届高考理科数学知识点题.docx

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届高考理科数学知识点题

题组层级快练（十三）

1．函数f（x）＝x－

的零点个数是（　　）

A．0　　　　　　　　　　B．1

C．2D．无数个

答案　C

解析　令f（x）＝0，解x－

＝0，即x2－4＝0，且x≠0，则x＝±2.

2．（2018·湖南株洲质检一）设数列{an}是等比数列，函数y＝x2－x－2的两个零点是a2，a3，则a1a4＝（　　）

A．2B．1

C．－1D．－2

答案　D

解析　因为函数y＝x2－x－2的两个零点是a2，a3，所以a2a3＝－2，由等比数列性质可知a1a4＝a2a3＝－2.故选D.

3．（2018·东北师大附中）函数f（x）＝lnx－x－a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是

（　　）

A．（－∞，－1]B．（－∞，－1）

C．[－1，＋∞）D．（－1，＋∞）

答案　B

解析　函数f（x）＝lnx－x－a的零点，即关于x的方程lnx－x－a＝0的实根，将方程lnx－x－a＝0化为方程lnx＝x＋a，令y1＝lnx，y2＝x＋a，由导数知识可知，直线y2＝x＋a与曲线y1＝lnx相切时有a＝－1，若关于x的方程lnx－x－a＝0有两个不同的实根，则实数a的取值范围是（－∞，－1）．故选B.

4．（2018·沧州七校联考）给定方程（

）x＋sinx－1＝0，有下列四个命题：

p1：

该方程没有小于0的实数解；

p2：

该方程有有限个实数解；

p3：

该方程在（－∞，0）内有且只有一个实数解；

p4：

若x0是该方程的实数解，则x0>－1.

其中的真命题是（　　）

A．p1，p3B．p2，p3

C．p1，p4D．p3，p4

答案　D

解析　由（

）x＋sinx－1＝0，得sinx＝1－（

）x，令f（x）＝sinx，g（x）＝1－（

）x，在同一坐标系中画出两函数的图像如图，由图像知：

p1错，p3，p4对，而由于g（x）＝1－（

）x递增，小于1，且以直线y＝1为渐近线，f（x）＝sinx在－1到1之间振荡，故在区间（0，＋∞）上，两者的图像有无穷多个交点，所以p2错，故选D.

5．函数f（x）＝

的零点个数为（　　）

A．0B．1

C．2D．3

答案　D

解析　依题意，在考虑x>0时可以画出y＝lnx与y＝x2－2x的图像，可知两个函数的图像有两个交点，当x≤0时，函数f（x）＝2x＋1与x轴只有一个交点，所以函数f（x）有3个零点．故选D.

6．函数f（x）＝

－cosx在[0，＋∞）内（　　）

A．没有零点B．有且仅有一个零点

C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点

答案　B

解析　原函数f（x）＝

－cosx可理解为幂函数x

与余弦函数的差，其中幂函数在区间[0，＋∞）上单调递增、余弦函数的最大值为1，在同一坐标系内构建两个函数的图像，注意到余弦从左到右的第2个最高点是x＝2π，且

>1＝cos2π，不难发现交点仅有一个．正确选项为B.

7．（2018·东城区期末）已知x0是函数f（x）＝2x＋

的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，＋∞），则（　　）

A．f（x1）<0，f（x2）<0B．f（x1）<0，f（x2）>0

C．f（x1）>0，f（x2）<0D．f（x1）>0，f（x2）>0

答案　B

解析　设g（x）＝

，由于函数g（x）＝

＝－

在（1，＋∞）上单调递增，函数h（x）＝2x在（1，＋∞）上单调递增，故函数f（x）＝h（x）＋g（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以函数f（x）在（1，＋∞）上只有唯一的零点x0，且在（1，x0）上f（x1）<0，在（x0，＋∞）上f（x2）>0，故选B.

8．（2018·湖北襄阳一中期中）已知a是函数f（x）＝2x－log

x的零点．若0

A．f（x0）<0B．f（x0）＝0

C．f（x0）>0D．f（x0）的符号不确定

答案　A

解析　因为函数f（x）＝2x－log

x在（0，＋∞）上是增函数，a是函数f（x）＝2x－log

x的零点，即f（a）＝0，所以当0

9．已知函数f（x）＝ex＋x，g（x）＝lnx＋x，h（x）＝lnx－1的零点依次为a，b，c，则（　　）

A．a

C．c

答案　A

解析　∵ea＝－a，∴a<0.∵lnb＝－b，且b>0，∴01，故选A.

10.（2018·郑州质检）函数f（x）＝lnx－

的零点的个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

答案　C

解析　y＝

与y＝lnx的图像有两个交点．

11．若函数f（x）＝xlnx－a有两个零点，则实数a的取值范围为（　　）

A．[0，

）B．（0，

）

C．（0，

]D．（－

，0）

答案　D

解析　令g（x）＝xlnx，h（x）＝a，则问题可转化成函数g（x）与h（x）的图像有两个交点．g′（x）＝lnx＋1，令g′（x）<0，即lnx<－1，可解得0

；令g′（x）>0，即lnx>－1，可解得x>

，所以，当0

时，函数g（x）单调递减；当x>

时，函数g（x）单调递增，由此可知当x＝

时，g（x）min＝－

.在同一坐标系中作出函数g（x）和h（x）的简图如图所示，据图可得－

12．若函数f（x）＝2x－

－a的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（　　）

A．（1，3）B．（1，2）

C．（0，3）D．（0，2）

答案　C

解析　由条件可知f

（1）f

（2）<0，即（2－2－a）（4－1－a）<0，即a（a－3）<0，解之得0

13．函数f（x）＝log2x＋x－4的零点所在的区间是（　　）

A．（

，1）B．（1，2）

C．（2，3）D．（3，4）

答案　C

解析　因为f

（2）＝log22＋2－4＝－1<0，f（3）＝log23－1>0，所以f

（2）·f（3）<0，故函数f（x）的零点所在的一个区间为（2，3），选C.

14．若函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x＋2）＝f（x）且x∈

[－1，1]时，f（x）＝1－x2，函数g（x）＝

则函数h（x）＝f（x）－g（x）在区间[－5，5]内的零点的个数为（　　）

A．7B．8

C．9D．10

答案　B

解析　当x∈[－1，1]时，y＝f（x）的图像是一段开口向下的抛物线，y＝f（x）的最大值为1.∵f（x＋2）＝f（x），∴f（x）是以2为周期的周期函数．f（x）和g（x）在[－5，5]内的图像如图所示，有8个交点，所以函数h（x）有8个零点．

15．（2018·郑州质检）设函数f（x）＝ex＋2x－4，g（x）＝lnx＋2x2－5，若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，则（　　）

A．g（a）<0

C．0

答案　A

解析　依题意，f（0）＝－3<0，f

（1）＝e－2>0，且函数f（x）是增函数，因此函数f（x）的零点在区间（0，1）内，即0

（1）＝－3<0，g

（2）＝ln2＋3>0，函数g（x）的零点在区间（1，2）内，即1f

（1）>0.又函数g（x）在（0，1）内是增函数，因此有g（a）

（1）<0，g（a）<0

16．函数y＝

的图像与函数y＝2sinπx（－2≤x≤4）的图像所有交点的横坐标之和等于

（　　）

A．2B．4

C．6D．8

答案　D

解析　如图，两个函数图像都关于点（1，0）成中心对称，两个图像在[－2，4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.

17．（2018·东营模拟）已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0是函数f（x）＝lnx－

的零点，则[x0]等于________．

答案　2

1．（2018·衡水调研卷）方程|x2－2x|＝a2＋1（a>0）的解的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

答案　B

解析　（数形结合法）

∵a>0，∴a2＋1>1.

而y＝|x2－2x|的图像如图，

∴y＝|x2－2x|的图像与y＝a2＋1的图像总有两个交点．

2．（2018·成都新都区测试）函数f（x）＝10x＋x－7与g（x）＝lgx＋x－7的零点分别为x1和x2，则x1＋x2＝________．

答案　7

解析　x1和x2分别对应方程10x＝7－x和方程lgx＝7－x的根，令f（x）＝10x，g（x）＝lgx，y＝7－x，画图如下：

其中x1是函数f（x）＝10x与y＝7－x图像的交点的横坐标，x2是函数g（x）＝lgx与y＝7－x的图像的交点的横坐标，由于函数f（x）＝10x与g（x）＝lgx的图像关于y＝x对称，直线y＝7－x也关于y＝x对称，且直线y＝7－x与它们都只有一个交点，故这两个交点关于y＝x对称．又因为两个交点的中点是y＝7－x与y＝x的交点，即（

，

），所以x1＋x2＝7.

3．设函数f（x）＝

函数y＝f[f（x）]－1的零点个数为________．

答案　2

解析　当x≤0时，y＝f[f（x）]－1＝f（2x）－1＝log22x－1＝x－1，令x－1＝0，则x＝1，表明此时y＝f[f（x）]－1无零点．当x>0时，分两种情况：

①当x>1时，log2x>0，y＝f[f（x）]－1＝f（log2x）－1＝log2（log2x）－1，令log2（log2x）－1＝0，即log2（log2x）＝1，log2x＝2，解得x＝4；②当0

4．已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f（x）＝x3－x，则函数y＝f（x）的图像在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为________．

答案　7

解析　当0≤x<2时，令f（x）＝x3－x＝0，

得x＝0或x＝1，∵f（x＋2）＝f（x），

∴y＝f（x）在[0，6）上有6个零点．

又f（6）＝f（3×2）＝f（0）＝0，

∴f（x）在[0，6]上与x轴的交点个数为7.

5．判断函数f（x）＝4x＋x2－

x3在区间[－1，1]上零点的个数，并说明理由．

答案　有一个零点

解析　∵f（－1）＝－4＋1＋

＝－

<0，

f

（1）＝4＋1－

＝

>0，

∴f（x）在区间[－1，1]上有零点．

又f′（x）＝4＋2x－2x2＝

－2（x－

）2，

当－1≤x≤1时，0≤f′（x）≤

，

∴f（x）在[－1，1]上是单调递增函数．

∴f（x）在[－1，1]上有且只有一个零点．