第2讲二次函数的基本解析式与图象变换答案版.docx
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第2讲二次函数的基本解析式与图象变换答案版
二次函数的基本解析式与图象变换
2
函数12级
二次函数图象
及基本性质
函数14级
二次函数
实际应用
函数13级
二次函数的基本解
析式与图象变换
暑期班第三讲
暑期班第二讲
暑期班第一讲
大转变
中考内容
中考要求
A
B
C
二次函数
了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象
能通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综合的有关问题
二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。
这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。
年份
2010年
2011年
2012年
题号
24
7，8，23
8，23
分值
8分
11分
11分
考点
确定抛物线的解析式，二次函数与等腰直角三角形综合
抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）
函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围
三种形式解析式
一般式
（
，
，
为常数，
）
顶点式
（
，
，
为常数，
）
两根式
（
，
，
是抛物线与
轴两交点的横坐标）
【例1】⑴已知二次函数过点
，
，
．求此二次函数的解析式．
⑵二次函数
的图象如图所示，其顶点坐标为
，求二次函数
的解析式．
（2013丰台一模）
⑶已知：
抛物线
与
轴交于点
、
，与
轴交于点
，
求抛物线的解析式．
（2013朝阳期末）
1【解析】⑴二次函数的图象经过三点，可设其解析式为一般式．
设二次函数的解析式为：
，
∵函数图象经过
，
，
三点，
∴
，解此方程组得：
，
∴二次函数的解析式为：
．
⑵∵顶点坐标是
因此，设抛物线的解析式为：
由
可知
；
∴抛物线的解析式为：
．
⑶依题意，设抛物线的解析式为
．
∵抛物线与
轴交于点
，
∴
．
解得
．
∴抛物线的解析式为
，即
．
4【点评】1．已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2．已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3．已知抛物线与
轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式．
【例2】⑴已知抛物线
上有不同的两点
和
，求此抛物线的解析式．（2013丰台期末）
⑵当
时，二次函数的最大值为
，且在x轴上截得的线段AB的长为6，求二
次函数的解析式.（2013昌平期末）
⑶抛物线
经过点
，顶点
在直线
上，.求抛物线
的解析式．（上海徐汇区模拟）
1【解析】⑴点E和F关于抛物线对称轴对称
∴对称轴
又∵
∴
∴ 抛物线的解析式为
⑵∵抛物线的顶点坐标为
，
∴抛物线的对称轴为直线
.
∵抛物线在x轴上截得的线段AB的长为6，
∴
，
．
设抛物线解析式为
，
∴
.
解得，
.
∴二次函数的解析式为
.
⑶已知抛物线
经过点
∴
，
∴对称轴为
，
∴顶点的横坐标为2，代入
中可得
，
设抛物线解析式为
，
将
代入可得，
，
∴二次函数的解析式为
.
一、二次函数图象的平移
二次函数图象的平移
平移规律：
二次函数
的图象向上（或下）平移
个单位得到
（或
）；二次函数
的图象向左（或右）平移
个单位得到
（或
）.简称“左加右减，上加下减”．
【例3】⑴将抛物线
的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（）
A．
B．
C．
D．
（2012东城期中）
⑵将抛物线
经过怎样的平移可得到抛物线
（）
A．先向左平移2个单位，再向上平移5个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移5个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移5个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移5个单位
（2013海淀期末）
3在平面直角坐标系中，将抛物线
向上（下）或向左（右）平移了
个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则
的最小值为（）
A．1 B．2 C．3 D．6
（2012陕西省）
2【解析】⑴B；⑵C；⑶B
【例4】⑴坐标平面上，移动二次函数
的图形，使其与x轴交于两点，
且此两点的距离为1个单位，则移动方式可为下列哪一种（）（2010台湾）A.向上移动3个单位B.向下移动3个单位
C.向上移动6个单位D.向下移动6个单位
⑵二次函数
的最小值是（）
A.1985B.2013C.2003D.2010
⑶如图所示，已知抛物线C0的解析式为
，则抛物线C0的顶点坐标；将抛物线C0每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线C1、C2、C3、…、Cn（n为正整数），则抛物线Cn的解析式为．（2012邵阳）
2【解析】⑴D⑵A
⑶
，
【例5】如图，在平面直角坐标系
中，抛物线
的顶点为
，且过点
．
⑴写出抛物线
与
轴的另一个交点
的坐标；
⑵将抛物线
向右平移3个单位、再向上平移
个单位得抛物线
，求抛物线
的解析式；
⑶直接写出阴影部分的面积
．（2012广安）
3【解析】⑴
；
⑵
．
⑶易得
，
则
；
抛物线的对称性和平移的性质可知
．
二、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称
1．关于
轴对称
关于
轴对称后，得到的解析式是
；
关于
轴对称后，得到的解析式是
；
2．关于
轴对称
关于
轴对称后，得到的解析式是
；
关于
轴对称后，得到的解析式是
；
3．关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是
；
关于原点对称后，得到的解析式是
；
4．关于顶点对称
※学生版不给
关于顶点对称后，得到的解析式是
；
关于顶点对称后，得到的解析式是
．
5．关于点
对称
※学生版不给
关于点
对称后，得到的解析式是
．
【例6】⑴抛物线
：
与抛物线
关于
轴对称，则抛物线
的解析式为（）
A．
B．
C．
D．
（东城期末）
⑵在平面直角坐标系中，先将抛物线
关于
轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于
轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）
A．
B．
C．
D．
（2013年山东宁阳一模）
⑶将抛物线
绕原点
旋转
，则旋转后的抛物线的解析式为（）
A．
B．
C．
D．
（密云期末）
4【解析】⑴D；⑵C；⑶C．
【例7】如图，经过点A（0，
）的抛物线
与x轴相交于点B（
，0）和C，O为坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线
向上平移
个单位长度、再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在
内，求m的取值范围．
（2012南通）
3【解析】将A（0，
）、B（
，0）代入抛物线
中，
得：
，
，
解得：
，
∴抛物线的解析式：
．
（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：
，
即：
；
它的顶点坐标P：
（
，
）；
由
（1）的抛物线解析式可得：
C（4，0）；
那么直线AB：
；直线AC：
；
当点P在直线AB上时，
，解得：
；
当点P在直线AC上时，
，解得：
；
∴当点P在△ABC内时，
；
又∵m＞0，
∴符合条件的m的取值范围：
0＜m＜
．
二次函数
的图象沿
轴向左平移
个单位，再沿
轴向上平移
个单位，得到
的图象的函数解析式为
，则
与
分别等于．
相当于将
向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到
【解析】
，
．
把二次函数
的图象经过翻折、平移得到二次函数
的图象，下列对
此过程描述正确的是（）
A．先沿
轴翻折，再向下平移
个单位B．先沿
轴翻折，再向左平移
个单位
C．先沿
轴翻折，再向左平移
个单位D．先沿
轴翻折，再向右平移
个单位
（通州期末）
弄错变换规律．
【解析】D．
建议：
易错点内容只是给出范例，对于不同学生易错点不同，教师可根据班级错误情况自行总结．
第02讲精讲：
二次函数平移问题探究
【变式1】
向右平移1个单位，再向上平移3个单位所得到的函数图象解
析式为.
【解析】
.
【变式2】怎样平移
：
的图象，可以得到
：
？
【解析】
的解析式为
∴
的顶点坐标为
的解析式为
∴
的顶点坐标为
将二次函数
图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，
就可得到二次函数
的图象.
【变式3】已知：
抛物线
与
轴交于点
，
顶点是点
，过点
作
轴于点
．平移
该抛物线，使其经过
两点．求平移后抛物
线的解析式及其与
轴另一交点
的坐标；
【解析】∵
；
∴
，
，
；
设平移后的抛物线解析式为
；
将
代入可得
；
∴平移后的抛物线解析式为
.
【变式4】抛物线
的顶点为
，作
轴
交抛物线
于点
，如图所示，求
阴影部分面积.
【解析】连接
，易得
.
【变式5】将变式4中的抛物线
向右平移-1）
个单位后，所得的抛
物线恰好经过
点．
【解析】
【变式6】在变式4的基础上，设点
是直线
上的一个点，如果
，
求出点
的坐标．
【解析】易得直线
解析式为
；
∵
是直线
上的一个点，且
，
①作
轴，交直线于
点
；
∴
，
，
∴点
的横坐标为3，代入
可得
∴点
；
②由①可得
，设
；
即
∴
，
；
∴点
、
.
【变式7】抛物线F：
的顶点为P，与y轴交于
点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，
平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：
，抛物线F′与x轴的另一个交点为
C．若a、b、c满足了
，探究四边形OABC
的形状，并说明理由．
（2009年大连、2012年海淀一模）
【解析】抛物线
，令
=0，
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