华工数学实验报告材料特征值与特征向量.docx
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华工数学实验报告材料特征值与特征向量
《数学实验》报告
学院:
电子信息学院
专业班级:
信息工程电联班
学号:
姓名:
实验名称:
特征根与特征方程
实验日期:
2016/05/31
特征根与特征方程
1.实验目的
掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论;
掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法;
理解由差分方程xk+1=Axk;
提高对离散动态系统的理解与分析能力。
2.实验任务
1.当捕食者-被捕食者问题中的捕食系数p是0.125时,试确定该动态系统的演化(给出xk的计算公式)。
猫头鹰和森林鼠的数量随时间如何变化?
该系统趋向一种被称为不稳定平衡的状态。
如果该系统的某个方面(例如出生率或捕食率)有轻微的变动,系统如何变化?
2.杂交育种的目的是培养优良品种,以提高农作物的产量和质量。
如果农作物的三种基因型分别为AA,Aa,aa。
其中AA为优良品种。
农场计划采用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代,已知双亲基因型与其后代基因型的概率。
问经过若干年后三种基因型分布如何?
要求:
(1)建立代数模型,从理论上说明最终的基因型分布。
(2)用MATLAB求解初始分布为0.8,0.2,0时,20年后基因分布,是否已经趋于稳定?
概率
父体-母体基因型
AA-AA
AA-Aa
AA-aa
Aa-Aa
Aa-aa
aa-aa
后代
基因型
AA
1
1/2
0
1/4
0
0
Aa
0
1/2
1
1/2
1/2
0
aa
0
0
0
1/4
1/2
1
3.实验过程
3.1实验原理
1、特征值与特征向量
2、特征值与特征向量的求法
3、矩阵的对角化
4、离散线性动态系统
5、eig命令
3.2算法与编程
3.2.1
clear,clc
a=-20*100;b=-a;c=a;d=b;p=0.1;
n=100;
xlabel('|\lambda|>1,|u|<1')
axis([0b0d]),gridon,holdon
x=linspace(a,b,30);
A=[0.50.4;-0.1251.1];
[pc,lambda]=eig(A);
[Y,I]=sort(diag(abs(lambda)),'descend');
temp=diag(lambda);
lambda=temp(I)
pc=pc(:
I)
pc=-pc;
z1=pc(2,1)/pc(1,1)*x;
z2=pc(2,2)/pc(1,2)*x;
h=plot(x,z1),set(h,'linewidth',2),text(x(7),z1(7)-100,'v1')
h=plot(x,z2),set(h,'linewidth',2),text(x(20),z2(20)-100,'v2')
button=1;
whilebutton==1
[xiyibutton]=ginput
(1);
plot(xi,yi,'go'),holdon
X0=[xi;yi];
X=X0;
fori=1:
n
X=[A*X,X0];
h=plot(X(1,1),X(2,1),'R.',X(1,1:
2),X(2,1:
2),'r-');holdon
text(X0(1,1),X0(2,1),'x0')
quiver([X(1,2),1]',[X(2,2),1]',[X(1,1)-X(1,2),0]',[X(2,1)-X(2,2),0]',p)
set(h,'MarkerSize',6),grid,
end
end
3.2.2
clear;
A=[10.50;00.51;000];
X=[0.8;0.2;0];
fori=1:
20
X=A*X;
end
X20=X
X=[0.8;0.2;0];
C=[111]';n=0;
whilenorm(X-C,'fro')>1.0e-16
C=X;n=n+1;X=A*X;
end
formatlong;
X,n
结果分析
1.
2.
>>
X20=
0.999999809265137
0.000000190734863
0
X=
1.000000000000000
0.000000000000000
0
n=
52
4.实验总结和实验感悟
通过本次实验,我了解了掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论;掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法;理解由差分方程xk+1=Axk;提高对离散动态系统的理解与分析能力。
我们可以选取充分大的k使上述两式中的近似达到任意精度。
每次增长为原来的入倍,所以入决定了系统的最后增长率。
对于大的k,x屮任何两个元素的比值约等于屮对应元素的比值。
用Matlab软件可以方便地计算出矩阵的特征值和其对应的特征向量,从而能更好地帮助我们去分析动态系统;xk+1=Axk的演化过程.