五、天体的追及相遇问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动,a卫星的角速度为ωa,b卫星的角速度为ωb,若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方,相距最近（如图甲所示）。
当它们转过的角度之差Δθ＝π,即满足ωaΔｔ-ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远（如图乙所示）。
图甲 图乙
当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωaΔt-ωbΔt=2π时，两卫星再次相距最近。
经过一定的时间，两星又会相距最远和最近。
１. 两星相距最远的条件：
ωａΔt－ωｂΔt＝（２ｎ+1）π（ｎ＝0,1,2,…）
2.两星相距最近的条件:
ωaΔt-ωbΔt=2nπ（n=1，2,3…）
３.常用结论:
（1）同方向绕行的两天体转过的角度或（n=０、1、2、……）时表明两物体相距最近。
（２）反方向转动的天体转过的角度或（n=0、1、2、……）时表明两物体相遇或相距最近。
考点一天体质量和密度的计算
１.解决天体（卫星）运动问题的基本思路
（１）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力,即
（2）在中心天体表面或附近运动时,万有引力近似等于重力，即（g表示天体表面的重力加速度）.
在行星表面重力加速度：
所以
在离地面高为h的轨道处重力加速度：
得
２.天体质量和密度的计算
（1）利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于,故天体质量
天体密度：
（２）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力,即,得出中心天体质量;
②若已知天体半径R，则天体的平均密度
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径Ｒ,则天体密度.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
3．黄金代换公式:
GM＝gR2
例1.（多选）如图，地球赤道上的山丘e、近地资源卫星ｐ和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。
设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3,向心加速度分别为a1、ａ２、a3，则（ ）
Ａ.v1＞v２>v３ ﻩB.v1<ｖ3＜v2
C.a1>ａ２＞a3D.ａ1＜a3＜a2
【答案】 BD
例2.（多选）“嫦娥二号”探月卫星于2010年10月1日成功发射,目前正在月球上方100km的圆形轨道上运行。
已知“嫦娥二号”卫星的运行周期、月球半径、月球表面重力加速度、万有引力恒量Ｇ。
根据以上信息可求出：
（ ）
A.卫星所在处的加速度 B．月球的平均密度
C.卫星线速度大小 D.卫星所需向心力
【答案】ABC
例3.（多选）201４年1１月1日早上6时42分,被誉为“嫦娥５号”的“探路尖兵”载人飞行试验返回器在内蒙古四子王旗预定区域顺利着陆，标志着我国已全面突破和掌握航天器以接近第二宇宙速度的高速载人返回关键技术,为“嫦娥5号”任务顺利实施和探月工程持续推进奠定了坚实基础．已知人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t（t小于航天器的绕行周期），航天器运动的弧长为s，航天器与月球的中心连线扫过角度为θ，引力常量为G，则 ：
（）
A．航天器的轨道半径为 B.航天器的环绕周期为
Ｃ．月球的质量为 D.月球的密度为
【答案】ＢC
例４.（多选）若宇航员在月球表面附近自高ｈ处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为Ｌ.已知月球半径为R，万有引力常量为Ｇ．则下列说法正确的是:
（）
A．月球表面的重力加速度 B.月球的质量
C.月球的第一宇宙速度 D．月球的平均密度
【答案】ABＣ
【解析】
平抛运动的时间．再根据h＝gt2得,得，故A正确；由与,可得：
.故Ｂ正确；第一宇宙速度:
，解得故C正确;月球的平均密度,故D错误；故选ABC.
【名师点睛】解决本题的关键知道平抛运动在水平方向上和竖直方向上的运动规律,以及掌握万有引力提供向心力以及万有引力等于重力这两个理论的运用。
考点二卫星运行参量的比较与运算
１．卫星的动力学规律
由万有引力提供向心力,
2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
例5．据报道,2016年2月１8日嫦娥三号着陆器玉兔号成功自主“醒来”,嫦娥一号卫星系统总指挥兼总设计师叶培建院士介绍说，自２０１3年12月14日月面软着陆以来，中国嫦娥三号月球探测器创造了全世界在月工作最长记录。
假如月球车在月球表面以初速度竖直上抛出一个小球,经时间t后小球回到出发点,已知月球的半径为R，引力常量为G,下列说法正确的是:
（ ）
A、月球表面的重力加速度为
B、月球的质量为
C、探测器在月球表面获得的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动
Ｄ、探测器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为
【答案】C
【名师点睛】根据竖直上抛求得月球表面的重力加速度,再根据重力与万有引力相等和万有引力提供卫星圆周运动向心力分析求解是关键．
例6.某卫星发射中心在发射卫星时,首先将该卫星发射到低空轨道1，待测试正常后通过点火加速使其进入高空轨道2,已知卫星在上述两轨道运行时均做匀速圆周运动，假设卫星的质量不变,在两轨道上稳定运行时的动能之比为。
如果卫星在两轨道的向心加速度分别用、表示,角速度分别用、表示，周期分别用、表示,轨道半径分别用、表示。
则下列比例式正确的是：
（ ）
A．:
=4∶1 B．：
＝2∶1
C．：
=1∶８ D．：
=1∶２
【答案】C
【解析】在两轨道上稳定运行时的动能之比为，则根据可得,根据公式可得，所以轨道1和轨道2的半径之比为,根据公式可得,故：
=16∶1,根据公式可得可得：
=8∶1,根据公式可得：
=1∶８，故C正确;
【名师点睛】在万有引力这一块，涉及的公式和物理量非常多,掌握公式在做题的时候,首先明确过程中的向心力，然后弄清楚各个物理量表示的含义,最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是非常大的，所以需要细心计算
例7.（多选）假设若干年后，由于地球的变化，地球半径变小，但地球质量不变,地球的自转周期不变，则相对于现在：
（ ）
A．地球表面的重力加速度变大
Ｂ．发射一颗卫星需要的最小发射速度变大
C.地球同步卫星距离地球表面的高度变大
D.地球同步卫星绕地球做圆周运动的线速度变大
【答案】ABＣ
【名师点睛】地球表面物体的重力在不考虑地球自转的影响时,就等于地球对物体的万有引力,由此可得,可知不同高度出的g值关系;同步卫星的特点是在赤道所在平面，周期与地球自转周期相同，应用的模型是同步卫星绕地球做匀速圆周运动。
考点三宇宙速度卫星变轨问题的分析
1．第一宇宙速度v１=７.9km/s,既是发射卫星的最小发射速度,也是卫星绕地球运行的最大环绕速度．
2.第一宇宙速度的两种求法：
（1）,所以
（2），所以.
3.当卫星由于某种原因速度突然改变时（开启或关闭发动机或空气阻力作用），万有引力不再等于向心力,卫星将变轨运行:
（1）当卫星的速度突然增加时，,即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由可知其运行速度比原轨道时减小.
（2）当卫星的速度突然减小时,,即万有引力大于所需要的向心力,卫星将做近心运动,脱离原来的圆轨道，轨道半径变小,当卫星进入新的轨道稳定运行时由可知其运行速度比原轨道时增大.
４.处理卫星变轨问题的思路和方法
（1）要增大卫星的轨道半径,必须加速；
（2）当轨道半径增大时,卫星的机械能随之增大.
５．卫星变轨问题的判断：
（１）卫星的速度变大时,做离心运动,重新稳定时，轨道半径变大.
（２）卫星的速度变小时，做近心运动,重新稳定时,轨道半径变小．
（３）圆轨道与椭圆轨道相切时，切点处外面的轨道上的速度大,向心加速度相同.
6．特别提醒:
“ 三个不同”
（1）两种周期——自转周期和公转周期的不同
（2）两种速度——环绕速度与发射速度的不同,最大环绕速度等于最小发射速度
（3）两个半径——天体半径Ｒ和卫星轨道半径r的不同
例８．（多选）“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道到达月球附近，在距月球表面20０ｋｍ的ｐ点进行第一次“刹车制动”后被月球俘获,进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图所示。
之后，卫星在p点经过几次“刹车制动”,最终在距月球表面２00km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动。
用T1、T2、Ｔ３分别表示卫星在椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ和圆形轨道Ⅲ上运动的周期，用a1、a2、a3分别表示卫星沿三个轨道运动到p点的加速度，用v1、ｖ２、ｖ3分别表示卫星沿三个轨道运动到p点的速度，用F１、F2、F3分别表示卫星沿三个轨道运动到p点时受到的万有引力,则下面关系式中正确的是：
（ ）
A. a1＝a２=a3 B.v1Ｔ2＞Ｔ3 Ｄ.Ｆ１=F２=Ｆ3
【答案】ACＤ
例9.（多选）2０15年12月10日，我国成功将中星1C卫星发射
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