版高中数学人教B版选修11学案第三单元 疑难规律方法 第三章 Word版含答案.docx

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版高中数学人教B版选修11学案第三单元疑难规律方法第三章Word版含答案

1　巧用法则求导数

导数的计算包括八个基本初等函数的导数公式，以及和、差、积、商的导数运算法则，它们是导数概念的深化，也是导数应用的基础，起到承上启下的作用．那么在掌握和、差、积、商的导数运算法则时，要注意哪些问题？

有哪些方法技巧可以应用？

下面就以实例进行说明．

1．函数和（或差）的求导法则

（f（x）±g（x））′＝f′（x）±g′（x）

例1　求下列函数的导数：

（1）f（x）＝＋lnx；

（2）f（x）＝cosx－－1.

解　

（1）f′（x）＝－＋.

（2）f′（x）＝－sinx－.

点评　记住基本初等函数的导数公式是正确求解导数的关键，此外函数和（或差）的求导法则可以推广到任意有限个可导函数和（或差）的求导．

2．函数积的求导法则

[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）

例2　求下列函数的导数：

（1）f（x）＝x2ex；

（2）f（x）＝（x＋1）（x＋2）（x＋3）．

解　

（1）f′（x）＝（x2ex）′＝（x2）′ex＋x2（ex）′

＝2xex＋x2ex.

（2）f′（x）＝[（x＋1）（x＋2）（x＋3）]′

＝[（x＋1）（x＋2）]′（x＋3）＋（x＋1）（x＋2）（x＋3）′

＝[（x＋1）′（x＋2）＋（x＋1）（x＋2）′]（x＋3）＋（x＋1）（x＋2）

＝（x＋2＋x＋1）（x＋3）＋（x＋1）（x＋2）＝（2x＋3）（x＋3）＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11.

点评　特别要注意：

[f（x）g（x）]′≠f′（x）g′（x）．

同时要记住结论：

若C为常数，则[Cf（x）]′＝Cf′（x），由此进一步可以得到[af（x）±bg（x）]′＝af′（x）±bg′（x）．

3．函数商的求导法则

′＝（g（x）≠0）

例3　求下列函数的导数：

（1）f（x）＝；

（2）f（x）＝tanx；

（3）f（x）＝＋.

解　

（1）f′（x）＝（）′＝

＝.

（2）f′（x）＝（tanx）′＝（）′

＝＝.

（3）因为f（x）＝＋＝

＝，

所以f′（x）＝（）′＝＝.

点评　应在求导之前，先利用代数、三角恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算，提高运算效率．

4．分式求导

对于能够裂项的分式型函数，可将函数转化为几个单项式的和差形式，然后再利用和差的导数公式来解决．

例4　求下列函数的导数：

（1）y＝；

（2）y＝.

分析　直接求导，或比较烦杂，或无从下手，这时，我们不妨利用数学运算法则将其分解，那么“曙光就在前头”．

解　

（1）因为y＝＝x－1＋，

所以y′＝1＋＝1－.

（2）因为y＝

＝x2＋x3＋x4，

所以y′＝2x＋3x2＋4x3.

点评　本题启示我们，对于某些函数式，我们应先根据它的结构特点，适当地对函数式中的项进行合理的“拆”，然后“各个击破”．

2　利用导数求切线方程

曲线的切线问题是高考的常见题型之一．而导数f′（x0）的几何意义为曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法．下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳．

1．已知切点，求曲线的切线方程

此类题只需求出曲线的导数f′（x），并代入点斜式方程即可．

例1　曲线f（x）＝x3－3x2＋1在点（1，－1）处的切线方程为（　　）

A．y＝3x－4B．y＝－3x＋2

C．y＝－4x＋3D．y＝4x－5

解析　由f′（x）＝3x2－6x知，曲线在点（1，－1）处的斜率为k＝f′

（1）＝－3.

所以切线方程为y－（－1）＝－3（x－1），即y＝－3x＋2.故选B.

答案　B

2．已知过曲线上一点，求切线方程

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．

例2　求过曲线f（x）＝x3－2x上的点（1，－1）的切线方程．

解　设P（x0，y0）为切点，

则切线的斜率为f′（x0）＝3x－2.

所以切线方程为y－y0＝（3x－2）（x－x0），

即y－（x－2x0）＝（3x－2）·（x－x0）．

又知切线过点（1，－1），

所以－1－（x－2x0）＝（3x－2）（1－x0），

解得x0＝1或x0＝－.

故所求切线方程为y－（1－2）＝（3－2）（x－1）

或y－（－＋1）＝（－2）·（x＋），

即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.

点评　可以发现直线5x＋4y－1＝0并不以（1，－1）为切点，实际上是经过点（1，－1），且以（－，）为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点．

3．已知过曲线外一点，求切线方程

此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．

例3　求过点（2,0）且与曲线f（x）＝相切的直线方程．

解　设P（x0，y0）为切点，

则切线的斜率为f′（x0）＝－.

所以切线方程为y－y0＝－（x－x0），

即y－＝－（x－x0）．

又已知切线过点（2,0），把它代入上述方程，

得－＝－（2－x0）．

解得x0＝1，y0＝＝1，

所以所求切线方程为y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0.

点评　点（2,0）实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，这充分反映出待定切点法的高效性．

4．求两条曲线的公切线

例4　已知曲线C1：

y＝x2与C2：

y＝－x2＋4x－4，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程．

分析　设出直线与两条曲线的切点坐标，分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两个方程所表示的直线重合，建立方程组求解．

解　设l与C1相切于点P（x1，x），与C2相切于点Q（x2，－x＋4x2－4）．由C1：

y＝x2，得y′＝2x，

则与C1相切于点P的切线方程为y－x＝2x1（x－x1），

即y＝2x1x－x.由C2：

y＝－x2＋4x－4，得y′＝－2x＋4，

则与C2相切于点Q的切线方程为

y＝－2（x2－2）x＋x－4.

因为两切线重合，所以2x1＝－2（x2－2）且－x＝x－4，

解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0.

所以直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.

点评　公切线问题的一般解法是分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两直线重合的条件建立方程组求解．

3　利用导数研究函数单调性常见题型

1．运用导数求函数的单调区间

利用导数研究函数单调性的一般步骤：

（1）确定函数的定义域；

（2）求导数f′（x）；（3）在定义域内解不等式f′（x）>0或f′（x）<0，得单调区间．

例1　求函数f（x）＝x（ex－1）－x2的单调区间．

解　由已知，得当f′（x）＝（ex－1）（x＋1）＝0时，有x＝0或x＝－1.

当x<－1时，f′（x）>0；当－1

当x>0时，f′（x）>0.

故f（x）的单调递增区间是（－∞，－1），（0，＋∞），单调递减区间是（－1,0）．

点评　单调区间开闭不扣分，但定义域不取的数一定不能取；断开的单调区间一般不合写，也不用“∪”连接，中间用“，”或“和”连接．

例2　已知函数f（x）＝x2＋3x－2lnx，则函数f（x）的单调递减区间为________．

分析　先求函数f（x）的定义域和导数，再结合定义域解f′（x）<0即可．

解析　函数f（x）的定义域为（0，＋∞），

f′（x）＝2x＋3－.

令f′（x）<0，即2x＋3－＝<0，

结合定义域知，x>0且2x2＋3x－2<0，

解得0

答案　（0，）

点评　求解该类问题时要注意两点：

①不要忽视定义域；②如有多个单调递增（减）区间，不要把这些区间取并集．

2．证明不等式

例3　求证：

当x>1时，lnx>－.

分析　可构造函数f（x）＝lnx－（－），由于f

（1）＝0，故若能证明f（x）为（1，＋∞）上的增函数，即证明在（1，＋∞）上，导函数f′（x）>0恒成立即可．

证明　令f（x）＝lnx－（－），则有f

（1）＝0.

因为f′（x）＝＋x＝>0（x∈（1，＋∞）），

所以函数f（x）为（1，＋∞）上的增函数，

又f

（1）＝0，所以当x∈（1，＋∞）时，f（x）>0恒成立，

即lnx>－.

点评　证明不等式f（x）>g（x），x∈（a，b）的一般方法：

构造函数F（x）＝f（x）－g（x），x∈（a，b），分析F（x）在区间（a，b）上的单调性及最小值与0的大小，进而说明F（x）>0在（a，b）内恒成立即可．

3．求参数的取值范围

例4　已知函数f（x）＝x3－ax2＋1.

（1）若函数f（x）的单调递减区间是（0,2），求实数a的取值范围；

（2）若函数f（x）在区间（0,2）内单调递减，求实数a的取值范围．

分析　注意正确区分“在某区间单调”和“单调区间”的概念，避免混淆．

解　

（1）由f（x）的单调递减区间为（0,2）可知，0与2是方程f′（x）＝3x2－2ax＝0的两根，

故有3×22－2a×2＝0，解得a＝3.

（2）由函数f（x）在区间（0,2）内单调递减可知，

f′（x）＝3x2－2ax≤0在（0,2）内恒成立，

即2a≥3x在区间（0,2）内恒成立．

因为x∈（0,2），所以3x∈（0,6），故2a≥6，即a≥3.

经验证a＝3时满足题意，故a的取值范围为[3，＋∞）．

点评　若函数f（x）在区间D上是增（减）函数，则有f′（x）≥0（f′（x）≤0）对x∈D恒成立，这类问题，通常利用导数转化为不等式在某区间上的恒成立问题，进而把恒成立问题转化为求一个函数在某区间上的最大（小）值问题求解．也可根据所给区间是单调递增（减）区间的子区间求解．

4　巧用导数求极值

1．函数的极值点的判定方法

设函数f（x）在x0处连续，判定f（x0）是极大（小）值点的方法：

（1）如果在x0两侧f′（x）符号相同，则x0不是函数f（x）的极值点；

（2）如果在x0附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，那么f（x0）是极大值；（3）如果在x0附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，那么f（x0）是极小值．也就是说，极大值点可以看成是函数递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值．极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值．

2．极值常见题型详解

（1）利用导数求函数的极值

例1　求函数f（x）＝xlnx的极值点．

解　f′（x）＝lnx＋1，x>0.

而f′（x）>0⇔lnx＋1>0⇔x>，

f′（x）<0⇔lnx＋1<0⇔0

所以f（x）在（0，）上是递减的，在（，＋∞）上是递增的．

所以x＝是函数f（x）的极小值点，极大值点不存在．

点评　求极值问题一定注意函数的定义域，所以在定义域内研究函数的极值是求极值时应注意的知识点，再利用求极值的步骤求解即可．

（2）含参数的极值问题

例2　设a∈R，函数f（x）＝lnx－ax.讨论函数f（x）的单调区间和极值．

解　由已知，得函数f（x）的定义域为（0，＋∞），

f′（x）＝－a＝.

①若a≤0，则f′（x）>0，f（x）在（0，＋∞）上是递增的，无极值；

②若a>0，令f′（x）＝0，得x＝.

当x∈（0，）时，f′（x）>0，f（x）是递增的；

当x∈（，＋∞）时，f′（x）<0，f（x）是递减的．

所以当x＝时，f（x）有极大值，

极大值为f（）＝ln－1＝－lna－1.

综上所述，当a≤0时，f（x）的递增区间为（0，＋∞），无极值；

当a>0时，f（x）的递增区间为（0，），

递减区间为（，＋∞