H
命题方向1 ⇨集合的基本概念
典题1下列各组对象：
①某个班级中年龄较小的男同学；②联合国安理会常任理事国；③2016年里约热内卢奥运会的所有比赛项目；④
的所有近似值．
其中能够组成集合的是__②③__.
[思路分析] 结合集合中元素的特性分析各组对象是否满足确定性和互异性，进而判断能否组成集合．
[解析] ①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合．
②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合．填②③.
『规律方法』 1.判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．
2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．
〔跟踪练习1〕
下列每组对象能否构成一个集合：
（1）我国的小城市；
（2）某校2016年在校的所有高个子同学；
（3）不超过20的非负数；
（4）方程x2－9＝0在实数范围内的解；
（5）直角坐标平面内第一象限的一些点．
[解析]
（1）“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合．
（2）与
（1）类似，也不能构成集合．（3）任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．（4）类似于（3），也能构成集合．（5）“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．
命题方向2 ⇨元素和集合的关系
典题2已知N是自然数集，给出下列命题：
①N中最小的元素是1；
②若a∈N，则－a∉N；
③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2.
其中所有正确命题的个数是（ A ）
A．0 B．1 C．2 D．3
[思路分析] 解题的关键是理解自然数集N的意义和集合与元素间的关系．
[解析] 自然数集中最小的元素是0，故①③不正确；对于②，若a∈N，即a是自然数，当a＝0时，－a仍为自然数，所以②也不正确．故选A．
『规律方法』 1.对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集，在数学上分别用N＋，N，Z，Q，R来表示，这些符号是我们学习高中数学的基础，它大大简化了数集的表示方法，应当熟练掌握．
2．判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．
〔跟踪练习2〕
（1）给出下列几个关系式：
∈R；0.3∈Q；0∈N；0∈{0}；0∈N＋；
∈N＋；－π∈Z；－5∈Z.其中正确的关系式的个数是（ B ）
A．4 B．5 C．6 D．7
[解析] 运用常用数集的概念可作出判断：
∈R，0.3∈Q,0∈N,0∈{0}，－5∈Z正确．其余均错误，故选B．
（2）已知集合M＝{大于－2且小于1的实数}，则下列关系式正确的是（ D ）
A．
∈M B．0∉M C．1∈M D．－
∈M
[解析]
>1，故
∉M，A选项错；－2<0<1，故0∈M，B选项错；显然1不小于本身，故C错；－2<－
<1，故D正确．
命题方向3 ⇨用列举法表示集合
典题3用列举法表示下列集合：
（1）36与60的公约数组成的集合；
（2）方程（x－4）2（x－2）＝0的根组成的集合；
（3）一次函数y＝x－1与y＝－
x＋
的图象的交点组成的集合．
[思路分析]
（1）
（2）可直接求出相应元素，然后用列举法表示；（3）联立
→求方程组的解→写出交点坐标→用集合表示．
[解析]
（1）36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}；
（2）方程（x－4）2（x－2）＝0的根是4,2，所求集合为{2,4}；
（3）方程组
的解是
所求集合为{（
，
）}．
『规律方法』 1.用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．
2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．
因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．
〔跟踪练习3〕
用列举法表示下列集合：
（1）不大于10的非负偶数组成的集合；
（2）方程x2＝x的所有实数解组成的集合；
（3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．
[解析]
（1）因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思．所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．
（2）方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．
（3）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是（0,1），故两直线的交点组成的集合是{（0,1）}．
命题方向4 ⇨用描述法表示集合
典题4用描述法表示下列集合：
（1）满足不等式3x＋2>2x＋1的实数x组成的集合；
（2）平面直角坐标系中，第一象限内的点的集合；
（3）所有正奇数组成的集合．
[思路分析]
→
→
[解析]
（1）{x|3x＋2>2x＋1}或{x|x>－1}；
（2）{（x，y）|x>0，y>0，且x，y∈R}；
（3）{x|x＝2k－1，k∈N＋}．
『规律方法』 1.用描述法表示相应集合时，首先明确代表元素是点集还是数集，在此基础上，结合描述的定义给出集合的表示．
2．用描述法表示集合时，其代表元素的范围务必明确，如果省略不写，则默认为x∈R.
〔跟踪练习4〕
把
（1），
（2），（3）分别更换条件如下，试分别求相应问题．
（1）满足不等式3x＋2>2x＋1的有理数组成的集合；
（2）在平面直角坐标系中，坐标轴上的点的集合；
（3）所有偶数组成的集合．
[解析]
（1）{x∈Q|3x＋2>2x＋1}或{x∈Q|x>－1}．
（2）{（x，y）|xy＝0，x，y∈R}．
（3）{x|x＝2n，n∈Z}．
Y
忽略集合中元素的互异性（本栏目的跟踪练习仅供老师参考备用）
典题5设集合A＝{x2，x，xy}、B＝{1，x，y}，若集合A、B所含元素相同，求实数x、y的值.
[错解] 由A＝B，得
，或
，
解得
或
或
[错因分析] 当x＝1，y∈0时，A＝B＝{1,1，y}，不满足集合元素的互异性，当x＝1，y＝1时，A＝B＝{1,1,1}也不满足元素的互异性，当x＝－1，y＝0，A＝B＝{1，－1,0}，满足题意．
[正解] 由错解得
或
或
经检验当取
与
时不满足集合中元素的互异性，
所以x＝－1，y＝0.
[点评] 在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就结束了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视．
〔跟踪练习〕
若将上式中的集合A改为{a，
，1}，B改为{a2，a＋b,0}，其他条件不改变，怎样求a2015＋b2015的值．
[解析] 方法一：
∵{a，
，1}＝{a2，a＋b,0}，
又∵a≠0,1≠0，∴
＝0，∴b＝0，
∴{a,0,1}＝{a2，a,0}，∴a2＝1，即a＝±1，
又当a＝1时，A＝{1,0,1}不满足集合中元素的互异性，舍去，∴a＝－1，即集合A＝{－1,0,1}，
此时a＝－1，b＝0，
故a2015＋b2015＝（－1）2015＋02015＝－1＋0＝－1.
方法二：
∵{a，
，1}＝{a2，a＋b,0}，
∴
解得a＝±1，b＝0，
由集合中元素的互异性知a≠1，
∴a＝－1，b＝0.
∴a2015＋b2015＝（－1）2015＋02015＝－1＋0＝－1.
X
数学抽象能力
数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程．主要包括：
从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征．
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中．数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统．
在数学抽象核心素养的形成过程中，积累从具体到抽象的活动经验．学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题．
本节课从周围大量实例中抽象出集合的概念，领悟集合的本质属性是学习的首要任务，在此基础上，明确集合元素的属性及集合的表示方法．
典题6选择恰当方法表示所在正奇数组成的集合.
[解析] 描述法：
{x|x＝2n－1，n∈N*}．列举法{1,3,5,7，…，2n－1，…}．
『规律方法』 用列举法表示无限集时，一是列出的前几项体现的规律，要和一般项统一起来，二是要加省略号．
K
1．下列各组对象，能构成集合的有（ C ）
①对环境污染不太大的塑料；
②中国古典文学中的四大名著；
③所有的正方形；
④方程x（x2－2x－3）＝0的所有实数根．
A．① B．①②C．②③④ D．①②③④
[解析] 语句①“污染不太大”没有明确的标准；②中四大名著指的是《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》；③④中的对象也都满足确定性、互异性、无序性．
2．已知集合A＝{x∈N|－
≤x≤
}，则必有（ B ）
A．－1∈A B．0∈AC．
∈A D．2∈A
[解析] 集合A中元素有两个特征：
x∈N且－
≤x≤
，观察四个选项，只有B正确．
3．下列各组集合中，表示同一集合的是（ B ）
A．M＝{（3,2）}，N＝{（2,3）}
B．M＝{3,2}，N＝{2,3}
C．M＝{（x，y）|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{3,2}，N＝{（3,2）}
[解析] A项中M＝{（3,2）}中的元素是（3,2），N＝{（2,3）}中的元素是（2,3），所以这是两个不同的集合；B项中M＝{3,2}中的元素是3,2，N＝{2,3}中的元素是2,3，由集合中元素的无序性可知，这是两个相同的集合；C项中集合M中的代表元素是（x，y），是直线x＋y＝1上的点，而集合N中的代表元素是y，是直线x＋y＝1上点的纵坐标，因此是两个不同的集合；D项中两集合M的元素分别是3、2，而N中含有一个元素（3,2），因此它们是两个不同的集合．
4．由实数x，－x，|x|，
，－
，所组成的集合最多含有元素的个数为（ A ）
A．2 B．3C．4 D．5
[解析]
＝|x|，－
＝－x，集合中的元素最多含有两个．
5．用适当的方法表示下列集合.
（1）由大于－3且小于11的偶数组成的集合可表示为__{－2,0,2,4,6,8,10}__；
（2）不等式3x－6≤0的解集可表示为__{x|x≤2}__；
（3）方程x（x2＋2x－3）＝0的解集可表示为__{－3,0,1}__；
（4）函数y＝x2－x－1图象上的点组成的集合可表示为__{（x，y）|y＝x2－x－1}__．
A级 基础巩固
一、选择题
1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是（ C ）
A．② B．③C．②③ D．①②③
[解析] 高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C．
2．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为（ B ）
A．{1,1} B．{1}C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
[解析] ∵x2－2x＋1＝0，∴x＝1.故集合为单元素集合．故选B．
3．已知集合A＝{x|x≤10}，a＝
＋
，则a与集合A的关系是（ A ）
A．a∈A B．a∉AC．a＝A D．{a}∈A
[解析] 由于
＋
＜10，所以a∈A.
4．方程组
的解集是（ D ）
A．
B．{x，y|x＝3且y＝－7}
C．{3，－7}
D．{（x，y）|x＝3且y＝－7}
[解析] 解方程组
得
，
用描述法表示为{（x，y）|x＝3且y＝－7}，用列举法表示为{（3，－7）}，故选D．
5．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是（ D ）
A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形
[解析] 由集合中元素的互异性知a，b，c互不相等，故选D．
二、填空题
6．用符号∈与∉填空：
（1）0__∉__N*；
__∉__Z；
0__∈__N；（－1）0__∈__N*；
＋2__∉__Q；
__∈__Q.
（2）3__∈__{2,3}；3__∉__{（2,3）}；
（2,3）__∈__{（2,3）}；（3,2）__∉__{（2,3）}．
（3）若a2＝3，则a__∈__R，若a2＝－1，则a__∉__R.
[解析]
（1）只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别．
（2）中3是集合{2,3}的元素；但整数3不是点集{（2,3）}的元素；同样（2,3）是集合{（2,3）}的元素；因为坐标顺序不同，（3,2）不是集合{（2,3）}的元素．（3）平方等于3的数是±
，当然是实数，而平方等于－1的实数是不存在的．
7．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝
，则b－a＝__2__.
[解析] 显然a≠0，则a＋b＝0，a＝－b，
＝－1，所以a＝－1，b＝1，b－a＝2.
三、解答题
8．用适当的方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集.
（1）不超过10的非负质数的集合；
（2）大于10的所有自然数的集合．
[解析]
（1）不超过10的非负质数有2,3,5,7，用列举法表示为{2,3,5,7}，是有限集．
（2）大于10的所有自然数有无限个，故可用描述法表示为{x|x>10，x∈N}，是无限集．
B级 素养提升
一、选择题
1．下列集合中，不同于另外三个集合的是（ B ）
A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}
C．{1} D．{y|（y－1）2＝0}
[解析] {x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B．
2．下列六种表示法：
①{x＝－1，y＝2}；②{（x，y）|x＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④（－1,2）；⑤{（－1,2）}；⑥{（x，y）|x＝－1或y＝2}．
能表示方程组
的解集的是（ C ）
A．①②③④⑤⑥ B．②③④⑤C．②⑤ D．②⑤⑥
[解析] 方程组
的解是
故选C．
3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为（ B ）
A．2 B．3C．0或3 D．0或2或3
[解析] 因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝2或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m＝3，故选B．
4．已知x，y，z为非零实数，代数式
＋
＋
＋
的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（ D ）
A．0∉M B．2∈MC．－4∉M D．4∈M
[解析] 当x>0时，
＝1，当x<0时，
＝－1，
故当x，y，z全为正时，原式＝4；
当x，y，z两正一负时，xyz<0，原式＝0；
当x，y，z两负一正时，xyz>0，原式＝0；
当x，y，z全为负时，xyz<0，原式＝－4，故M的元素有4,0，－4，∴4∈M.故选D．
二、填空题
5．已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是__{k|5＜k≤6}__.
[解析] x只能取3,4,5，故5＜k≤6.
6．用列举法写出集合{
∈Z|x∈Z}＝__{－3，－1,1,3}__.
[解析] ∵
∈Z，x∈Z，
∴3－x为3的因数．
∴3－x＝±1，或3－x＝±3.
∴
＝±3，或
＝±1.
∴－3，－1,1,3满足题意．
C级 能力拔高
1．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A＋B中元素的个数为（ B ）
A．3 B．4C．5 D．6
[解析] 当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.∴A＋B＝{3,4,5,6}，共4个元素．
2．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}.
（1）若A是单元素集合，求集合A；
（2）若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
[分析] 集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，故可将求集合中元素个数问题转化为方程根的个数问题．
（1）集合A为单元素集合，说明方程有唯一根或两个相等的实数根．要注意方程ax2－3x＋2＝0可能不是一元二次方程．
（2）至少有一个元素，说明方程有一根或两根．
[解析]
（1）因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝{
}，符合题意；
当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，
则Δ＝9－8a＝0，解得a＝
，此时A＝{
}，符合题意．
综上所述，当a＝0时，A＝{
}，当a＝
时，A＝{
}．
（2）由
（1）可知，当a＝0时，A＝{
}符合题意；
当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，
则Δ＝9－8a≥0，解得a≤
且a≠0.
综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a≤
.
[点评] “a＝0”这种情况容易被忽视，如“方程ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：
一是“a＝0”，即它是一元一次方程；二是“a≠0”，即它是一元二次方程，只有在这种情况下，才能用判别式“Δ”来解决．
3．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”.
（1）判断集合A＝{－1,1,2}是否为可倒数集；
（2）试写出一个含3个元素的可倒数集．
[解析]
（1）由于2的倒数为
不在集合A中，故集合A不是可倒数集．
（2）若a∈A，则必有
∈A，现已知集合A中含有3个元素，故必有一个元素有a＝
，即a＝±1，故可以取集合A＝{1,2，
}或{－1,2，
}或{1,3，
}等
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