高中数学必修直线与方程知识点总结与练习.docx
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高中数学必修直线与方程知识点总结与练习
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高中数学必修直线与方程知识点总结与练习
第八章 平面解析几何
第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程
[知识能否忆起]
一、直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
（1）定义：
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
（2）倾斜角的范围为[0，π）_．
2．直线的斜率
（1）定义：
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．
（2）过两点的直线的斜率公式：
经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为k＝＝.
二、直线方程的形式及适用条件
名称
几何条件
方 程
局限性
点斜式
过点（x0，y0），斜率为k
y－y0＝k（x－x0）
不含垂直于x轴的直线
斜截式
斜率为k，纵截距为b
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
过两点（x1，y1），（x2，y2），（x1≠x2，y1≠y2）
＝
不包括垂直于坐标轴的直线
截距式
在x轴、y轴上的截距分别为a，b（a，b≠0）
＋＝1
不包括垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）
[小题能否全取]
1．（教材习题改编）直线x＋y＋m＝0（m∈k）的倾斜角为（ ）
A．30° B．60°
C．150°D．120°
解析：
选C 由k＝tanα＝－，α∈[0，π）得α＝150°.
2．（教材习题改编）已知直线l过点P（－2,5），且斜率为－，则直线l的方程为（ ）
A．3x＋4y－14＝0B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0D．4x－3y＋14＝0
解析：
选A 由y－5＝－（x＋2），得3x＋4y－14＝0.
3．过点M（－2，m），N（m,4）的直线的斜率等于1，则m的值为（ ）
A．1B．4
C．1或3D．1或4
解析：
选A 由1＝，得m＋2＝4－m，m＝1.
4．（2012·长春模拟）若点A（4,3），B（5，a），C（6,5）三点共线，则a的值为________．
解析：
kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.
由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.
答案：
4
5．若直线l过点（－1,2）且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为________．
解析：
由已知得直线l的斜率为k＝－.
所以l的方程为y－2＝－（x＋1），
即3x＋2y－1＝0.
答案：
3x＋2y－1＝0
1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．
3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．
直线的倾斜角与斜率
典题导入
[例1]
（1）（2012·岳阳模拟）经过两点A（4,2y＋1），B（2，－3）的直线的倾斜角为，则y＝（ ）
A．－1 B．－3
C．0D．2
（2）（2012·苏州模拟）直线xcosθ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是________．
[自主解答]
（1）tan＝＝＝y＋2，因此y＋2＝－＝－3.
（2）由题知k＝－cosθ，故k∈，结合正切函数的图象，当k∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪.
[答案]
（1）B
（2）∪
由题悟法
1．求倾斜角的取值范围的一般步骤：
（1）求出斜率k＝tanα的取值范围；
（2）利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．
2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
以题试法
1．（2012·哈尔滨模拟）函数y＝asinx－bcosx的一条对称轴为x＝，则直线l：
ax－by＋c＝0的倾斜角为（ ）
A．45°B．60°
C．120°D．135°
解析：
选D 由函数y＝f（x）＝asinx－bcosx的一条对称轴为x＝知，f（0）＝f，即－b＝a，则直线l的斜率为－1，故倾斜角为135°.
2．（2012·金华模拟）已知点A（1,3），B（－2，－1）．若直线l：
y＝k（x－2）＋1与线段AB相交，则k的取值范围是（ ）
B．（－∞，－2]
C．（－∞，－2]∪
解析：
选D 由题意知直线l恒过定点P（2,1），如右图．若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB.
∵kPA＝－2，kPB＝，
∴－2≤k≤.
直线方程
典题导入
[例2]
（1）过点（1,0）且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________________．
（2）（2012·东城模拟）若点P（1,1）为圆（x－3）2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为______________．
[自主解答]
（1）设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由直线经过点（1,0），得1＋m＝0，m＝－1.
则所求直线方程为x－2y－1＝0.
（2）由题意得，×kMN＝－1，所以kMN＝2，故弦MN所在直线的方程为y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0.
[答案]
（1）x－2y－1＝0
（2）2x－y－1＝0
由题悟法
求直线方程的方法主要有以下两种：
（1）直接法：
根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
（2）待定系数法：
先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．
以题试法
3．（2012·龙岩调研）已知△ABC中，A（1，－4），B（6,6），C（－2,0）．求：
（1）△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；
（2）BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．
解：
（1）平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线．
因为线段AB，AC中点坐标分别为，，
所以这条直线的方程为＝，
整理一般式方程为得6x－8y－13＝0，截距式方程为－＝1.
（2）因为BC边上的中点为（2,3），所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即一般式方程为7x－y－11＝0，截距式方程为－＝1.
直线方程的综合应用
典题导入
[例3] （2012·开封模拟）过点P（3,0）作一直线，使它夹在两直线l1：
2x－y－2＝0与l2：
x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．
[自主解答] 法一：
设点A（x，y）在l1上，点B（xB，yB）在l2上．
由题意知则点B（6－x，－y），
解方程组
得则k＝＝8.
故所求的直线方程为y＝8（x－3），即8x－y－24＝0.
法二：
设所求的直线方程为y＝k（x－3），
点A，B的坐标分别为（xA，yA），（xB，yB），
由解得
由解得
∵P（3,0）是线段AB的中点，
∴yA＋yB＝0，即＋＝0，
∴k2－8k＝0，解得k＝0或k＝8.
若k＝0，则xA＝1，xB＝－3，
此时＝≠3，∴k＝0舍去，
故所求的直线方程为y＝8（x－3），
即8x－y－24＝0.
由题悟法
解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．
以题试法
4．（2012·东北三校联考）已知直线l过点M（2,1），且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点．
（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程；
（2）当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
解：
（1）设直线l的方程为y－1＝k（x－2）（k<0），
A，B（0，1－2k），
△AOB的面积S＝（1－2k）
＝≥（4＋4）＝4.
当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．
故直线l的方程为y－1＝－（x－2），即x＋2y－4＝0.
（2）∵|MA|＝，|MB|＝，
∴|MA|·|MB|＝·＝2≥2×2＝4，
当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，
故直线方程为x＋y－3＝0.
[典例] （2012·西安模拟）设直线l的方程为
（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R）．
（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
[尝试解题]
（1）当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，此时截距相等．
故a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，
得＝a－2，即a＋1＝1，
故a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
（2）将l的方程化为y＝－（a＋1）x＋a－2，
则或
∴a≤－1.
综上可知，a的取值范围是（－∞，－1]．
——————[易错提醒]———————————————————————————
1.与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情形.如本例中的截距相等，当直线在x轴与y轴上的截距为零时也满足.
2.常见的与截距问题有关的易误点有：
“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形.注意分类讨论思想的运用.
——————————————————————————————————————针对训练
过点M（3，－4）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．
解析：
①当过原点时，直线方程为y＝－x；
②当不过原点时，设直线方程为＋＝1，
即x－y＝a.代入点（3，－4），得a＝7.
即直线方程为x－y－7＝0.
答案：
y＝－x或x－y－7＝0
1．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点（ ）
A．（1，－2） B．（1,2）
C．（－1,2）D．（－1，－2）
解析：
选A 因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b＝－2－k，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k（x－1），故直线必过定点（1，－2）．
2．直线2x＋11y＋16＝0关于点P（0,1）对称的直线方程是（ ）
A．2x＋11y＋38＝0B．2x＋11y－38＝0
C．2x－11y－38＝0D．2x－11y＋16＝0
解析：
选B 因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x＋11y＋C＝0，由点到直线的距离公式可得＝，解得C＝16（舍去）或C＝－38.
3．（2012·衡水模拟）直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点（－1,1）且与y轴交于点P，则P点坐标为（ ）
A．（3,0）B．（－3,0）
C．（0，－3）D．（0,3）
解析：
选D ∵l1∥l2，且l1斜率为2，∴l2的斜率为2.
又l2过（－1,1），∴l2的方程为y－1＝2（x＋1），
整理即得y＝2x＋3.令x＝0，得P（0,3）．
4．（2013·佛山模拟）直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足（ ）
A．ab＞0，bc＜0B．ab＞0，bc＞0
C．ab＜0，bc＞0D．ab＜0，bc＜0
解析：
选A 由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，
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