，通项公式的形式并不唯一。

解答：

（1）各项是从4开始的偶数，所以；

（2）每一项分子比分母少1，而分母可写成21，22，23，24，25，……，故所求数列的一个通项公式可定为；

（3）带有正负号，故每项中必须含有一个这个因式，而后去掉负号，观察可得。

将第二项-1写成。

分母可化为3，5，7，9，11，13，……为正奇数，而分子可化为12+1，22+1，32+1，42+1，52+1，62+1，……故其一个通项公式可写为：

；

（4）将数列各项写为分母都是3，而分子分别是10-1，102-1，103-1，104-1，……，所以

（二）由递推公式求数列通项公式

※相关链接※

1、由和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用化归法、累加法、累乘法等。

（1）构造等比数列，已知首项，递推关系为，求数列的通项公式的关键是将转化为的形式，其中a的值可由待定系数法确定，即

（2）已知且可以用累加法，即，，……，，。

所有等式左右两边分别相加，得

即：

（3）已知且可以用累乘法，即，，……，，，所有等式左右两边分别相乘，得

注：

并不是每一个数列都有通项公式，如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式在形式上也可以不止一个。

2、由与的关系求

由求时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为。

※例题解析※

〖例〗

（1）在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+）an+设求数列{bn}的通项公式;

（2）已知数列{an}中，a1=1,an+1=（n+1）an，求数列{an}的通项

公式．

思路分析:

（1）首先由递推公式得到的关系式：

再借助于累加的方法求出数列{bn}的通项公式；（

2）由题设可得利用累乘的方法求解.

解析:

（1）由已知可得b1=a1=1，且

即从而有

bn=b1+（b2-b1）+…+（bn-bn-1）=（n≥2），又因为b1=a1=1，故所求的通项公式为

（2）∵an+1＝（n＋1）an，

a1＝1.

累乘可得，

an＝n×（n-1）×（n-2）×…×3×2×1＝n！

.

故an＝n！

.

（二）数列的单调性及其应用

〖例〗（12分）已知数列的前n项和为,并且满足

（1）求{}的通项公式；

（2）令，问是否存在正整数m,对一切正整数n，总有，若存在，求m的值；若不存在，说明理由。

思路解析：

（1）

（2）由已知得的表达式求最

大项得结论.

解答:

（1）令n=1,

（2）

注:

（1）数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用①作差法，②作商法，③结合函数图象等方法。

（2）求最大项，则满足；若求最小项，则满足。

二、等差数列及其前n项和

（一）等差数列的基本运算

※相关链接※

1、等差数列的通项公式=+（n-1）d及前n项和公式，共涉及五个量，，d,n,,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题；

2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

注：

因为，故数列{}是等差数列。

※例题解析※

〖例〗已知数列{}的首项=3，通项，且，，成等差数列。

求：

（1）的值；

（2）数列{}的前n项和的公式。

思路解析：

（1）由=3与，，成等差数列列出方程组即可求出；

（2）通过利用条件分成两个可求和的数列分别求和。

解答：

（1）由=3得……………………………………①

又，得…………………②

由①②联立得。

（2）由

（1）得，

（二）等差数列的判定

※相关链接※

1、等差数列的判定通常有两种方法：

第一种是利用定义，，第二种是利用等差中项，即。

2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。

（1）通项法：

若数列{}的通项公式为n的一次函数，即=An+B,则{}是等差数列；

（2）前n项和法：

若数列{}的前n项和是的形式（A，B是常数），则{}是等差数列。

注：

若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。

※例题解析※

〖例〗已知数列{}的前n项和为，且满足

（1）求证：

{}是等差数列；

（2）求的表达式。

思路解析：

（1）与的关系结论；

（2）由的关系式的关系式

解答：

（1）等式两边同除以得-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2为首项，以2为公差的等差数列。

（2）由

（1）知=+（n-1）d=2+（n-1）×2=2n,∴=,当n≥2时，=2•=。

又∵，不适合上式，故。

（三）等差数列的性质

※相关链接※

1、等差数列的单调性：

等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。

2、等差数列的简单性质：

已知数列{}是等差数列，是其前n项和。

（1）若m+n=p+q,则,特别：

若m+n=2p，则。

（2）仍是等差数列，公差为kd;

（3）数列也是等差数列；

（4）；

（5）若n为偶数，则；若n为奇数，则；

（6）数列也是等差数列，其中均为常数，是等差数列。

3、等差数列的最值：

若是等差数列，求前n项和的最值时，

（1）若a1>0,d>0,且满足，前n项和最大；

（2）若a1<0,d>0，且满足，前n项和最小；

（3）除上面方法外，还可将的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意。

※例题解析※

〖例1〗（2011•如皋模拟）已知在等差数列{an}中，a1=31，Sn是它的前n项和，S10=S22，

（1）求Sn；

（2）这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值.

思路解析：

利用等差数列的性质求解第

（1）题、第

（2）题，解题关键是写出前n项和公式，利用函数思想解决.

（1）∵S10=a1+a2+…+a10，

S22=a1+a2+…+a22，又S10=S22

∴a11+a12+…+a22=0，

即a11+a22=2a1+31d=0,

又a1=31，∴d=-2，

∴Sn=na1+=31n-n（n-1）=32n-n2.

（2）方法一：

由

（1）知Sn=32n-n2，

∴当n=16时，Sn有最大值，Sn的最大值是256.

方法二：

由Sn=32n-n2=n（32-n），欲使Sn有最大值，应有1

从而

当且仅当n=32-n，即n=16时，Sn有最大值256.

〖例2〗已知数列是等差数列。

（1）若

（2）若

思路解析：

（1）由通项公式或前n项和公式得和的关系，通过解方程组求得和，进而求得和

。

（2）利用等差数列数列的性质可使问题简化。

解答：

设首项为，公差为，

（1）方法一：

由，得解得

方法二：

由，

∴

（2）方法一：

由已知可得解得

方法二：

∵是等差数列，∴可设则

①-②得

方法三：

=

∴

注：

（1）灵活运用性质，求等差数列中的量，可以简化运算，提高解题速度及准确性；

（2）在应用性质：

若则时，首先要找到项数和相等的条件，然后根据需要求解，解决此类问

题要有整体代换的意识。

（四）等差数列的综合应用

〖例〗已知是正数组成的数列，，且点（）在函数y=x2+1的图象上。

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足b1=1,bn+1=bn+,求证：

。

思路解析：

（1）利用点在函数图象上代入即可得与的关系，易求得；

（2）可先求，利用累加法或迭代法求得，而后作差比较即可，也可不用求而直接利用已知关系式迭代求证即可。

解答：

方法一：

（1）由已知得，即，又，所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列。

故=1+（n-1）×1=n.

（3）由

（1）知：

=n，从而，

。

方法二：

（1）同方法一；

（2）因为，所以

注：

数列与函数、不等式、解析几何结合命题是高考考查的热点，以函数为载体，求解数列问题时要看清它们之间的关系，灵活应用它们是关键，在证明数列中不等问题时，要弄清题意，灵活采用证明不等式的常用方法，本例采用了求差比较法，也是高考常考方法之一，可适当变形以解决它们。

方法提示:

1.解决等差数列问题，熟练掌握等差数列的有关性质，寻找项与前n项和之间的关系是解题关键.

2.在等差数列{an}中，有关Sn的最值问题:

（1）a1>0,d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；

（2）当a1<0,d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.

（3）关于最值问题，除上面介绍的方法外，还可利用等差数列与函数的关系来解决，等差数列的前n项和Sn可看成关于n的二次函数式且常数项为0，利用二次函数的图象或配方法解决最值问题.

三、等比数列及其前n项和

（一）等比数列的的运算

※相关链接※

1.等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题，数列中有五个量，，，，，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）所求问题可迎刃而解。

2.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。

3.在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式。

※例题解析※

〖例〗设数列的前n项和为，且=2-2；数列为等差数列，且。

（1）求数列的通项公式；

（2）若，为数列的前n项和，求证：

。

思路解析：

（1）得结论；

（2）放缩得结论。

解答：

（1）由=2-2，得，又=，所以=，由=2-2……………………①

得……………………………………………………②

②-①得，∴即，∴是以为首项，以为公比的等比数列，所以=•。

（2）∵为等差数列，∴，∴从而

∴…………………………………………………………③

∴………………………………④

③-④得

〖例〗在数列中，。

（1）证明数列是等比数列；

（2）求数列的前n项和；

（3）证明不等式对任意皆成立。

思路解析：

证明一个数列是等比数列常用定义法，即，对于本例

（1）适当变形即可求证，证明不等问题常用作差法证明。

解答：

（1）由题设得。

又所以数列是首项为1，且公比为4的等比数列。

（2）由

（1）可知，于是数列的通项公式为。

所以数列的前n项和。

（3）对任意的，

，所以不等式对任意皆成立。

（三）等比数列性质的应用

※相关链接※

1.等比数列的性质可以分为三类：

（1）通项公式的变形，

（2）等比中项的变形，（3）前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.

2.等比数列的常用性质

（1）数列{an}是等比数列，则数列{pan}（p≠0，p是常数）也是等比数列；

（2）在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列，公比为qk.

（3）an=am•qn-m（n,m∈N+）

（4）若m+n=p+q（m,n,p,q∈N+），则am•an=ap•aq；

（5）若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sk、S2k-Sk、

S3k-S2k、S4k-S3k是等比数列.

（6）等比数列的单调性

3.由于数列和函数之间有着密切的联系，所以在解决许多数列问题时，可以借鉴函数的有关思想和方法，本例在求解过程中，就是先求导数，利用数列这一特殊函数的性质解决的，所以在解决数列问题时，应善于运用函数的思想方法解决问题.

注：

等比数列中所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号也相同。

※例题

解析※

〖例1〗已知等比数列前n项的和为2，其后2n的和为12，求再往后3n项的和。

思路解析：

由已知条件，根据前n项和公式列出关于首项和公比及n的两个方程，应能解出和关于n的表达式，这样可能较繁琐又不便于求出结果，若采用整体处理的思想，问题就会变得简单，也可采用等比数列的性质问题简化。

解答：

方法一：

利用等比数列的性质。

由已知，

.注意到

也成等比数列,其公比为,于是,问题转化为已知:

方法二:

利用求和公式.

如果公

比q=1,则由于,可知,与条件不符,∴q≠1,由求和公式,得…………………………………………①

又……………………………………………………………………②

②式除以①式得，又再往后3n项的和为………………………………………………………………………………③

③式除以①式得。

〖例2〗（2011•青岛模拟）已知函数f（x）=ax2+bx（a≠0）的导函数f′（x）=-2x+7,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn（n,Sn）（n∈N+）均在函数y=f（x）的图象上.

（1）求数列{an}的通项公式及Sn的最大值;

（2）令其中n∈N+,求{nbn}的前n项和Tn.

思路解析：

对函数f（x）的字母系数通常用待定系数法确定，再把函数问题转化为数列问题求解.对{nbn}求和，若bn为等比数列可考虑用错位相减法求和.

解析:

（1）由题意可知：

∵f（x）=ax2+bx（a≠0）,∴f′（x）=2ax+b，由f′（x）=-2x+7对应相等可得:

a=-1,b=7,所以可得f（x）=-x2+7x，又因为点Pn（n,Sn）（n∈N+）均在函数y=f（x）的图象上,所以有Sn=-n2+7n

当n=1时,a1=S1=6；

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8，a1=6适合上式，

∴an=-2n+8（n∈N+）

令an=-2n+8≥0得n≤4,当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.

综上,an=-2n+8（n∈N+）,当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.

（2）由题意得

即数列{bn}是首项为8,公比为的等比数列，

故{nbn}的前n项和

Tn=1×23+2×22+…+n×2-n+4①

Tn=1×22+2×2+…+（n-1）×2-n+4+n×2-n+3②

所以①-②得：

Tn=23+22+…+2

-n+4-n×2-n+3

【感悟高考真题】

1.（2011•江西高考文科•Ｔ5）设为等差数列，公差,为其前n项和，若，则

A．18B．20C．22D．24

【思路点拨】首先求出，再根据等差数列的通项公式求。

【精讲精析】选B.

2.（2011•陕西高考文科•T10）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（）

（A）○1和○20（B）○9和○10（C）○9和○11（D）○10和○11

【思路点拨】根据选项分别计算四种情形的路程和；或根据路程和的变化规律直接得出结论．

【精讲精析】选D（方法一）

选项具体分析结论

A○1和○20：

比较各个路程和可知D符合题意

B○9：

○10：

=2000

C○11：

=2000

D○10和○11：

路程和都是2000

（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和进行比较即可。

树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是；树苗放在第10个（或第1