上海解析几何综合测试题附答案docx.docx

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上海解析几何综合测试题附答案docx

1．F1、F2是椭圆x2

y2

1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则

|PF1||PF2|的最大值是

．

4

2．若直线

2

2

没有公共点，则m、n满足的关系式为____________；

mx+ny－3=0与圆x+y=3

以（m，n）为点P的坐标，过点

P的一条直线与椭圆

x2

+y2

=1的公共点有_______个.

7

3

3.P是抛物线y2=x上的动点，Q是圆（x-3）2+y2=1的动点，则｜PQ｜的最小值为

.

4．若圆x2

y2

2ax

a2

1

0与抛物线y2

1x有两个公共点。

则实数a的范围为

.

2

5．若曲线

y

x2

4

与直线y

k（x2）+3

有两个不同的公共点，则实数

k的取值范围

是

.

6．圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，－4）、B（0，－2），则圆C的方程为

____________.

2

2

2

2

x－y－4=0上的圆的方程为

7．经过两圆（x+3）+y=13和x+

（y+3）=37的交点，且圆心在直线

____________

2

2

的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点

（异于顶点），则直线PF的斜率的

8.双曲线x－y＝1

变化范围是___________.

9．已知A（0，7）、B（0，－7）、C（12，2），以C为一个焦点作过

A、B的椭圆，椭圆的另一个

焦点F的轨迹方程是___________.

10

．设

1（

2

，

2

）、P2（－

2

，－2

），M是双曲线y=1上位于第一象限的点，对于命题①

P

x

|MP2|－|MP1|=2

2；②以线段

MP1为直径的圆与圆

x2+y2=2相切；③存在常数b，使得M到直线

y=－x+b的距离等于

2

|MP1|.其中所有正确命题的序号是____________.

2

11．到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为

5的点的轨迹是（

）

A.椭圆

B.AB所在直线

C.线段AB

D.无轨迹

12．若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则

y

的最小值为（

）

x

2

A.1

B.－1

2

3

D.以上都不对

C.－

3

13已知F1（－3，0）、F2（3，0）是椭圆x2

+y2

＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，当∠F1PF2＝

m

n

2π时，△F1PF2的面积最大，则有（

）

3

A.m=12，n=3

B.m=24，n=6

3

D.m=12，n=6

C.m=6，n=

2

14.P为双曲线C上一点，F1、F2是双曲线C的两个焦点，过双曲线

C的一个焦点F1作∠F1PF2的平分

线的垂线，设垂足为

Q，则Q点的轨迹是（

）12.

A.直线

B.圆

C.椭圆

D.双曲线

三、解答题

15．（满分10分）如下图，过抛物线

y2=2px（p＞0）上一定点P（x0，y0）

（y0＞0），作两条直分交抛物于

A（x1，y1）、B（x2，y2）.

（1）求抛物上坐

p的点到其焦点

F的距离；

2

（2）当PA与PB的斜率存在且斜角互，

求

y1y2

的，并明直AB的斜率是非零常数.

y0

16．（分10分）如下，O坐原点，直l在x和y上的截距分是

a和b（a>0，b≠0），

2

且交抛物y=2px（p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点.

（1）明：

1

+

1

=

1；

（2）当a=2p，求∠MON的大小.

y1

y2

b

（15

）

（16）

x2

y2

x2

y2

17．（分10分）已知C的方程

2

+

2

=1（a>b>0），双曲

2－

b

2=1的两条近

a

b

a

l1、l2，C的右焦点F作直l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，l与C的两个交点由上至下依次A、B.（如下）

（1）当l1与l2角60°，双曲的焦距4，求

C的方程；

（2）当

FA=λ

AP，求λ的最大

.

y

A

y

l

B

P

l2

A

x

OF

x

O

B

l1

（17）

（18）

18．（分10分）在平面直角坐系

xOy中，抛物y

x2

上异于坐原点Ｏ的两不同点Ａ、Ｂ

足AO

BO（如上）．

（Ⅰ）求

AOB得重心Ｇ（即三角形三条中的交点）的迹方程；

（Ⅱ）

AOB的面是否存在最小？

若存在，求出最小；若不存在，明理由．

19．（分12分）抛物y2=4px（p>0）的准与x交于M点，点M作直l交抛物于A、

B两点.

（1）若段AB的垂直平分交x于N（x0，0），求：

x0>3p；

（2）若直l的斜率依次p，p2，p3，⋯，段AB的垂直平分与x的交点依次N1，

N2，N3，⋯，当

0

1

1

1

的.

+

+⋯+

|N1N2||N2N3|

|N10N11|

20．（分12分）A、B是3x2

y2

上的两点，点

N（1，3）是段AB的中点，段

AB的垂直平分与相交于

C、D两点.

（Ⅰ）确定

的取范，并求直

AB的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的

，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？

并说明理由.

解析几何综合题

1．F1、F2是椭圆x2

y2

1的左、右焦点，点

P在椭圆上运动，则|PF1||PF2|的最大值是

．

4

1答案：

4

简解：

|PF1|

|PF2

|≤（|PF1|

|PF2|）2

a2

4

2

2．若直线mx+ny－3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则

m、n满足的关系式为____________；以（m，

n）为点P的坐标，过点

P的一条直线与椭圆

x2

y2

+

=1的公共点有____________个.

2

2

7

3

2答案：

0

简解：

将直线

mx+ny－3=0变形代入圆方程

x2+y2=3，消去x，得

（m2+n2）y2－6ny+9－3m2=0.

令<0得m2+n2<3.

又m、n不同时为零，∴0

由0

3

，|m|<

3，

再由椭圆方程a=

7，b=

3可知公共点有2个.

3.P是抛物线y2=x上的动点，Q是圆（x-3）

2+y2=1的动点，则｜PQ｜的最小值

为.

3．答案：

11

-1

2

简解：

将问题转化为圆心到抛物线一上的动点的最小值

4．若圆x2

y2

2ax

a2

1

0与抛物线y2

1x有两个公共点。

则实数

a为

.

2

4．答案：

a

17或

1

a

1

8

简解：

将圆x2

y2

2ax

a2

1

0与抛物线

y21x联立，消去y，

2

得x2

（2a

1）x

a2

1

0

（x

0）.

2

要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。

0

2a

1

0

或

0

解之

2

2

1

0.

a2

a

1

0.

5．若曲线

y

x2

4与直线y

k（x

2）+3

有两个不同的公共点，则实数

k的取值范围

是

.

5．答案：

1k

3

4

简解：

将曲线y

x2

4转化为x2

y2

4时考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点

（2,-3）且与

渐近线y

x平行的直线与双曲线的位置关系。

6．圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，－4）、B（0，－2），则圆C的方程为

____________.

6．答案：

（x－2）2+（y+3）2=55．

简解：

∵圆C与y轴交于A（0，－4），B（0，－2），

∴由垂径定理得圆心在

y=－3这条直线上.

又已知圆心在直线

2x－y－7=0上，

∴联立

y=－3，

解得x=2，

2x－y－7=0.

∴圆心为（2，－3），

半径r=|AC|=

22

[

3

（

4）]2=

5.

2

2

∴所求圆C的方程为（x－2）

+（y+3）=5.

2

2

2

2

x－y－4=0上的圆的方程为

7．经过两圆（x+3）+y=13和x+（y+3）=37的交点，且圆心在直线

____________..

7．答案：

（x+

1）2

+（y+

7）2

=

89

2

2

2

简解：

因为所求的圆经过两圆（

x+3）2+y2=13和x+2（y+3）2=37的交点，

所以设所求圆的方程为（

x+3）2+y2－13+λ［x2+（y+3）2－37］=0.

展开、配方、整理，得（

x+

3

）

2

3

2

4

28

9（1

2）

+（y+

1

）

=

+

）

2.

1

1

（1

圆心为（－

3，－

3

），代入方程x－y－4=0，得λ=－7.

1

1

故所求圆的方程为（

x+1）2

+（y+

7）2

=

89

.

2

2

2

8.双曲线x2－y2＝1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点）

，则直线PF的斜率

的变化范围是___________.

8．答案：

（－∞，0）∪（1，+∞）

简解：

解析：

数形结合法，与渐近线斜率比较.

9．已知A（0，7）、B（0，－7）、C（12，2），以C为一个焦点作过

A、B的椭圆，椭圆的另一个

焦点F的轨迹方程是___________.

2

9．答案：

.y2－x＝1（y≤－1）

48

简解：

由题意｜AC｜＝13，｜BC｜＝15，

｜AB｜＝14，又｜AF｜＋｜AC｜＝｜BF｜＋｜BC｜，∴｜AF｜－｜BF｜＝｜BC｜－｜AC｜＝2.

故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支.又c=7，a=1，b2＝48，所以轨迹方程为

2x2

＝1（y≤－1）.

y－

48

10．设

（2，

2）、P（－

2，－2），M是双曲线y=1上位于第一象限的点，对于命题①

P1

2

x

|MP2|－|MP1|=22；②以线段

MP1为直径的圆与圆x2+y2=2相切；③存在常数

b，使得M到直线

y=－x+b的距离等于

2

|MP1|.其中所有正确命题的序号是____________.

2

10答案：

①②③

简解：

由双曲线定义可知①正确，②画图由题意可知正确，③由距离公式及

|MP1|可知正确.

11．到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为

5的点的轨迹是（

）

A.椭圆

B.AB所在直线

C.线段AB

D.无轨迹

11．答案：

C

简解：

数形结合易知动点的轨迹是线段

4

AB：

y=x，其中0≤x≤3.

3

12．若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则

y

的最小值为（

）

x

2

A.1

B.－1

C.－

2

D.以上都不对

3

3

12．答案：

C

简解：

y

的几何意义是椭圆上的点与定点（

2，0）连线的斜率.显然直线与椭圆相切时取得

x

2

最值，设直线

y=k（x－2）代入椭圆方程（

4+k2）x2－4k2x+4k2－4=0.

令

=0，k=±2

3.∴kmin=－

2

3.

3

3

13．.已知F1（－3，0）、F2（3，0）是椭圆

x2

y2

+

＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，当∠F1PF2

m

n

＝2π时，△F1PF2的面积最大，则有（

）

3

A.m=12，n=3

B.m=24，n=6

C.m=6，n=

3

D.m=12，n=6

2

13．答案：

A

简解：

由条件求出椭圆方程即得m=12，n=3.

14.P为双曲线C上一点，F1、F2是双曲线

C的两个焦点，过双曲线

C的一个焦点

F1作∠F1PF2的平分

线的垂线，设垂足为Q，则Q点的轨迹是

（

）12.

A.直线B.圆

C.椭圆

D.双曲线

14．答案：

B

简解：

延长F1Q与PF2相交点R，根据双曲线的定义，R在以F2为圆心的圆上，利用代入法得

15．如下图，过抛物线y2=2px（p＞0）上一定点P（x0，y0）（y0＞0），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）.

y

P

OAx

（1）求该抛物线上纵坐标为

p的点到其焦点

F的距离；

B

2

（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，

求y1y2

的值，并证明直线AB的斜率是非零

y0

常数.

解：

（1）当y=p时，x=p.

2

8

又抛物线y2=2px的准线方程为

x=－p，

2

由抛物线定义得

所求距离为p－（－p）=5p

.

8

2

8

（2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.

22

由y1=2px1，y0=2px0，

相减得（y1－y0）（y1+y0）=2p（x1－x0），

故kPA=y1

y0=

2p

（x1≠x0）.

x1

x0

y1

y0

2p

（x2≠x0）.

同理可得kPB=

y0

y2

由PA、PB倾斜角互补知kPA=－kPB，

即

2p

=－

2p

，所以y1+y2=－2y0，

y0

y0

y1

y2

y1

y2

=－2.

故

y0

设