牛顿运动定律的应用.docx

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牛顿运动定律的应用

第三单元牛顿运动定律的应用

——匀速圆周运动初探

一、教法建议

抛砖引玉

本单元主要是通过研究物体在外力作用下作曲线运动的情况，希望同学们能对牛顿力学的知识获得更进一步的了解。

而圆周运动是曲线运动的最简单、最基本的形式，所以我们对圆周运动的研究就是为了深入研究各种运动打下一个基础。

本部分知识在现行的教材中被安排在高三，但是对于基础较好的学校，做一个关于牛顿定律应用的补充，会使学生的眼界更广阔，对牛顿定律的理解会更全面、更深刻。

首先弄清曲线运动是个变速运动，并通过实验弄清物体做曲线运动的条件。

在研究匀速圆周运动时可类比直线运动的研究方法，先研究匀速圆周运动的运动学规律，而后再研究匀速圆周运动的动力学规律。

指点迷津

曲线运动是我们经常接触的一种运动形式。

如：

把篮球从后场抛至前场，球门员将足球踢至球场中线，我们在游乐场坐过山车……这些运动都是曲线运动的实例。

物体在运动时，其运动轨迹是曲线，其速度方向是时刻在改变的，因此曲线运动是变速运动。

它在某位置（或某时刻）的瞬时速度的方向，就是通过曲线上这一点的切线的方向。

根据牛顿第二定律可知，物体做变速运动是由于受到外力的作用而产生的，那么物体做曲线运动的条件是什么呢？

你可以做一个简单的实验就能明白。

如图3-45，拿一个小钢球，令其在玻璃板上滚动。

当没受到外力作用时，钢球做直线运动。

若在钢球运动的路线旁放一个条形磁铁，钢球就会转弯，做曲线运动。

所以我们可以看出，当物体在运动时，受到了与它运动速度方向不在同一直线上的力的作用时，物体就做曲线运动。

图3-45

我们先研究曲线运动中的一种特例——匀速圆周运动。

物体做圆周运动，转一周所用时间叫周期（符号T），如果在相等的时间里通过的圆弧长度都相等，这种运动叫匀速圆周运动。

第分钟转的圈数叫转速（n），T=

描述匀速圆周运动快慢的物理量叫线速度（v）。

它表明了在单位时间内，物体所通过的弧长，如果圆半径为r，则v=

=

。

某时刻线速度的方向为该时刻通过圆周上某点的切线方向。

匀速圆周运动各时刻的线速度都相等。

描述匀速圆周运动还有角速度（ω），物体在圆周上运动时，它到圆心连成的半径所转过的角度，在单位时间里也是个定值，所以匀速圆周运动的快慢可以用半径转过的角度ψ与所用时间t的比值ω=

来表示。

若物体转一周用时间为T，则ω=

，ω的单位：

弧度/秒。

可看出v与ω的关系为：

v=ω·r。

图3-46图3-47

匀速圆周运动是速度大小不变化，而速度的方向时刻在变化的变速运动，因此物体必定受一个与它的速度方向不在同一直线上的合外力的作用。

同学们可以做一个简单的实验：

找一个圆珠笔的笔杆，从物理实验室借一个测力计，两个不同的砝码，一根涂过蜡的丝线。

如图3-47装好。

握住笔杆使砝码在水平面上做匀速圆周运动，弹簧测力计的示数就表示了砝码做圆周运动所受的力。

因为这个力指向圆心，所以叫向心力。

分别改变角速度大小，或改变运动半径，或改变砝码质量，观察向心力的变化。

最后，你会得出F=mrω2=m

根据牛顿定律可知：

a=rω2或a=

其中a为向心加速度。

根据这个单元的学习，我们可以进一步体会到牛顿定律的应用。

当物体受到外力作用时，就要做变速运动；当外力与物体运动同一方向时，物体做变速直线运动；当外力与物体运动方向不在一直线上时，物体做曲线运动；当外力大小恒定且永远与物体运动方向垂直，则物体做匀速圆周运动。

二、学海导航

思维基础

请从以下实例中，领会、掌握有关的基础知识。

1.能确定曲线运动中速度的方向

例：

物体做曲线运动时，曲线的切线方向是表示物体的（）

（1）运动方向；

（2）瞬时速度方向；

（3）平均速度方向（4）加速度方向。

答案：

（1）、

（2）

2.掌握曲线运动的性质：

变速运动

例：

曲线运动之所以是一种变速运动，是由于曲线上各点的切线方向，这

样速度方向是时刻改变的。

而速度是既有又有的矢量，所以曲线运动速度是不断地变化的。

答案：

不同、大小、方向。

3.能利用牛顿定律的观点分析物体做曲线运动条件

例：

运动物体所受合外力为零时，物体做运动。

若合外力不为零，它的方

向又与物体运动速度的方向在同一直线上，物体就做运动。

如果力与速度方向不在同一直线上，物体就运动。

4.会根据运动轨迹确定某点的速度方向

例：

如图3-48，质点沿圆周做顺时针方向的曲线运动。

速度跟A点速度方向向垂直的

点有，跟A点速度方向成45°角的点有。

（圆周上各点为等分点）

分析：

把各点的速度方向画出来，就可看出来了。

应为C、G；B、H。

图3-48

5.能从运动学角度理解匀速圆周运动

例：

下列关于匀速圆周运动的叙述，正确的是：

（1）速率恒定；

（2）周期恒定；

（3）速度恒定；（4）半径转动快慢恒定。

分析：

匀速圆周运动的特征就是线速度大小不变，角速度不变。

角速度就是单位时间

物体到圆心的半径所转过的角度。

而线速度大小不变，也说明了周期一定。

6.能利用线速度、角速度的公式进行有关计算

例：

做匀速圆周运动物体的线速度为3m/s，角速度为6弧度/秒，在0.1s内通过的圆

弧长度为米。

半径转过的角度为弧度，圆半径是米。

分析：

根据v=

和ω=

v=ω·r可求。

7.根据v、ω的关系，分析、计算有关问题

例：

如图3-49所示，有一皮带传动装置（皮带不打滑），A、B、C三点的半径分别为RA、

RB和RC，且RB=RC=RA/2，设三点线速度分别为vA、vB、vC；三点的角速度分别为ωA、ωB、ωC，则下列关系中正确的是：

图3-49

（1）vA>vB>vC

（2）vA=VC>vB

（3）ωA=ωB<ωC（4）ωA<ωB<ωC

分析：

利用v=

和ω=

进行分析。

8.从力作用的角度分析匀速圆周运动的特点及运动性质

例：

匀速圆周运动是：

（1）匀速率运动；

（2）匀变速运动；

（3）匀加速运动；（4）变加速运动。

分析：

这里关键要抓住做匀速圆周运动的物体是受有变力作用的。

9.理解向心加速度的概念

例：

关于向心加速度的叙述，正确的是：

（1）向心加速度是由向心力产生的；

（2）向心加速度的方向与向心力方向相同；

（3）向心加速度的方向与速度方向相同；

（4）向心加速度是矢量。

分析：

从牛顿运动定律出发去分析，加速度是由于物体受力产力的。

答案：

（1）、

（2）、（4）。

10.理解向心力的物理意义，能判断向心力的来源

例：

关于做匀速圆周运动的向心力的说法中，正确的是：

（1）向主力一定与物体所受合外力相平衡；

（2）向心力是物体受到的一种效果力；

（3）向心力一定等于物体所受到的合外力；

（4）向心力的方向时刻在改变，而其大小一定是不变的；

（5）向心力的方向一定与物体运动方向相垂直。

分析：

使物体作匀速圆周运动的合外力永远指向圆心，所以我们这个合外力称作向心

力。

所以向心力是效果力。

答案：

（2）、（3）、（4）、（5）。

11.能根据向心力公式直接推算或比较有关量

例：

甲、乙两质点做匀速圆周运动，甲质点的质量和转动半径都分别是乙质点的一半，

当甲点转动60圈时，乙正好转45圈，则甲、乙两点向心力之比是：

（1）1:

4；

（2）4:

1；（3）4:

9；（4）3:

2（5）9:

4

分析：

根据转数、角速度、向心力的关系可以推导出：

F=4π2n2m·r

答案：

（3）

12.能理解向心加速度的物理意义

例：

匀速圆周运动的向心加速度是：

（1）描述运动快慢的物理量；

（2）描述速度大小变化的物理量；

（3）描述速度大小变化快慢的物理量；

（4）描述速度方向变化快慢的物理量；

（5）描述速度变化快慢的物理量。

分析：

匀速圆周运动的速度大小是不变的，所以只要牵涉到速度大小变化就都不能是

匀速圆周运动了。

实际上向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理量。

13.能在新的物理情景中，应用向心力为：

（1）4.44N；

（2）5N；（3）13.3N；（4）20N

分析：

从题目分析看，在利用向心力公式F=mωr计算时条件是很不够的。

但是两次物体做匀速圆周运动是有很密切的关系的，其中，ω2=3ω1，r不变，m不变，后者向心力为F+40，因此根据对条件的分析，可看出此题只能用比例法求解。

答案：

（2）

学法指要

在掌握上述基本规律后，我们可以利用牛顿第一定律的解题方法，求解匀速圆周运动的问题。

解题步骤如下：

1.选好研究对象，分析其受力，也是按重力、弹力、摩擦力顺序去分析。

2.选好坐标，指向圆心。

3.根据题意弄清物体的转动半径、转速（或线速度、或角速度）。

4.列向心力方程，即合外力是使物体做匀速圆周运动的原因，即ΣF=mω2r（或=m

；

或=4π2n2mr）。

例1：

一根长0.5m的细绳，在受到5N的拉力时就会被拉断，现在这条绳子的一端拴着一个质量为0.4kg的小球。

（1）若使小球在光滑的水平桌面作匀速圆周运动，角速度最大不得超过多少？

（2）若小球在竖直平面上作圆周运动，小球通过最低点时的速度最大不能超过多少？

（3）若小球在竖直平面做圆周运动，在通过最低点时，绳子刚好断裂，此后小球将如何运动？

图3-50

（1）分析：

先画出草图，选小球作研究对象，分析它受的力重力，弹力：

桌面支持力，绳拉力，摩擦力：

没有。

画受力图。

坐标怎么选？

维护物体做匀速圆周运动的力是向心力，因此坐标方向应指向圆心。

利用牛顿二定律列方程是怎么考虑的？

在向心力的作用下，物体（m）作匀速圆周运动，

T=m×ω2r可求ω=5（弧度/秒）

（2）分析：

物体在竖直平面中做圆周运动时，由于重力的作用，往往做变速圆周运动。

但是研究它在某一位置时力和运动的关系时，匀速圆周运动的公式仍然适用，我们可以认为那一瞬间为匀速圆周运动，那么用到的线速度和角速度就是物体在该点的瞬时值了。

画草图，分析受力：

选坐标：

列动力学方程：

最后可求出v=1.1（m/s）

（3）物体做圆周运动时，如果向心力突然消失，向心加速度也就不存在了，物体将由于惯性沿切线方向飞出。

例2：

质量为m的物体用长L=0.8m长的细绳悬挂在天花板上。

物体经推动后在水平面上做匀速圆周运动，运动中细绳扫过的面是一个圆锥面，如图3-51，若物体运动时悬绳与竖直方向夹角θ=60°。

求物体做匀速圆周运动的周期为多少？

（取g=10m/s2）

为了研究这个问题，我们可以从题目叙述的物理情景中领会以下问题：

（1）物体做什么运动？

（2）哪些力维持物体做这一运动？

（3）

分析这样的问题基本思路是什么？

图3-51

分析：

选研究对象，分析物体受力。

选物体为研究对象，画草图。

按重力、弹力、摩擦力的顺序依次分析物体受力。

确定坐标系：

物体做圆周运动，坐标应指向圆心。

圆运动的半径如何确定？

向心力是怎么确定的？

可看出：

物体运动到图示位置时，受到向下的重力mg和绳的拉力F作用，这两个力的

合力ΣF是使物体在水平面上做匀速圆周运动的向心力，从草图上可看出ΣF=mgtgθ。

物体做做圆周运动的半径r=Lsinθ,ω=

利用牛顿定律列方程：

在向心力作用下物体做匀速圆周运动

mgtgθ=m×mω2r

即mgtgθ=m（

）2Lsinθ可求：

T=1.3s

思维体操

例：

如图3-52所示，一个质量m=1kg的物体，用细绳a、b系在竖直杆上的A、B两点。

AB=1.6m，a、b两绳长都是l=1m。

试求：

（1）直杆旋转的角速度多大时，b绳刚好被伸直？

（2）当角速度等于10弧度/秒时，a、b两绳上所受拉力各为多大？

在读懂题的基础上，要把题所叙述的物理过程弄清：

（1）当杆转动时，m将如何运动？

（2）在什么状态下b绳刚好抻直？

分析：

当杆转动时，m也随着做圆周运动，开始时，其向心力来自m的重力和a绳的

拉力。

当杆转动加快则作用在m上的向心力不足以维持m的转速时，m则发生离心运动。

因此b绳上没有力的作用，维持m做圆周运动的向心力是m的重力及a绳的拉力。

图3-52

解题过程：

选m为研究对象，分析受力：

画草图：

选坐标：

x轴水平指向圆心；y轴竖直向上（如图3-52）。

Tsinθ=mω2r

列方程可求ω=3.54弧度/秒

Tcosθ-G=0

当ω'=10弧度/秒时ω'>ω

∴此时a、b两绳上都产生了拉力。

同样：

选m为研究对象。

分析受力：

重力及a、b拉力。

画草图，选坐标（如图3-53）。

Tacosθ-mg-Tbcosθ=0

列方程：

Tasinθ-Tbsinθ=mrω2

Ta=56.25N

可求

Tb=43.75N

图3-53

三、智能显示

心中有数

从牛顿定律的研究角度出发，曲红运动的产生是由于运动物体受到与其运动方向有夹角的外力的作用，所以曲线运动是变速运动。

从运动学角度出发，作曲线运动的物体，就从其运动方向总是变化的这一点来看，也证明了曲线运动是变速运动。

匀速圆周运动是曲线运动中的一种特例，其产生原因是：

运动物体永远受到与其运动方向垂直且大小不变的外力作用。

其运动学规律：

要掌握好周期（T）、转速（n）、线速度（v）、角速度（ω）、向心加速度（a）等运动规律。

其动力学的基础还是牛顿第二定律，只不过向心力是效果力，在分析力的产生时依然是按重力、弹力、摩擦力的顺序去讨论；不过在研究运动状态的改变时，要注意圆周运动的特点，物体做圆周运动的向心加速度a=

=ω2R，这要根据物体运动的情况来定。

动脑动手

1.一质量为M的汽车，以速度v通过半径为R的凸形桥的顶端时，它对桥面的压力为

（1）M（g+

）；

（2）M（g-

）；

（3）M（

-g）；（4）Mg

2.如图3-54所示，球A和B可在光滑杆上滑动，两球间用一细绳连接，球A质量是球

B质量的2倍，当装置匀角速度旋转时，两球离轴的距离保持不变，则：

（1）球A和B所需的向心力分别是绳对它们的拉力；

（2）球A所需的向心力大于球B所需的向心力；

（3）球A离转轴的距离是球B离转轴距离的一半；

（4）当角速度增加时，球A将向外滑动。

图3-54

3.如图3-55所示的皮带传动装置中，轮A和B同轴，A、B、C分别是三个轮边缘的质

点，且RA=RC=2RB，则三质点的向心加速度之比aA:

aB:

aC等于：

（1）4:

2:

1；

（2）2:

1:

2

（3）1:

2:

4；（4）4:

1:

4

4.如图3-56所示，一根轻质匀硬棒的中点和右端各固定一质量相同的小球A和B，左

端为转动轴O。

让棒绕O轴匀速转动，设硬棒OA段对球A的拉力为FA，AB段对球B的拉力为FB，求两拉力之比FA/FB=？

图3-55图3-56

创新园地

一个光滑的圆锥固定在能绕轴旋转的圆盘上，如图3-57，圆锥与圆盘轴线重合，其母线与累赘线成θ角，θ=30°。

一条长为l的绳（质量不计），一端固定在锥顶O处，另一端拴着一个质量为m的小物体，当圆盘以较小的角速度ω匀速旋转时，求

（1）锥面对物体的支持力；绳对物体的拉力。

（2）当ω为多大时，物体m将要离开锥面。

图3-57

参考答案：

动脑动手：

1.

（2）；2.

（1）、（3）；3.

（1）；4.3/2

创新园地：

（1）N=

mg-

mω2l；T=

mg+

mω2l

（2）ω'=

四、同步题库

一、选择题

1.在曲线运动中，若速率保持不变，则运动的加速度（）

A.一定等于零

B.大小不变，方向与物体运动方向一致

C.大小不变，某点的加速度与该点曲线切线方向一致

D.某点的加速度由物体在该点所受的合外力决定

2.下列关于匀速圆周运动的叙述，正确的是（）

A.速率是恒定的B.周期是恒定的

C.速度是恒定的D.半径转动的快慢恒定

3.在同一转动物体上的各点，下列哪理量是相同的（）

A.线速度B.角速度

C.周期D.频率

4.如图3-58所示，有一皮带传动装置（皮带不打滑），其上A、B、C三点的半径分别

为RA、RB、RC，已知RB=RC=RA/2。

若三点的线速度和角速度分别为vA、vB和vC及ωA、ωB、和ωC，则下列各式中正确的为（）

A.vA>vC>vBB.vA=vC>vB

C.ωA=ωB>ωCD.ωA>ωB>ωC

图3-58

5.接上题，若A、B、C三点运动的周期和频率分别为TA、TB和TC及fA、fB和fC，

则下列关系中正确的为（）

A.TA、TB>TCB.TA>TB>TC

C.fA>fB>fCD.fA=fB

6.甲、乙两质点做匀速圆周运动，甲的质量和转动半径都分别是乙质点的一半，当甲

质点转动60圈时，乙正好转45圈，则甲、乙两质点向心力之比是（）

A.1:

4B.4:

1C.4:

9D.9:

4

7.关于匀速圆周运动，下面哪些说法是正确的（）

A.因为向心力大小不变，所以匀速圆周运动是匀变速运动

B.因为线速度大小不变，所以物体的动量保持不变

C.用细绳系着物体在光滑水平面上做匀速圆周运动，细绳断了后，由于物体受离心力

的作用，才背离圆心沿直线运动

D.以上说法都不对

8.关于向心加速度的叙述，正确的是（）

A.向心加速度是由向心力产生的

B.向心加速度的方向与向心力方向相同

C.向心加速度与速度方向相同

D.向心加速度是矢量

9.匀速圆周运动是（）

A.匀速率运动B.匀变速运动

C.匀加速运动D.变加速运动

10.质量为M的汽车，以速度v通过半径为R的凸形桥的顶端时，它对桥面的压力为

（）

A.M（g+

）B.M（g-

）C.M（

-g）D.Mg

11.火车转弯处的外轨略高于内轨，如火车以超出事先规定的车速行驶时，则提供向心力的外力是哪几个（）

A.外轨对轮的侧向压力B.内、外轨对轮的侧向压力

C.内、外轨对轮的支持力D.火车所受的重力

12.洗衣机的甩干筒在转动时有一衣物质附在筒壁上，则此时（）

A.衣物受到重力、筒壁的弹力和摩擦力的作用

B.衣物随筒壁做圆周运动的向心力是由于摩擦的作用

C.筒壁的弹力随筒的转速增大而增大

D.筒壁对衣物的摩擦力随转速增大而增大

13.如图3-59所示，球A和B可在光滑杆上无摩擦的滑动，两球间用一细绳边接，球

A的质量是球B的2倍，当仪器以匀角速度转动地，两球离转轴的距离保持不变，则（）

A.球A与B所需的向心力分别是绳对它们的拉力

B.球A所需向心力大于球B所需的向心力

C.球A离转轴的距离是球B离转轴的一半

D.

当角速度增加时，球A将向外滑动

图3-59图3-60

14.如图3-60所示，一个光滑的圆环M，穿着一个小环N。

圆环M以竖直方向AOB

轴为转轴做匀速转动，则（）

A.环N所受到的力是N的重力及M对N的支持力

B.环N所受的力是N的重力及N对M的压力

C.环N的向心力方向是指向大环圆心的

D.环N的向心力方向是垂直指向转轴的

15.图3-61中，小球m用长为L的悬绳固定于O点，在O点竖直下方

L处有一钉子，

把小球拉至水平后无初速地释放，到达竖直位置时悬绳碰到钉子，则此时（）

A.小球速度突然加快

B.小球的向心加速度突然增加

C.悬绳的张力突然增加

D.小球的运动和受力没有什么改变

图3-61

二、填空题

16.线速度与角速度是从不同角度描述做匀速圆周运动的物理量。

角速度的

单位是。

17.运动物体所转的叫频率，它与周期的关系是互为。

18.线速度、角速度、周期三个物理量中，和总成批比关系且与圆半径无关。

19.做匀速圆周运动的物体，一定受到与运动方向的向心力的作用，而在

上一定不受力。

20.做匀速圆周运动的物体，若线速度为3m/s，角速度为4弧度/秒，则向心加速度为

m/s2。

21.手表秒针的转动角速度ω=弧度/秒。

如果秒针长为1cm，则秒针端点的向心加速度a=m/s2。

22.火车转弯时，若内外轨一样高，提供向心力的外力是轨对车轮的。

如外轨略高于内轨且火车按事先规定的车速行驶时，提供向心力的是轨对火车的和火车重力的。

23.“水流星”杯子运动到竖直面最高点时，水做圆周运动所需的向心力是由对

施加的压力和所受的重力的合力提供。

24.如图3-62所示，圆环以直径AB为轴匀速转动，环上P、Q两点线速度大小之比为

；

若环半径为20cm，转动周期为0.01s，则Q点向心加速度为。

图3-62

25.汽车在水平路口拐弯的圆弧半径为R，速度超过v就要出现侧滑现象；现若拐弯半径减小一半，使汽车不产生侧滑的最大速度为。

三、计算题

26.一冲击摆装置中沙箱质量为M，细绳长为L，其最大承受力为沙箱重量的K倍，质

量为m的弹丸以某速度水平击中沙箱并留于其内，此时细绳恰好断裂，试求弹丸入射的初速度。

27.在一个匀速转动的圆盘上，已知边缘上一点A的线速度为vA，沿半径方向距边缘为L的一点B的线速度为vB。

试求圆盘的转速和A、B两点的向心加速度。

28.如图3-63所示，杆长为L，杆的一端固定一质量为m的小球，球绕杆的另一端O在竖直平面内做圆周运动，试求：

（1）小球在最高点的速度多大时才能使杆对小球的作用力为零？

（2）小球在最高点时杆对小球的作用力为拉力和支持力时，小球的速度分别为多大？

（3）若m=0.5kg，L=0.5m，小球以v0=0.4m/s的速度绕O点转，在A、B两点时杆受

的力多大？

分别受的什么力？

（取g=10m/s2）

图3-63图3-64

29.如图3-64所示，一根轻质的均匀硬棒的中点和右端各固定一个质量相同的小球A和B，左端为转轴O，将它们绕O做匀速圆周运动（在水平面上）。

设硬棒OA段对球A的拉力为FA，AB段对球B的拉力为FB，试问两拉力之比FA/FB为多大？

参考答案

一、选择题

1.D；2.A、B、D；3.B、C、D；4.B、C；5.A、D6.C；7.D；8.A、B、D；

9.A、D；10.B；11.A、C、D；12.A、C；13.A、C；14.A、D；15.B、C；

二、填空题

16.快慢；弧度/秒；17.每秒；圈数；倒数；18.角速度；周期；19.相垂直；

运动方向20.12；21.

；1.1×10-4；22.外；压力；内外；支持；合力；23.杯底；水；水；24.

:

1；25.4000π2m/s

三、计算题

26.v0=

；27.n=

；aA=

；aB=

；28.

（1）

；

（2）v>

时拉力；v<

时支持力；（3）拉力；5.16N（B点）；压力；4.84N（A点）；29.3:

2