定积分练习题.docx
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定积分练习题
定积分练习题
1
bkdx,k（b,a）.,a1．按定积分定义证明：
,,i2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：
n1113322xxdx;提示:
i,n（n，1）edx;,,,0
（1）
（2）04,i1
bbdxxedx;（0）.（:
）,,,abxx提示取,,1iii2,,a（3）（4）ax
1．计算下列定积分：
2211e1,xdxdx（2x，3）dx2,,0,0
（1）；
（2）；（3）；e1，xxlnx
x,x911,ee23（x，）dx;tanxdxdx,,0,（4）；（5）（6）402x
4e1dx2;（lnx）dx1,0,（7）（8）x1x，e
2．利用定积分求极限：
133（1，2，？
，n）;lim4
（1）nn,,
，，111？
;n，，，,,lim222
（2）
（1）
（2）（）n，n，n，nn,,，，
111n（，，？
，）;lim222（3）nnn，1（，2）2n,,
n1,2,,1（sinsin？
sin），，，lim（4）nnnnn,,
3．证明：
若f在[a,b]上可积，F在[a,b]上连续，且除有限个点外有F'
f（x）,则有（x）=
bfxdxFbFa（）（）（）.,,,a
',,',,,,.1．证明：
若Tˊ是T增加若干个分点后所得的分割，则,,iiiiTT'
,,,,,2．证明：
若f在[a,b]上可积，a,,,a,b,则f在a,,上也可积.3.设f?
g均为定义在[a,b]上的有界函数。
证明：
若仅在[a,b]中有限个点处，，，，f,,g,,则当f在[a,b]上可积时，g在[a,b]上也可积，且bb，，，，f,d,,g,d,.,,aa
,a,,,a,b,a,c.3．设f在[a,b]上有界，证明：
在[a,b]上只有nnlim,,n
，，an,1,2,？
为其间断点，则f在[a,b]上可积。
n
4．证明：
若f在区间上有界，则,
ffff,,,,,,,'".。
，，，，，，，，supsupinf",,,,,,',,,,,
?
1.证明:
若f与g都在[a,b]上可积,则
nbf,（）g,（）,x,f（x）g（x）dx,,iiilim,aT,0i,1
,,其中是T所属小区间?
中的任意两点,i=1,2„,n.iii
2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小:
,11222xdx与xdx;
（1）
（2）xdx与sinxdx.,,,,0000
3.证明下列不等式:
1,,dx2x21,,edxe
（1）,,;
（2）;,,0022121sin,x2
4esinxdx,lnx21dx,,36.edx,,（4）（3）,,e0x2;x
b24.设f在[a,b]上连续,且f（x）不恒等于零,证明fxdx,0.，，，，,a
5.设f与g都在[a,b]上可积,证明
,,,M（x）,f（x）,g（x）,m（x）,f（x）,g（x）maxminx,,,a,b,,x,a,b
在[a,b]上也都可积.
6.试求心形线上各点极径的平均值.r,a（1，cos,）,0,,,2,
17.设f在[a,b]上可积,且在[a,b]上满足证明在[a,b]上也f（x）,m,0.f可积.
8.进一步证明积分第一中值定理（包括定理9.7和定理9.8）中的中值点ξ?
（a,b）.
9.证明:
若f与g都在[a,b]上可积,且g（x）在[a,b]上不变号,M、m分别为f（x）
在[a,b]上的上、下确界,则必存在某实数μ（m?
μ?
M）,使得
bbf（x）g（x）dx,,g（x）dx.,,aa
bbf（x）dx,xf（x）dx,0,10.证明:
若f在[a,b]上连续,且则在（a,b）内至少,,aa
bxf（x）dx,0,存在两点x,x,使f（x）=f（x）=0.又若这时f在（a,b）内是否至12122,a
少有三个零点?
"f（x）>011.设f在[a,b]上二阶可导,且.证明:
bab1，,,ff（x）dx;,,f（x）,0,x,a,b,
（1）
（2）又若则又有,,,,a2ba,,,
b2,,f（x）,f（x）dx,x,a,b.,ab,a
12.证明:
111，，？
，112n,1.
（1）ln
（1）11ln;，,，，，,，nn
（2）limnln2nn,,
习题
1．设f为连续函数，u、v均为可导函数，且可实行复合f?
u与f?
v证明：
v（x）df（t）dt,f（v（x））v'（x）,f（u（x））u'（x）.,u（x）dx
x2．设f在[a,b]上连续，F（x）,f（t）（x,t）dt.证明F”（x）,f（x）,x,[a,b].,a
3．求下列极限：
x2t2（）edtx1,20.
（1）costdt;
（2）limlimx,20tx2x,,x,0edt,04．计算下列定积分：
1252
（1）
（2）4,xdx;（3）cosxsin2xdx;,,00
a222xa,xdx（a,0）;,0
11dxdx;（4）（5）（6）;23/2,x,x0,0（xx1）,，e，e,cosx2dx;2,01，sinx
1x2arcsinxdx;（7）（8）（9）esinxdx;,,00elnxdx;1,e
a1ax,x2xdx（a,0）;edx;（10）（11）（12）,,00ax，,cos,2d,.,0，sin,cos,
5.设f在[-a,a]上可积。
证明：
af（x）dx,0;
（1）若f为奇函数，则,,a
aaf（x）dx,2f（x）dx.
（2）若f为偶函数，则,,,0a
6．设f为（-?
，+?
）上以p为周期的连续周期函数。
证明对任何实数a，
恒有
ap，paf（x）dx,f（x）dx.,,a7．设f为连续函数。
证明：
,
22
（1）f（sinx）dx,f（cosx）dx;,,00
,,
（2）xf（sinx）dx,f（sinx）dx.,,002
mn28．设J（m,n）为正整数）。
证明：
sinxcosxdx（m,n,0
n,1m,1J（m,n）,J（m,n,2）,J（m,2,n）,m，nm，n
并求J（2m,2n）.
9．证明：
若在（0，?
）上f为连续函数，且对任何a＞0有
axg（x）,f（t）dt,常数，x,（0,，,）,,x
c则为常数。
f（x）,,x,（0,，,）,cx
10．设f为连续可微函数，试求
xd（x,t）f'（t）dt,,adx
xd并用此结果求（x,t）sintdt.,0dx
11．设y,f（x）为[a,b]上严格增的连续曲线
（图
9-12）。
试证存在ξ?
（a,b），使图中两阴影部分
面积
相等。
12．设f为[0，2π]上的单调递减函数。
证明：
对
任何正整数n恒有
2,f（x）sinnxdx,0.,0
13．证明：
当x＞时有不等式
x，c12sintdt,（c,0）.,xx
14．证明：
若f在[a,b]上可积，
,,在,,,上单调且连续可微,,（,）,a,,（,）,b,则有
b,,f（x）dx,f（,（t））,（t）dt.,,a,
※,,,,a,b,15.证明：
若在[a,b]上f为连续可微的单调函数，则存在使得
b,bf（x）g（x）dx,g（a）f（x）dx，g（b）f（x）dx.,,,aa,
（提示：
与定理9.11及其推论相比较,这里的条件要强得多,因此可望有
一个比较简单的,不同于9.11的证明.）
1.证明性质2中关于下和的不等式（3）.
2.证明性质6中关于下和的极限式.lims（T）,St,0
x,x为有理数.,3.设f（x）,,0,x为无理数.,
试求在[0,1]上的上积分和下积分;并由此判断在[0,1]上是否可积.ff
4.设在[a,b]上可积,且上是否可积?
为什么?
f,,f（x）,0,xa,b.试问f在[a,b]5.证明:
定理9.14中的可积第二充要条件等价于“任给
,,,,,,xs（t）s（T）,都有.,,0,存在,,0,对于一切满足T,,的T,iiT
6.据理回答:
（1）何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质?
（2）何种连续函数具有“所有下和（或上和）都相等”的性质？
（3）对于可积函数，若“所有下和（或上和）都相等”，是否仍有
（2）的结论？
7．本题的最终目的是要证明：
若f在[a,b]上可积，则f在[a,b]内必定有无限
多个处处稠密的连续点，这可用区间套方法按以下顺序逐一证明：
（1）若T是[a,b]的一个分割，使得S（T）s（T）f,,使,1.,小区间ii
I,[a,b],（a,b）,
（2）存在区间使得111
f,（I）,supf（x）,inff（x）,1.1x,I1x,I1
I,[a,b],（a,b）,（3）存在区间使得22211
1f,（I）,supf（x）,inff（x）,.2x,I22x,I2
I,[a,b],（a,b）,（4）继续以上方法，求出一区间序列nnnn,1n,1
1f,（I）,supf（x）,inff（x）,.nx,Innx,In
,Ix,I,n,1,2,？
;为一区间套，从而存在而且在点x连续。
说明f0n0n
（5）上面求得的的连续点在[a,b]内处处稠密。
f
,1．证明：
若在[0，a]上连续，二阶可导，且，则有ff（x）,0,
xa11f（,（t））dt,f（,（t）dt）.,,00aa
2.证明下列命题：
（1）若在[a,b]上连续增，f
x1,f（t）dt,x,[a,b],,a,F（x）x,a,
,f（a）,xa,,
则F为[a,b]上的增函数。
（2）若f在[0,，,]上连续，且f（x）>0，则
xx,（x）,tf（t）dt/f（t）dt,,00
为（0,，,）上的严格增函数，如果要使在[0,，,]上为严格增，试问应补充定义,,
（0）=？
3、设f[0,，,]在上连续，且证明limf（x）,Ax,，,
x1limf（t）dt,A,0x,，,x
4．设f是定义的（,,,，,）上的一个连续周期函数，周期为p证明
xp11limf（t）dt,f（t）dt,,00x,，,xp
5．证明：
连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中
只有一个是奇函数。
f6．证明施瓦茨（Schwarz）不等式：
若和g在[a,b]上可积，则
2bbb22,,f（x）g（x）dx,f（x）dx,g（x）dx.,,,,,aaa,,
7．利用施瓦茨不等式证明：
在[a,b]上可积，则
（1）若f
2bb2,,f（x）dx,（b,a）f（x）dx,,,,aa,,
（2）若在[a,b]上可积，且（x）>m>0，则ff
bb12f（x）dx,dx,（b,a）,,aaf（x）
（3）若、g都在[a,b]上可积，则有闵可夫斯基（Minkowski）不等式：
f
111bbb222222，，，，，，（f（x），g（x））dx,f（x）dx，g（x）dx,,,,,,,,,aaa，，，，，，
8．证明：
若在[a,b]上连续，且（x）>0，则ff
bb11,,,lnf（x）dxlnf（x）dx,,,,aa,,baba,,
9．设f为（0,，,）上的连续减函数，f（x）>0；又设
nna,f（k）,f（x）dx.n,l,k,1
,a证明为收敛数列。
n
bf（x）dx,010．证明：
若f在[a,b]上可积，且个个有f（x）>0，则，（提,
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