浙江省嘉兴市届高三模拟测试数学.docx
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浙江省嘉兴市届高三模拟测试数学
浙江省嘉兴市2018届高三4月模拟测试数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．已知集合，，则
A．B．C．D．
2．已知，，，，那么的大小关系是
A．B．C．D．
3．某几何体的三视图如图（单位：
m），则该几何体的体积是
A．
B．
C．2
D．4
4．在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的平面区域上一动点，则直线斜率的最小值为
A．B．C．D．
5．已知：
不等式的解集为，：
，则是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知两个平面和三条直线，若，且，，设和所成的一个二面角的大小为，直线和平面所成的角的大小为，直线所成的角的大小为，则
A．B．
C．，D．，
7．已知数列为等差数列，且，则的最小值为
A．3B．2C．1D．0
8．若双曲线：
的右顶点为，过的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，且，则直线的斜率为
A．B．C．2D．3
9．已知（），则的最小值为
A．B．9C．D．
10．已知函数，集合，集合，若，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
11．若复数满足（为虚数单位），则▲；▲．
12．已知直角坐标系中，，动点满足，则点的轨迹方程是▲；轨迹为▲．
13．展开式中，项的系数为▲；所有项系数的和为▲．
14．设△的三边所对的角分别为，
已知，则▲;的最大值为▲．
15．某市的5所学校组织联合活动，每所学校各派出2名学生．在这10名学生中任选4名学生做游戏，记“恰有两名学生来自同一所学校”为事件，则▲．
16．已知，向量满足.当的夹角最大时，▲．
17．椭圆，直线，直线，为椭圆上任意一点，过作且与直线交于点，作且与交于点，若为定值，则椭圆的离心率为▲.
三、解答题（本大题共5小题，共74分）
18．（本题14分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）设△的三边所对的角分别为，若，，，求的值．
19．（本题15分）
如图，四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面为正三角形且二面角为．
（Ⅰ）设侧面与的交线为，求证：
；
（Ⅱ）设底边与侧面所成角的为，求的值．
20．（本题15分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数在处的切线方程；
（Ⅱ）证明：
仅有唯一的极小值点.
21．（本题15分）
点为抛物线上一定点，斜率为的直线与抛物线交于两点.
（Ⅰ）求弦中点的纵坐标;
（Ⅱ）点是线段上任意一点（异于端点），过作的平行线交抛物线于两点，求证：
为定值.
22．（本题15分）
已知数列满足，
（Ⅰ）判断数列的单调性；
（Ⅱ）证明：
；
（Ⅲ）证明：
.
2018年高考模拟测试
数学参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．B；2．A；3．A；4．C；5．A；
6．D；7．C；8．D；9．B；10．A．
9．提示：
，
两边同时乘以“”得：
所以，当且仅当时等号成立.
令，所以，解得或
因为，所以，即
10．提示：
设，（为的两根）．
因为，所以且，．
于是，．或．
令，．
即．
所以，即．故．
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
11．；；12．；一个圆；
13．55；192；14．;；
15．；16．；17．．
16．提示：
设，
即．
所以，此时．
17．提示：
令（为常数），设，
由平行四边形知识，．
设点，因为．
所以，此方程即为椭圆方程，即．
三、解答题（本大题共5小题，共74分）
18．（本题14分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）设△的三边所对的角分别为，若，，，求的值．
解答：
（Ⅰ），
所以，的最大值为，．
（Ⅱ）因为，
．
由余弦定理可得：
，
因为，所以．
19．（本题15分）
如图，四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面为正三角形且二面角为．
（Ⅰ）设侧面与的交线为，求证：
；
（Ⅱ）设底边与侧面所成角的为，求的值．
解答：
（Ⅰ）因为，所以侧面．
又因为侧面与的交线为，所以．
（Ⅱ）解法一：
向量方法
取中点、中点，连、，
则、．
所以是侧面与底面成二面角的平面角．
从而．
作于，则底面．
因为，，
所以，．
以为原点，为轴，为轴，如图建立右手空间直角坐标系．
则，，．
设是平面的法向量，
则，．取．
则．
解法二：
几何方法
取中点、中点，连、，则、．
所以是侧面与底面成二面角的平面角．
从而．
作于，则底面．
因为，，所以．
作交于，连．
因为，，
所以平面．从而平面平面．
所以就是与平面所成的角，．
在△中，．故．
20．（本题15分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数在处的切线方程；
（Ⅱ）证明：
仅有唯一的极小值点.
解答：
（Ⅰ）因为，所以．又因为，
所以切线方程为：
，即．
（Ⅱ）令，则，
所以时，时．
1当时，易知，
所以，在上没有极值点．
2当时，因为，
所以，在上有极小值点．
又因为在上单调递增，所以仅有唯一的极小值点.
21．（本题15分）
点为抛物线上一定点，斜率为的直线与抛物线交于两点.
（Ⅰ）求弦中点的纵坐标;
（Ⅱ）点是线段上任意一点（异于端点），过作的平行线交抛物线于两点，求证：
为定值.
解答：
（Ⅰ）（*）
所以，.
（Ⅱ）设，直线：
，
联立方程组，
所以，
，
同理.
由（*）可知：
，
所以，即
所以，即
22．（本题15分）
已知数列满足，
（Ⅰ）判断数列的单调性；
（Ⅱ）证明：
；
（Ⅲ）证明：
.
解答：
（Ⅰ）因为．当时，．
假设时，，所以时，．
从而对于一切，．
所以，即数列单调递增．
（Ⅱ）证明：
因为，所以．
又因为由（Ⅰ）可知，所以时．
，
即．
（Ⅲ）证明：
由（Ⅱ）得．
所以．
由得：
．
．
所以
．
所以，即．
经验证也成立，即得证．
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