几类不同增长的函数模型教学设计.docx

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几类不同增长的函数模型教学设计

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　　教学设计

　　3.2.1　几类不同增长的函数模型

　　整体设计

　　教学分析

　　函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的．通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的．

　　三维目标

　　．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．

　　2．恰当运用函数的三种表示方法并借助信息技术解决一些实际问题．

　　3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生的学习兴趣．

　　重点难点

　　教学重点：

认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．

　　教学难点：

应用函数模型解决简单问题．

　　课时安排

　　2课时

　　教学过程

　　第1课时

　　作者：

林大华

　　导入新课

　　思路1．

　　一张纸的厚度大约为0.01cm，一块砖的厚度大约为10cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？

　　解：

纸对折n次的厚度：

f＝0.01•2n，n块砖的厚度：

g＝10n，f≈105m，g＝2m.

　　也许同学们感到意外，通过对本节课的学习大家对这些问题会有更深的了解．

　　思路2．

　　请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象和性质，本节我们将通过实例比较它们的增长差异．

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数．

　　正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数．

　　某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区的努力，使湿地面积每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数．

　　分别用表格、图象表示上述函数．

　　指出它们属于哪种函数模型．

　　讨论它们的单调性．

　　比较它们的增长差异．

　　另外还有哪种函数模型与对数函数相关．

　　活动：

先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．

　　总价等于单价与数量的积．

　　面积等于边长的平方．

　　由特殊到一般，先求出经过1年、2年…

　　列表画出函数图象．

　　引导学生回忆学过的函数模型．

　　结合函数表格与图象讨论它们的单调性．

　　让学生自己比较并体会．

　　其他与对数函数有关的函数模型．

　　讨论结果：

y＝x.

　　y＝x2.

　　y＝x.

　　如下表

　　y＝x

　　y＝x2

　　y＝x

　　.05

　　.10

　　.16

　　.22

　　.28

　　.34

　　它们的图象分别为图1，图2，图3.

　　图1

　　图2

　　图3

　　它们分别属于：

y＝kx＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝kax＋b．

　　从表格和图象得出它们都为增函数．

　　在不同区间增长速度不同，随着x的增大y＝x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．

　　另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y＝logax＋b，我们把它叫做对数型函数．

　　应用示例

　　例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

　　方案一：

每天回报40元；

　　方案二：

第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

　　方案三：

第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．

　　请问，你会选择哪种投资方案？

　　活动：

学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：

我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据．

　　解：

设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40进行描述；方案二可以用函数y＝10x进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．要对三个方案做出选择，就要对它的增长情况进行分析．我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况.

　　x/天

　　方案一

　　方案二

　　方案三

　　y/元

　　增加量/元

　　y/元

　　增加量/元

　　y/元

　　增加量/元

　　0.4

　　0.8

　　0.4

　　0.8

　　3.2

　　6.4

　　3.2

　　2.8

　　6.4

　　25.6

　　2.8

　　51.2

　　25.6

　　02.4

　　51.2

　　204.8

　　02.4

　　…

　　300

　　214748364.8

　　07374182.4

　　再作出三个函数的图象．

　　图4

　　由表和图4可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．

　　下面再看累积的回报数．通过计算机或计算器列表如下：

　　因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天以上，则应选择方案三．

　　针对上例可以思考下面问题：

　　①选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数．

　　②课本把两种回报数都列表给出的意义何在？

　　③由此得出怎样的结论．

　　答案：

①选择哪种方案依据的是累积回报数．

　　②让我们体会每天回报数的增长变化．

　　③上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异.

　　变式训练

　　某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：

“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话x分钟，两种通讯业务的费用分别为y1元和y2元，那么

　　写出y1、y2与x之间的函数关系式；

　　在同一直角坐标系中画出两函数的图象；

　　求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同；

　　若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算．

　　思路分析：

我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变化情况，为选择哪种通讯提供依据．全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；可利用方程组求解，也可以根据图象回答；求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大．

　　解：

y1＝50＋0.4x，y2＝0.6x．

　　图象如图5所示．

　　图5

　　根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同．

　　当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值，即选取全球通更合算．

　　另解：

当y1＝200时有0.4x＋50＝200，∴x1＝375；

　　当y2＝200时有0.6x＝200，x2＝10003.显然375＞10003，

　　∴选用“全球通”更合算．

　　点评：

在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力．另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.

　　例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：

在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y随着利润x的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：

y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？

　　活动：

学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：

某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润．于是只需在区间[10,1000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．

　　解：

借助计算器或计算机作出函数y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象．

　　图6

　　观察函数的图象，在区间[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．

　　下面通过计算确认上述判断．

　　首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．

　　对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1000]上递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；

　　对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1000]上递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；

　　对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1000]上递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．

　　再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有yx＝log7x＋1x≤0.25成立．

　　图7

　　令f＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1000]．利用计算器或计算机作出函数f的图象，由函数图象可知它是递减的，因此

　　f＜f≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.

　　所以当x∈[10,1000]时，log7x＋1x＜0.25.

　　说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不超过利润的25%.

　　综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司的要求.

　　变式训练

　　市场营销人员对过去几年某商

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