河北省唐山市届高三上学期期末考试 数学文.docx
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河北省唐山市届高三上学期期末考试数学文
唐山市2017－2018学年度高三第一学期期末考试
文科数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x＞0}，则A∩B＝（ ）
A．[1，+∞） B．（0，1]
C．[3，+∞）D．（0，3]
解析：
选D.因为A＝{x|－1≤x≤3}，所以A∩B＝{x|0＜x≤3}．故选D.
2．复数的共轭复数为
A．1+2iB．1－2i
C．2－2iD．－1+2i
解析：
选B.＝＝1+2i，由此复数的共轭复数为1－2i．
3．右图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色
部分的面积，在正方形区域随机投掷400个点，其中落入黑色
部分的有225个点，据此估计黑色部分的面积为
A．8 B．9
C．10D．12
解析：
选B.
4．已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减．若f（－2）=0，则满足xf（x）＞0的x的取值范围是
A．∪B．∪
C．∪D．∪
解析：
选A.∵f（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上单调递减，∴f（x）在上单调递增．又f（－2）=f
（2）=0，因此满足xf（x）＞0的x的取值范围是∪．
5．执行右图所示的程序框图，如果输入的a＝2，b＝2，那么输出的i＝（ ）
A．10B．9
C．4D．3
解析：
选C.
6．平行四边形ABCD中，AB=5，AD=3，|+|=4，则·=
A．5 B．9
C．12D． 16
解析：
选B.
7．已知函数f（x）＝3sin的最小正周期为T，则将函数f（x）图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为
A．y＝－3sinB．y＝－3cos
C．y＝3sinD．y＝3cos
解析：
选D.
8．一个几何体的三视图如右图所示，则其体积为
A．10+π B．2+
C．2+D．2+
解析：
选C.
9．在数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an，Sn为等比数列{an}的前n项和，若{Sn+λ}为等比数列，则λ=
A．－1 B．1
C．－2D．2
解析：
选B.
10．已知F1，F2为双曲线Γ：
－＝1（a＞0）的左、右焦点，P为双曲线Γ左支上一点，且满足直线PF1与双曲线的一条渐近线平行，PF1⊥PF2，则a=
A．B．2
C．4D．4
解析：
选A.
11．已知a>－1，函数f（x）＝若存在t使得g（x）＝f（x）－t恰有三个零点，则a的取值范围是
A． B．
C．D．
解析：
选C.
12．已知cos36°cos72°=，由此可算得cos36°=
A． B．
C．D．
解析：
选A.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S5＝10，a2＝3．则{an}的公差为________.
答案－1
解析 设{an}的公差为d，由题设可得解得d＝－1，a1＝4.
14．设x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值是________.
答案1
解析
15．已知F为椭圆C:
＋＝1（a＞b＞0）的一个焦点，过F且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B，若原点O在以AB为直径的圆上，则椭圆C的离心率为________.
答案
解析
16．在三棱锥PABC中，底面ABC是正三角形，侧面PAB是直角三角形，且PA＝PB=2，PA⊥AC，则该三棱锥的外接球的表面积为________.
答案12π
解析由题设知AB=AC=2，PC=2，RT△PAC≌RT△PBC,三棱锥的外接球面的球心为PC的中点O，外接球的半径为．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－bcosC＝csinB．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2，a，b，c成等差数列，求△ABC的面积．
解：
（Ⅰ）由a－bcosC＝csinB及正弦定理得，
sinA－sinBcosC＝sinCsinB，
因为sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋sinCcosB，
所以sinCcosB＝sinCsinB．
因为sinC≠0，所以tanB＝，
又因为B为三角形的内角，
所以B＝．…6分
（Ⅱ）由a，b，c成等差数列得a＋c＝2b＝4，
由余弦定理得a2＋c2－2accosB＝b2，
即a2＋c2－ac＝4，
所以（a＋c）2－3ac＝4，
从而有ac＝4．
故S△ABC＝acsinB＝．…12分
18．（本小题满分12分）
高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力．某移动支付公司随机抽取了100名移动支付用户进行调查，得到如下数据：
每周使用移动支付次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及以上
男
4
3
3
7
8
30
女
6
5
4
4
6
20
合计
10
8
7
11
14
50
（Ⅰ）在每周使用移动支付次数超过3次样本中，按性别用分层抽样的方法随机抽取5名用户．
（ⅰ）求抽取的5名用户中男用，女用户各多少人？
（ⅱ）从5名用户中随机抽取2名用户，求抽取的2名用户中既有男用户又有女用户的概率；
（Ⅱ）如果认为每周使用移动支付次数超过3次的用户“喜欢使用移动支付”，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为“喜欢使用移动支付”与性别有关？
附表及公式：
K2＝
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解：
（Ⅰ）
（ⅰ）由图中表格可知，样本中每周使用移动支付次数超过3次的男用户有45人，
女用户30人，在这75人中，按性别用分层抽样的方法随机抽取5名用户，其中男用户有3人，女用户有2人．…2分
（ⅱ）记抽取的3名男用户分别A，B，C；女用户分别记为d，e．
再从这5名用户随机抽取2名用户，共包含
（A，B），（A，C），（A，d），（A，e），（B，C），
（B，d），（B，e），（C，d），（C，e），（d，e），
10种等可能的结果，其中既有男用户又有女用户这一事件包含（A，d），（A，e），
（B，d），（B，e），（C，d），（C，e），共计6种等可能的结果，
由古典概型的计算公式可得P＝＝．…6分
（Ⅱ）由图中表格可得列联表
不喜欢移动支付
喜欢移动支付
合计
男
10
45
55
女
15
30
45
合计
25
75
100
将列联表中的数据代入公式计算得
k＝＝≈3.03＜3.841，…10分
所以，在犯错误概率不超过0.05的前提下，不能认为是否喜欢使用移动支付与性别有关．…12分
19．（本小题满分12分）
如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，EF∥DC，平面ABCD⊥平面CDEF，AE⊥CF．
（Ⅰ）求证：
CF⊥DE；
（Ⅱ）若CF＝DE，DC＝2EF＝4，求五面体ABCDEF的体积．
解：
（Ⅰ）因为平面ABCD⊥平面CDEF，
平面ABCD∩平面CDEF＝CD，AD⊥CD，
所以AD⊥平面CDEF，又CF⊂平面CDEF，
则AD⊥CF．
又因为AE⊥CF，AD∩AE＝A，
所以CF⊥平面AED，DE⊂平面AED，
从而有CF⊥DE．…6分
（Ⅱ）连接FA，FD，过F作FM⊥CD于M，
因为平面ABCD⊥平面CDEF且交线为CD，FM⊥CD，
所以FM⊥平面ABCD．
因为CF＝DE，DC＝2EF＝4，且CF⊥DE，
所以FM＝CM＝1，
所以五面体的体积V＝VF－ABCD＋VA－DEF＝＋＝．…12分
20．（本小题满分12分）
已知抛物线E：
y2＝4x，过点P（2，0）作两条互相垂直的直线m，n，直线m交E于不同两点A，B，直线n交E于不同两点C，D，记直线m的斜率为k.
（1）求k的取值范围；
（2）设线段AB，CD的中点分别为M，N，证明：
直线MN过定点Q（2，0）．
解：
（Ⅰ）由题设可知k≠0，所以直线m的方程为y＝kx＋2，与y2＝4x联立，
整理得ky2－4y＋8＝0，①
由Δ1＝16－32k＞0，解得k＜．…2分
直线n的方程为y＝－x＋2，与y2＝4x联立，
整理得y2＋4ky－8k＝0，
由Δ2＝16k2＋32k＞0，解得k＞0或k＜－2．…4分
所以故k的取值范围为{k|k＜－2或0＜k＜}．…6分
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．
由①得，y1＋y2＝，则y0＝，x0＝－，则M（－，）．…8分
同理可得N（2k2＋2k，－2k）．
直线MQ的斜率kMQ＝＝，
直线NQ的斜率kNQ＝＝＝kMQ，
所以直线MN过定点Q（2，0）．…12分
21．（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝exsinx－ax．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在x=0处的切线过点（2，－a），求a的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0在区间[0，]上恒成立，求a的取值范围．
解：
（Ⅰ）由f（x）＝exsinx－ax，得f（0）＝0．
由f'（x）＝ex（cosx＋sinx）－a，得f'（0）＝1－a，
则1－a＝－，解得a＝2．…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）＝ex（cosx＋sinx）－a，
令g（x）＝f'（x），则g'（x）＝2excosx，
所以x∈[0，]时，g'（x）≥0，g（x）单调递增，f'（x）单调递增．
（ⅰ）当a≤1时，f'（0）＝1－a≥0，所以f'（x）≥f'（0）≥0，f（x）单调递增，
又f（0）＝0，所以f（x）≥0．
（ⅱ）当a≥e时，f'（）≤0，所以f'（x）≤f'（）≤0，f（x）单调递减，
又f（0）＝0，所以f（x）≤0，故此时舍去．
（ⅲ）当1＜a＜e时，f'（0）＜0，f'（）＞0，所以存在x0∈（0，），使得f'（x0）＝0，
所以x∈（0，x0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
又f（0）＝0，所以f（x）≤0，故此时舍去．
综上，a的取值范围是a≤1．…12分
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4－4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，椭圆C关于坐标轴对称．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，A（，），B（2，0）为椭圆C上两点.
（Ⅰ）求直线OA的直角坐标方程与椭圆C的参数方程；
（Ⅱ）若点M在椭圆C上，且点M第一象限内，求四边形OAMB的面积S的最大值．
解：
（Ⅰ）由A（，）得直线OA的倾斜角为，
所以直线OA斜率为tan＝－1，即OA：
x＋y＝0．
由x＝ρcosα，y＝ρsinα可得A的直角坐标
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