任意角三角函数.docx

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任意角三角函数

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任意角的三角函数（第一课时）

　　一.教学目标设计

　　1、认知目标:

（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；

（2）会作单位圆中的三角函数线；初步领会三角函数的定义域、值域、三角函数值的符号；

　　（3）会根据任意角的三角函数的定义求特殊角的三角函数值；

　　（4）加深对函数一般概念的理解。

　　2、能力目标:

　　在学生原有知识的基础上，通过启发、引导学生发现和得出任意角的三角函数的定义及几何表示，培养学生观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力。

　　3、情感目标:

（1）通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；

（2）在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神；

　　（3）以科学史激励学生，培养学生追求真理的精神。

　　二.教学内容及重点、难点及关键的分析

　　教学重点任意角的正弦、余弦、正切的定义

　　教学难点理解任意角的正弦、余弦、正切的定义及单位圆中三角函数的概念。

　　教学关键抓住初中所学的三角函数的定义方法，与新问题形成知识冲突，激发学生学习的兴趣；直观地展示知识的形成过程。

　　三.教学对象分析

　　该班学生的数学基础一般，思维水平有明显差异，一些学生活泼好动，一些学生又比较好静，但大部分学生能在老师的启发帮助下，完成学习任务。

　　四.教学策略及教法设计

　　教学的主要策略是：

以惑激学、以景激情、师生共同探讨。

这样既能尊重学生的主体地位，又能充分发挥教师的主导作用，让学生亲历数学发现过程，能调动学生学习的积极性与主动性。

通过对旧知的复习及科学史的学习，使其明确学习三角函数的目的。

同时，通过几何画板创建情景，从认知冲突入手，引起学生学习兴趣，激发其求知欲，点燃其思维火花。

　　五.教学媒体设计

　　学生知识的获得靠自身主动建构，不是任何外来因素强加的。

媒体的作用是有助于学生获取知识，它应为突破重、难点服务，它应使用在不利学生掌握的知识点上。

本节课主要是应用几何画板的动态演示功能，力求让学生的知识和能力与时俱进。

　　　六.教学过程设计与分析

　　学习过程1

　　【师引导】前面我们学习了角的概念的推广和弧度制，今天我们在这些知识的基础上一起来学习任意角的三角函数。

我们在初中已学习了锐角三角函数，下面先复习锐角三角函数的有关知识。

　　（学习过程1分析）

　　课题的引入，尊重学生的知识水平，坚持面向全体学生。

　　复习：

1是让学生结合图形，回忆初中所学锐角三角函数的定义；2是学生通过对课件1的操作，利用第二章所学函数的一般概念来认识锐角三角函数，进一步体会函数的本质--"对应"。

从而使学生拥有较统一的预备知识。

　　请大家打开【课件1】，按照提示进行操作，仔细观察发生的现象，然后回答相关问题。

　　【学生动手操作、观察思考，教师适当帮助】

　　当∠A变化时，三个比值也随着变化；当∠A一定时，不论RtΔABC的大小如何变化，三个比值

、

、

是不变的。

因此，锐角三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数

　　课件1分析：

学生通过对课件1的操作，利用第二章所学函数的一般概念来认识锐角三角函数：

锐角三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数，同时体会函数的本质--"对应"，让学生对即将要学习的任意角的三角函数有一个本质的认识。

　　学习过程2

　　【教师提出问题】随着角的概念的推广，锐角已推广到了任意角，对任意角的三角函数是如何研究？

学习任意角的三角函数有何意义？

　　【学生查找资料】请大家浏览资料---《三角学的发展简史》，利用5分钟的时间快速阅读，并回答：

（1）三角学研究的对象是什么？

（2）是谁首先研究了三角函数？

它是用什么方法来研究的？

　　【教师启发并进行适当帮助】前面我们在学习角的概念的推广时，强调了我们以后常在直角坐标系中来研究角。

　　大家思考：

（1）在直角坐标系中研究角的做法是_____________________________________

（2）若在坐标系中来研究锐角，则锐角三角函数的定义会发生什么变化？

　　（学习过程2的分析）

　　教师利用三角学的发展简史创设情景，调动学生学习的兴趣。

同时通过三角学的发展简史，让学生明白为什么要学三角函数？

怎样学？

从而把握三角学的本质。

同时，古今中外的数学家的不懈努力，谱写了三角发展史。

数学家们的人格魅力将深深地影响学生。

特别地，我国数学家的聪明才智和他们的杰出贡献，又能培养学生的民族自豪感和爱国主义精神，从而树立自信心。

　　学习过程3

　　根据在直角坐标系中研究角的做法，把锐角的顶点与坐标原点重合，锐角的始边与x轴的非负半轴重合。

要得到锐角三角函数值，则要构造直角三角形，如图，在角α的终边上取一点P，过点P作x轴的垂线PM，则有

　　【学生动手操作并思考】

（1）角α的正弦、余弦、正切值是否随点P在角α的终边上的位置的改变而改变？

（2）直角三角形的边MP、OM、OP的长度与点P的坐标之间有什么关系？

　　（3）设点P的坐标是（x,y）,点P到原点O的距离是r（

）,

　　则用含x、y、r的式子表示角α的正弦、余弦、正切值分别是：

sinα=_________，cosα=_______，tanα=____________。

　　（4）在以上

（1）、

（2）（3）的基础上，试着用坐标给出锐角三角函数的定义。

　　（学习过程3的分析）

　　通过一系列问题的设计，引导学生发现锐角三角函数的定义。

媒介从直角三角形改为平面直角坐标系后，锐角三角函数的定义可以用角的终边上的点的坐标来表示，从而得出锐角三角函数的坐标定义。

　　学习过程4类比验证

　　【教师启发学生形成锐角三角函数坐标定义】

　　锐角三角函数的坐标定义：

　　把锐角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，在其终边上任取一点P（x,y），设点P到原点的距离为r（

），则

，

这种用坐标定义锐角三角函数的方法---叫"坐标法"。

　　【学生比较两种定义，教师适当帮助】初中学习的锐角三角函数是用直角三角形的边的比值来定义，受直角三角形的约束，不能类似地定义钝角及任意角的三角函数。

坐标法是用角终边上的点的坐标来刻划的锐角三角函数，不受直角三角形的约束，那么任意角的三角函数是否可类似地用坐标来定义？

　　（学习过程4的分析）

　　在前面的知识的基础上进行类比，为新授内容作铺垫

　　【学生操作课件2】

　　打开【课件2】观察任意角α的终边分别位于不同位置时，三个比值的变化情况。

（注意：

仔细观察这个课件的演示情况，对我们以后的学习将有很大的帮助。

）

　　【教师总结课件2】

　　随着α的终边在轴上及各象限内变化，三个比值也随着变化；且对于任何一个确定的角，每一个比值都是唯一确定的（终边在y轴上时，y/x除外），根据函数的定义，它们实际上构成了以角为自变量、以比值为函数值的函数。

我们把它们分别叫做任意角的正弦、余弦、正切函数。

课件2的分析：

　　随着α的终边在轴上及各象限内的变化，利用几何画板的动态演示和度量功能，展示三个比值的变化情况。

学生通过对课件2的操作，将新授的抽象内容形象化，有利于学生准确理解和掌握新知识；它也能为以后学习（三角函数的定义域、值域、三角函数值的符号、单调性、奇偶性、对称性、周期性）作铺垫。

　　学习过程5

　　【教师启发学生形成任意角三角函数定义】实际上欧拉就是用这种方法来定义任意角的三角函数的。

任意角的三角函数的定义：

　　设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是（x,y）,点P到原点的距离为r（

），

　　那么sinα=

，cosα=

tanα=

，

　　比值

、

、

分别叫做α的正弦、余弦、正切。

　　学习过程5分析：

　　通过类比和课件2的操作，在锐角三角函数的基础上得出任意角的三角函数的定义，反映从特殊到一般的数学归纳思维形式。

　　学习过程6课堂举例

　　例题：

已知角α的终边经过点P（-3,4），分别求出α的正弦、余弦、正切值。

　　【教师引导学生分析】利用三角函数的定义解决本例，主要是先求出OP的长度r，再利用三种函数的定义得出所求。

　　解：

，

　　（学习过程6的分析）及时巩固，并要求学生规范书写，及时进行知识的内化，培养学生严谨治学的习惯。

　　学习过程7

　　几何表示【教师引导】角α的三种三角函数值与点P的位置无关，只与角α的终边在坐标系中的位置有关。

对于确定的角α若r=1,则sinα=

=y，此时P点在什么位置？

（点P在以原点为原心，半径为1个单位长度的圆上，称这个圆叫单位圆）

　　如图：

角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M。

则sinα=

=y,显然线段MP的长度为|y|,这就是说，sinα的值与线段MP有一定的关系。

到底有怎样的关系？

　　（学习过程7的分析）

　　从特殊情况入手，引导学生观察，通过分析，发现问题，激发学生探求解决问题的途径和方法。

让学生亲历知识的形成过程，培养学生良好的数学意识。

师生共同探讨，在轻松的环境中相互影响，符合素质教育的思想。

让学生自已探求cosa、tana的几何表示反映了学贵思，思则变。

如果学生能自已解决的问题，教师再包办的话，实属本末倒置，因为学生的能力是在学习实践活动中逐步培养起来。

　　【学生操作课件3】，进入课件3进行观察。

　　【操作课件3后，形成结论】设任意角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x,y），过点P作x轴的垂线，垂足为M，则规定了起点与终点的有向线段MP的值就是sinα.我们把与单位圆有关的有向线段MP称之为角α的正弦线。

这就是角α的正弦值的几何表示。

　　思考：

如何用与单位圆有关的有向线段这一几何形式来表示cosα？

　　【学生再操作课件3】打开课件3再次观察

　　课件3分析：

把线段MP看作是有方向的线段，学生一时难以接受，但又有其科学性（合理性）。

通过直观操作，让学生明白知识的形成过程中有时需要创新，不能总局限于常规。

课件操作过程中，发生了新旧知识间的冲突，通过加强引导，启发学生思考，对提升学生创新意识大有益处。

　　对课件3的两次操作：

前次操作注重引导学生创新，后者注重学生学习知识的触类旁通。

　　【学生操作课件4】

　　思考：

如何用与单位圆有关的有向线段这一几何形式来表示tanα?

　　【师生共同总结】

　　有向线段0M叫做角α的余弦线，这就是角α的余弦值的几何表示。

　　有向线段AT叫做角α的正切线，这就是角α的正切值的几何表示。

　　（课件4的分析）

　　分别用不同的颜色表示三种三角函数线，进行演示。

让学生体会如何用几何方法表示角α的三角函数值。

观察并发现特殊情况。

　　学习过程8练习

　　1、已知角α的终边经过点P（6,-8），分别求出角α的正弦、余弦、正切值。

　　2、分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:

（1）

（2）

（3）

（4）

　　3、用三角函数的定义分别求出下列各角的正弦、余弦、正切值:

（1）0°2）60°3）90°（4）120°（5）-45°

　　学习过程8的分析：

及时的巩固，才能真正地掌握所学的知识。

习题的选取应有利于巩固所学知识，又有利于学习能力的提高。

　　学习过程9

　　【小结与作业】这堂课我们主要学习了任意角α的正弦、余弦、正切函数的定义，以及它们的几何表示。

请同学们课后回忆一下，这两部分知识是如何形成的。

　　作业：

课本P19页的第1题；P20页的第1、2题。

　　七.板书设计

　　1、角三角函数的定义--RtΔABC中，　　　　　　　　　

　　sinA=

、cosA=

、tanA=

　　2、任意角的三角函数的定义--坐标法将角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α的终边上任取一点P（x,y）,设|OP|=r（

），

　　那么sinα=

，cosα=

tanα=

，比值

、

、

分

　　别叫做α的正弦、余弦、正切。

　　3、单位圆中的三角函数线

　　有向线段MP称之为角α的正弦线，

　　有向线段OM称作角α的余弦线，

　　有向线段AT，称之为角α的正切线。

　　八.练习设计

　　1、已知角α的终边经过点P（6,-8），分别求出角α的正弦、余弦、正切值。

　　2、分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:

（1）

（2）

（3）

（4）

　　3、用三角函数的定义分别求出下列各角的正弦、余弦、正切值:

（1）0°2）60°（3）90°（4）120°；（5）-45°

　　九.《任意角的三角函数》教学结构流程图