专题勾股定理培优版综合.docx
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专题勾股定理培优版综合
专题勾股定理在动态几何中的应用
.勾股定理与对称变换
（一）动点证明题
1.
如图，在△ABC中，AB=AC
（1）若P为边BC上的中点，连结AP,求证：
BPXCPAB^aP;
（2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？
若成立请证明，若不成立请说明理由;
（3）
若P是BC边延长线上一点，线段ABAPBPCP之间有什么样的关系？
请证明你的结论
（二）最值问题
2.
如图，E为正方形ABCD勺边AB上一点，AE=3，BE=1,P为AC上的动点，贝UPBfPE的最小值是
3.如图，四边形ABCD1正方形，△ABE是等边三角形,
将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN连接ENAMCM.
（1）
求证：
△AMB2AENB
C
2
当M点在何处时，AWBWCM的值最小，并说明理由;
（3）当AWBWCM的最小值为,31时，求正方形的边长
4.问题：
如图①，在△ABC中，D是BC边上的一点，若/BA[=ZC=2ZDA（=45°,DC=2.求BD的
长•小明同学的解题思路是：
利用轴对称，把厶ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决.
（1）请你回答：
图中BD的长为_;
（2）参考小明的思路，探究并解答问题：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若/BAD=
/C=2ZDAC=30，DC=2求BD和AB的长.
图②
图①
二.勾股定理与旋转
5•阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：
如图1,在厶ABC（其中/BAC是一个可以变化的角）中，AB=2AC=4以
BC为边在BC的下方作等边△PBC求AP的最大值。
小伟是这样思考的：
利用变换和等边三角形将边的位置重新组合.他的方法是以点B为旋转中
心将△ABP逆时针旋转60°得到△ABC,连接A'A,当点A落在A'C上时，此题可解（如图2）.
请你回答：
AP的最大值是.
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3,等腰Rt△ABC边AB=4,PABC内部一点，则AP+BP+C的最小值是（结
果可以不化简）
6.如图，P是等边三角形ABC内一点，AP=3BP=4CP=5求/APB的度数.
变式1:
?
ABC中,/ACB=90,AC=BC点P是？
ABC内一点，且PA=6PB=2PC=4求/BPC的度
数
变式2:
问题：
如图1,P为正方形ABCD内一点，且PA:
PB:
PC=1:
2:
3,求/APB的度数.
小娜同学的想法是：
不妨设PA=1,PB=2,PC=3,设法把PAPBPC相对集中，于是他将
△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2）,然后连结PE问题得以解决.请你回答：
图2中/APB的度数为.
请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：
如图3,P是等边三角形ABC内一点，已知/APB=15°,ZBPC=25°.
（1）在图3中画出并指明以PAPBPC的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
（2）
求出以PAPBPC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于
7.已知Rt△ABC中,/AC民90。
，CA=CB有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点
C旋转，且直线CECF分别与直线AB交于点MN
（1）当扇形CEF绕点C在/ACE的内部旋转时，如图①，求证：
MN2AM2BN2；
变式1:
如图，在RtABC中，BAC90,ACAB,DAE45
变式2:
如图，在Rt△ABC中，ABAC,DE是斜边BC上两点，且/DA匡45°，将△ADC绕
点A顺时针旋转90后，得到△AFB，连接EF，下列结论:
1厶AED◎△AEF;
2厶ABEACD;
3BEDCDE;
4BE2DC2DE2其中正确的是（）
A.②④；B•①④；C•②③；D.①③
（三）其它应用
7.在厶ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为
小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的「边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示•这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法•若△ABC三边的长分别为、屈a、、/17a
（a0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积填写在横线上_
探索创新：
（3）若厶ABC中有两边的长分别为亚a、“0a（a0），且厶ABC的面积为2a2，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的△ABC（全等的
图1图2图3
8.已知/AB（=90°,点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以ABAP为边在/ABC的内部作等边△ABE^H^APQ连结QE并延长交BP于点F.
（1）如图1,若AB=23，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；
（2）如图2,当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；
（3）若AB=23，设BP=x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的关系式.
FPC
图1
图2
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