21初中数学竞赛辅导讲座19讲全套.docx

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21初中数学竞赛辅导讲座19讲全套

初中数学竞赛辅导讲座19讲（全套）

第一讲有理数

一、有理数的概念及分类。

二、有理数的计算：

1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）。

三、例题示范

1、数轴与大小

例1、已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么满足条件的点B与原点O的距离之和等于多少？

满足条件的点B有多少个？

例2、将

这四个数按由小到大的顺序，用“”连结起来。

提示1：

四个数都加上1不改变大小顺序；

提示2：

先考虑其相反数的大小顺序；

提示3：

考虑其倒数的大小顺序。

例3、观察图中的数轴，用字母a、b、c依次表示点A、B、C对应的数。

试确定三个数

的大小关系。

分析：

由点B在A右边，知b-a0，而A、B都在原点左边，故ab0,又c10,故要比较

的大小关系，只要比较分母的大小关系。

例4、在有理数a与b（ba）之间找出无数个有理数。

提示：

P=

（n为大于是的自然数）

注：

P的表示方法不是唯一的。

2、符号和括号

在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。

例5、在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“—”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？

提示：

造零：

n-（n+1）-（n+2）+（n+3）=0

注：

造零的基本技巧：

两个相反数的代数和为零。

3、算对与算巧

例6、计算123…200020012002

提示：

1、逆序相加法。

2、求和公式：

S=（首项+末项）项数2。

例7、计算1+234+5+678+9+…2000+2001+2002

提示：

仿例5，造零。

结论：

2003。

例8、计算

提示1：

凑整法，并运用技巧：

199…9=10n+99…9，99…9=10n1。

例9、计算

提示：

字母代数，整体化：

令

，则

例10、计算

（1）

；

（2）

提示：

裂项相消。

常用裂项关系式：

（1）

；

（2）

；

（3）

；（4）

。

例11计算

（n为自然数）

例12、计算1+2+22+23+…+22000

提示：

1、裂项相消：

2n=2n+12n；2、错项相减：

令S=1+2+22+23+…+22000，则S=2SS=220011。

例13、比较

与2的大小。

提示：

错项相减：

计算

。

第二讲绝对值

一、知识要点

1、绝对值的代数意义；

2、绝对值的几何意义：

（1）|a|、

（2）|a-b|；

3、绝对值的性质：

（1）|-a|=|a|,|a|0,|a|a；

（2）|a|2=|a2|=a2；

（3）|ab|=|a||b|；（4）

（b0）；

4、绝对值方程：

（1）最简单的绝对值方程|x|=a的解：

（2）解题方法：

换元法，分类讨论法。

二、绝对值问题解题关键：

（1）去掉绝对值符号；

（2）运用性质；（3）分类讨论。

三、例题示范

例1已知a0，化简|2a-|a||。

提示：

多重绝对值符号的处理，从内向外逐步化简。

例2已知|a|=5，|b|=3，且|a-b|=b-a，则a+b=，满足条件的a有几个？

例3已知a、b、c在数轴上表示的数如图，化简：

|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a|。

例4已知a、b、c是有理数，且a+b+c=0，abc0，求

的值。

注：

对于轮换对称式，可通过假设使问题简化。

例5已知：

例6已知

，化简：

m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。

例7已知|x+5|+|x-2|=7，求x的取值范围。

提示：

1、根轴法；2、几何法。

例8是否存在数x,使|x+3|-|x-2|7。

提示：

1、根轴法；2、几何法。

例9m为有理数，求|m-2|+|m-4|+|m-6|+|m-8|的最小值。

提示：

结合几何图形，就m所处的四种位置讨论。

结论：

最小值为8。

例10（北京市1989年高一数学竞赛题）设x是实数，

且f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则f（x）的最小值等于___6_______.

例11（1986年扬州初一竞赛题）设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0＜p＜15.对于满足p≤x≤15的x的来说，T的最小值是多少？

解由已知条件可得：

T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x.

∵当p≤x≤15时，上式中在x取最大值时T最小；当x=15时，T=30-15=15，故T的最小值是15.

例12  若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.

证 设两数为a、b，则|a|+|b|=|a||b|.

∴|b|=|a||b|-|a|=|a|（|b|-1）.

∵ab≠0，∴|a|＞0，|b|＞0.∴|b|-1=

＞0，∴|b|＞1.

同理可证|a|＞1.∴a、b都不在-1与1之间.

例13某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15、7、11、3、14台，现在为使各校电脑数相等，各调几台给邻校：

一小给二小、二小给三小、三小给四小、四小给五小、五小给一小。

若甲小给乙小3台，即为乙小给甲小三台，要使电脑移动的总台数最少，应怎样安排？

例14解方程

（1）|3x-1|=8

（2）||x-2|-1|=

（3）|3x-2|=x+4（4）|x-1|+|x-2|+|x+3|=6.

例15（1973年加拿大中学生竞赛题）求满足|x+3|-|x-1|=x+1的一切实数解.

分析  解绝对值方程的关键是去绝对值符号，令x+3=0,x-1=0，分别得x=-3,x=1,-3,1将全部实数分成3段：

x＜-3或-3≤x＜1或x≥1，然后在每一段上去绝对值符号解方程，例如，当x＜-3时，|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化为-x-3+x-1=x+1，∴x=-5，x=-5满足x＜-3，故是原方程的一个解，求出每一段上的解，将它们合并，便得到原方程的全部解，这种方法叫做“零点”分段法，x=-3，x=1叫做零点.

第三讲一次方程（组）

一、基础知识

1、方程的定义：

含有未知数的等式。

2、一元一次方程：

含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的整式方程。

3、方程的解（根）：

使方程左右两边的值相等的未知数的值。

4、字母系数的一元一次方程：

ax=b。

其解的情况：

5、一次方程组：

由两个或两个以上的一次方程联立在一起的联产方程。

常见的是二元一次方程组，三元一次方程组。

6、方程式组的解：

适合方程组中每一个方程的未知数的值。

7、解方程组的基本思想：

消元（加减消元法、代入消元法）。

二、例题示范

例1、解方程

例2、关于x的方程

中，a,b为定值，无论k为何值时，方程的解总是1，求a、b的值。

提示：

用赋值法，对k赋以某一值后求之。

例3、（第36届美国中学数学竞赛题）设a，a＇b，b＇是实数，且a和a＇不为零，如果方程ax+b=0的解小于a/x+b＇=0的解，求a，a＇b，b＇应满足的条件。

例4解关于x的方程

.

提示：

整理成字母系数方程的一般形式，再就a进行讨论

例5k为何值时，方程9x-3=kx+14有正整数解？

并求出正整数解。

提示：

整理成字母系数方程的一般形式，再就k进行讨论。

例6（1982年天津初中数学竞赛题）已知关于x，y的二元一次方程（a-1）x+（a+2）y+5－2a=0，当a每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解，并证明对任何a值它都能使方程成立吗？

分析  依题意，即要证明存在一组与a无关的x，y的值，使等式（a-1）x+（a+2）y+5-2a=0恒成立，令a取两个特殊值（如a=1或a=-2），可得两个方程，解由这两个方程构成的方程组得到一组解，再代入原方程验证，如满足方程则命题获证，

本例的另一典型解法

例7（1989年上海初一试题），方程

并且abc≠0，那么x____

提示：

1、去分母求解；2、将3改写为

。

例8（第4届美国数学邀请赛试题）若x1,x2,x3,x4和x5满足下列方程组：

确定3x4+2x5的值.

说明：

整体代换方法是一种重要的解题策略.

例9解方程组

提示：

仿例8，注意就m讨论。

例10如果方程组

（1）的解是方程2x-y=4

（2）的解，求m的值。

提示：

1、从

（1）中解出x,y用m表示，再代入

（2）求m；

2、在

（1）中用消元法消去m再与

（2）联立求出x,y，再代入

（1）求m。

例11如果方程ax+by+cz=d对一切x,y,z都成立，求a,b,c,d的值。

提示：

赋值法。

例12解方程组

。

提示：

引进新未知数

第四讲列方程（组）解应用题

一、知识要点

1、列方程解应用题的一般步骤：

审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等.

2、列方程解应用题要领：

（1）善于将生活语言代数化；

（2）掌握一定的设元技巧（直接设元，间接设元，辅助设元）；

（3）善于寻找数量间的等量关系。

二、例题示范

1、合理设立未知元

例1一群男女学生若干人，如果女生走了15人，则余下的男女生比例为2:

1，在此之后，男生又走了45人，于是男女生的比例为1:

5,求原来男生有多少人？

提示：

（1）直接设元

（2）列方程组：

例2 在三点和四点之间，时钟上的分针和时针在什么时候重合？

例3甲、乙、丙、丁四个孩子共有45本书，如果甲减2本，乙加2本，丙增加一倍，丁减少一半，则四个孩子的书就一样多，问每个孩子原来各有多少本书？

提示：

（1）设四个孩子的书一样多时每人有x本书，列方程；

（2）设甲、乙、丙、丁四个孩子原来各有x,y,z,t本书，列方程组：

例4（1986年扬州市初一数学竞赛题）A、B、C三人各有豆若干粒，要求互相赠送，先由A给B、C，所给的豆数等于B、C原来各有的豆数，依同法再由B给A、C现有豆数，后由C给A、B现有豆数，互送后每人恰好各有64粒，问原来三人各有豆多少粒？

提示：

用列表法分析数量关系。

例5如果某一年的5月份中，有五个星期五，它们的日期之和为80，求这一年的5月4日是星期几？

提示：

间接设元.设第一个星期五的日期为x，

例6甲、乙两人分别从A、B两地相向匀速前进，第一次相遇在距A点700米处，然后继续前进，甲到B地，乙到A地后都立即返回，第二次相遇在距B点400米处，求A、B两地间的距离是多少米？

提示：

直接设元。

例7某商场经销一种商品，由于进货时价格比原来降低了6.4%，使得利润率增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率。

提示：

商品进价、商品售价、商品利润率之间的关系为：

商品利润率=[（商品售价—商品进价）商品进价]100%。

例8 （1983年青岛市初中数学竞赛题）某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后，以每小时9千米的速度走平路到B地，共用55分钟.回来时，他以每小时8千米的速度通过平路后，以每小时4千米的速度上坡，从B地到A地共用

小时，求A、B两地相距多少千米？

提示：

1 （选间接元）设坡路长x千米

2选直接元辅以间接元）设坡路长为x千米，A、B两地相距y千米

3（选间接元）设下坡需x小时，上坡需y小时，

2、设立辅助未知数

例9（1972年美国中学数学竞赛题）若一商人进货价便谊8%，而售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的x%增加到（x+10）%，x等于多少？

提示：

引入辅助元进货价M，则0.92M是打折扣的价格，x是利润，以百分比表示，那么写出售货价（固定不变）的等式。

例10（1985年江苏东台初中数学竞赛题）从两个重为m千克和n千克，且含铜百分数不同的合金上，切下重量相等的两块，把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后，两者的含铜百分数相等，问切下的重量是多少千克？

提示：

 采用直接元并辅以间接元，设切下的重量为x千克，并设m千克的铜合金中含铜百分数为q1，n千克的铜合金中含铜百分数为q2。

例11　有一片牧场，草每天都在匀速生长（草每天增长量相等）．如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，设每头牛吃草的量是相等的，问如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草.

提示　设每头牛每天吃草量是x，草每天增长量是y，16头牛z天吃完牧草，再设牧场原有草量是a.布列含参方程组。

例12　甲、乙二人在一圆形跑道上跑步，甲用40秒钟就能跑完一圈，乙反向跑，每15秒钟和甲相遇一次，求乙跑完一圈需要多少时间?

提示：

要求乙跑完一圈需要多少时间，就必须知道他的速度V米/秒，因此可以选择V作参数．

3、方程与不等式结合

例13数学测验中共有20道选择题。

评分方法是：

每答对一题给6分，答错一题扣2分，不答不给分。

有一个学生只有一道题没答，并且他的成绩在60分以上，那么他至少答对多少题？

提示：

利用方程、不等式组成的混合组求解。

第五讲整数指数

一、知识要点

1、定义：

（n2,n为自然数）

2、整数指数幂的运算法则：

（1）

（2）

（3）

，

，

3、规定：

a0=1（a0）ap=

（a0,p是自然数）。

4、当a，m为正整数时，am的末位数字的规律：

记m=4p+q，q=1,2,3之一，则

的末位数字与

的末位数字相同。

二、例题示范

例1、计算

（1）5523

（2）（3a2b3c）（5a3bc2）

（3）（3a2b3c）3（4）（15a2b3c）（5a3bc2）

例2、求

的末位数字。

提示：

先考虑各因子的末位数字，再考虑积的末位数字。

例3、

是目前世界上找到的最大的素数，试求其末位数字。

提示：

运用规律2。

例4、求证：

。

提示：

考虑能被5整除的数的特征，并结合规律2。

例5、已知n是正整数，且x2n=2，求（3x3n）24（x2）2n的值。

提示：

将所求表达式用x2n表示出来。

例6、求方程（y+x）1949+（z+x）1999+（x+y）2002=2的整数解。

提示：

|y+z|,|z+x|,|x+y|都不超过1，分情况讨论。

例7、若n为自然数，求证：

10|（n1985n1949）。

提示：

n的末位数字对乘方的次数呈现以4为周期的循环。

例8、若

，求x和y。

结论：

x=5,y=2。

例9、对任意自然数n和k，试证：

n4+24k+2是合数。

提示：

n4+24k+2=（n2+22k+1）2（2n2k）2。

例10、对任意有理数x，等式ax4x+b+5=0成立，求（a+b）2003.

第六讲整式的运算

一、知识要点

1、整式的概念：

单项式，多项式，一元多项式；

2、整式的加减：

合并同类项；

3、整式的乘除：

（1）记号f（x），f（a）；

（2）多项式长除法；

（3）余数定理：

多项式f（x）除以（x-a）所得的余数r等于f（a）；

（4）因数定理：

（x-a）|f（x）f（a）=0。

二、例题示范

1、整式的加减

例1、已知单项式0.25xbyc与单项式0.125xm-1y2n-1的和为0.625axnym，求abc的值。

提示：

只有同类项才能合并为一个单项式。

例2、已知A=3x2n8xn+axn+1bxn-1，B=2xn+1axn3x2n+2bxn-1，AB中xn+1项的系数为3，xn-1项的系数为12，求3A2B。

例3、已知ab=5，ab=1，求（2a+3b2ab）（a+4b+ab）（3ab+2b2a）的值。

提示：

先化简，再求值。

例4、化简：

x2x+3x4x+5x…+2001x2002x。

例5、已知x=2002，化简|4x25x+9|4|x2+2x+2|+3x+7。

提示：

先去掉绝对值，再化简求值。

例6、5个数1,2,3,1,2中，设其各个数之和为n1，任选两数之积的和为n2，任选三个数之积的和为n3，任选四个数之积的和为n4，5个数之积为n5，求n1+n2+n3+n4+n5的值。

例7、王老板承包了一个养鱼场，第一年产鱼m千克，预计第二年产鱼量增长率为200%，以后每年的增长率都是前一年增长率的一半。

（1）写出第五年的预计产鱼量；

（2）由于环境污染，实际每年要损失产鱼量的10%，第五年的实际产鱼量为多少？

比预计产鱼量少多少？

2、整式的乘除

例1、已知f（x）=2x+3，求f

（2）,f（-1）,f（a）,f（x2）,f（f（x））。

例2、计算：

（2x+1）（3x-2）´（6x-4）¸（4x+2）

长除法与综合除法：

一个一元多项式f（x）除以另一个多项式g（x），存在下列关系：

f（x）=g（x）q（x）+r（x）其中余式r（x）的次数小于除式g（x）的次数。

当r（x）=0时，称f（x）能被g（x）整除。

例3、

（1）用竖式计算（x3-3x+4x+5）¸（x-2）。

（2）用综合除法计算上例。

（3）记f（x）=x3-3x+4x+5,计算f

（2），并考察f

（2）与上面所计算得出的余数之间的关系。

例4、证明余数定理和因数定理。

证：

设多项式f（x）除以所得的商式为q（x），余数为r，则有

f（x）=（x-b）q（x）+r，将x=b代入等式的两边，得

f（b）=（b-b）q（b）+r，故r=f（b）。

特别地，当r=0时，f（x）=（x-b）q（x），即f（x）有因式（x-b），或称f（x）能被（x-b）整除。

例5、证明多项式f（x）=x4-5x3-7x2+15x-4能被x-1整除。

例6、多项式2x4-3x3+ax2+7x+b能被x2+x-2整除，求a,b的值。

提示：

（1）用长除法，

（2）用综合除法，（3）用因数定理。

例7、若3x3-x=1，求f（x）=9x4+12x3-3x2-7x+2001的值。

提示：

用长除法，从f（x）中化出3x3-x-1。

例8、多项式f（x）除以（x-1）和（x-2）所得的余数分别为3和5，求f（x）除以（x-1）（x-2）所得的余式。

提示：

设f（x）=[（x-1）（x-2）]q（x）+（ax+b），由f

（1）和f

（2）的值推出。

例9、试确定a,b的值，使f（x）=2x4-3x3+ax2+5x+b能被（x+1）（x-2）整除。

第七讲乘法公式

一、知识要点

1、乘法公式

平方差公式：

（a+b）（ab）=a2b2

完全平方公式：

（ab）2=a22ab+b2

立方和公式：

（a+b）（a2ab+b2）=a3+b3

立方差公式：

（ab）（a2+ab+b2）=a3b3

2、乘法公式的推广

（1）（a+b）（ab）=a2b2的推广

由（a+b）（ab）=a2b2,（ab）（a2+ab+b2）=a3b3，猜想：

（ab）（）=a4b4

（ab）（）=a5b5

（ab）（）=anbn

特别地，当a=1,b=q时，（1q）（）=1qn

从而导出等比数列的求和公式。

（2）多项式的平方

由（ab）2=a22ab+b2，推出

（a+b+c）2=（）,（a+b+c+d）2=（）

猜想：

（a1+a2+…+an）=（）。

当其中出现负号时如何处理？

（3）二项式（a+b）n的展开式

①一个二项式的n次方展开有n+1项；

②字母a按降幂排列，字母b按升幂排列，每项的次数都是n；

③各项系数的变化规律由杨辉三角形给出。

二、乘法公式的应用

例1、运用公式计算

（1）（3a+4b）（3a4b）

（2）（3a+4b）2

例2、运用公式，将下列各式写成因式的积的形式。

（1）（2xy）2（2x+y）2

（2）0.01a249b2（3）25（a2b）64（b+2a）

例3、填空

（1）x2+y22xy=（）2

（2）x42x2y2+y4=（）2

（3）49m2+14m+1=（）2（4）64a216a（x+y）+（x+y）2

（5）若m2n2+A+4=（mn+2）2,则A=;

（6）已知ax26x+1=（ax+b）2，则a=,b=;

（7）已知x2+2（m3）x+16是完全平方式，则m=.

例4、计算

（1）2000021999920001

（2）372+2637+132（3）31.52331.5+1.52100。

提示：

（1）19999=200001

例5、计算

（1）（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）（1+216）（1+232）+1。

（2）（1+3）（1+32）（1+34）（1+38）…（1+32n）。

例6、已知x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2。

提示：

（1）由x3+y3=（x+y）33xy（x+y），x2+y2=（x+y）22xy导出；

（2）将x+y=10，平方，立方可解。

例7、已知

，求

，

，

的值。

例8、已知a+b=1,a2+b2=2，求a3+b3，a4+b4，a7+b7的值。

提示：

由（a3+b3）（a4+b4）=a7+b7+a3b4+a4b3=a7+b7+a3b3（a+b）导出a7+b7的值。

例9、已知a+b+c=0,a2+b2+c2=1求下列各式的值：

（1）bc+ca+ab

（2）a4+b4+c4

例10、已知a,b,c,d为正有理数，且满足a4+b4+c4+d4=4abcd，求证a=b=c=d。

提示：

用配方法。

例11、已知x,y,z是有理数，且满足x=63y,x+3y2z2=0,求x2y+z的值。

例12、计算1949219502+1951219522+…+2001220022。

第八讲不等式

一、知识要点

1、不等式的主要性质：

（1）不等式的两边加上（或减去）同一个数或整式，所得不等式与原不等式同向；

（2）不等式两边乘以（或除以）同一个正数，所得不等式与原不等式同向；

（3）不等式两边乘以（或除以）同一个负数，所得不等式与原不等式反向.

（4）若A＞B，B＞C，则A＞C；

（5）若A＞B，C＞D，则A+B＞C+D；

（6）若A＞B，C＜D，则AC＞BD。

2、比较两个数的大小的常用方法：

（1）比差法：

若AB＞0，则A＞B；

（2）比商法：

若

＞1，当A、B同正时，A＞B；A、B同负时，A＜B；

（3）倒数法：

若A、B同号，且

＞

，则＜AB。

3、一元一次不等式：

（1）基本形式：

ax＞b（a0）;

（2）一元一次不等式的解：

当a＞0时，x＞

当a＜0时，x＜

.

二、例题示范

例1、已知a＜0,1＜b＜0,则a,ab,ab2之间的大小关系如何？

例2、满足

的x中，绝对值不超过11的那些整数之和为多少？

例3、一个一元一次不等式组的解是2x3，试写出两个这样的不等式组。

例4、若x+y