（2）如图2，已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BE为△ABC的角平分线，求证：
BE为△ABC完美分割线.
（3）如图3，已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB=AC，AD是它的一条完美分割线，将△ABD沿直线AD折叠后，点B落在点B1处，AB1交CD于点E，求证：
DB1=EC.
17.利用尺规作三角形的三条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线的位置关系，你发现了什么？
再换一个三角形试一试。
18.如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：
BD=CE．
四、作图题（共1题；共5分）
19.如图，铁路和公路都经过P地，曲线MN是一条河流，现欲在河上建一个货运码头Q，使其到铁路和公路的距离相等，请用直尺和圆规通过画图找到码头Q的位置．（注意：
①保留作图痕迹；②在图中标出点Q）
五、综合题（共1题；共10分）
20.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE=CD，
（1）求证：
DB=DE．
（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF=4，求△ABC的周长．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
【解析】【解答】解：
当3cm为底时，其它两边都为7cm；3cm、7cm、7cm可以构成三角形，周长为17cm；
当3cm为腰时，其它两边为3cm和7cm；3+3=6＜7，所以不能构成三角形，此种情况不成立；
所以等腰三角形的周长是17cm．
故选：
B．
【分析】因为边为3cm和7cm，没说是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
2.【答案】C
【解析】【解答】解：
∵在等边△ABC中，D是AB的中点，AB=8，∴AD=4，AC=8，∠A=∠C=60°，
∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，
∴∠AFD=∠CFE=90°，
∴AE=
AD=2，
∴CF=8﹣2=6，
∴CF=
CE=3，
∴BF=5，
故选C．
【分析】根据等边三角形的性质得到AD=4，AC=8，∠A=∠C=60°，根据直角三角形的性质得到AE=
AD=2，于是得到结论．
3.【答案】A
【解析】【分析】根据已知条件利用角平分线的性质可得，点P到AB的距离等于点P到AC的距离PE=1．
【解答】点P到AB的距离等于PE=3．
故选A．
【点评】此题主要考查角平分线的性质：
角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．题目比较简单，直接利用角平分线的性质就可以了．
4.【答案】D
【解析】【解答】解：
∵EP∥OA，
∴∠DEP=∠AOB=60°，
∵PD⊥OB，
∴PD=
PE=
×6=3
，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD=3
，
∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴∠POC=
×60°=30°，
∴OP=2PC=6
，
∵点F是OP的中点，
∴CF=
OP=
×6
=3
．
故选D．
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠DEP，再求出PD，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC=PD，再求出∠POC=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OP，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
5.【答案】C
【解析】【解答】解：
∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，
∴设AB=AC=xcm，则BC=（16﹣2x）cm，
解得4cm＜x＜8cm．
故选：
C．
【分析】设AB=AC=x，则BC=16﹣2x，根据三角形的三边关系：
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列不等式组，即可得出结论．
6.【答案】A
【解析】【分析】根据正方体的概念和特性可知AB，AC和左面上的对角线形成一个等边三角形．
【解答】由于是正方体，那么它上面所有的正方形的对角线都是相等的．AB，AC，再加上左面的正方形的对角线，正好组成一个等边三角形．
∴这两条对角线的夹角为60度．
故选A．
【点评】本题的关键是把已知的两条线段组合进规则图形中．
7.【答案】A
【解析】【分析】从已知条件进行思考，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AE=DE=3cm．
【解答】∵BE平分∠ABC，DE⊥BC，EA⊥AB，
∴DE=AE，又DE=3cm，
∴AE=3cm．
故选A．
【点评】本题考查了角平分线的性质；此题很简单，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答，属于基础题
8.【答案】D
【解析】【解答】∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=
=70°，
∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．
故答案为：
D．
【分析】依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABC的度数，接下来，根据线段垂直平分线的性质可得到AE=BE，然后依据等边对等角的性质可求得∠ABE的度数，最后，再依据∠CBE=∠ABC﹣∠ABE求解即可.
9.【答案】C
【解析】
【分析】先根据正六边形的特点，判断出此六边形中相互平行的边及对角线，再根据线段垂直平分线的性质确定不同的点即可．
【解答】如图，分别以一顶点为定点，连接其与另一顶点的连线，在此图形中根据平行线分线段成比例定理可知，CD∥BE∥AF，ED∥FC∥AB，EF∥AD∥BC，EC∥FB，AE∥BD，AC∥FD，
根据垂直平分线的性质及正六边形的性质可知，相互平行的一组线段的垂直平分线相等，在这五组平行线段中，AE、BD与AB垂直，其中垂线必与AB平行，故无交点．
故直线AB上会发出警报的点P有：
CD、ED、EF、EC、AC的垂直平分线与直线AB的交点，共五个．
故答案为C．
二、填空题
10.【答案】10cm
【解析】【解答】解：
∵MN垂直平分AB，
∴DA=DB．
∴△DBC的周长=BC+BD+DC
=BC+DA+DC=BC+AC=10cm．
故答案为：
10cm．
11.【答案】40°
【解析】【解答】解：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A=100°，
∴∠B=
=40°．
故答案为：
40．
【分析】如图，依题意可知该三角形为等腰三角形∠A=100°，利用等腰三角形的性质得另外二角相等，结合三角形内角和易求∠B的值．
12.【答案】15或18
【解析】【解答】解：
①当腰是4cm，底边是7cm时，能构成三角形，
则其周长=4+4+7=15cm；
②当底边是4cm，腰长是7cm时，能构成三角形，
则其周长=4+7+7=18cm.
故答案为：
15cm或18cm.
13.【答案】24
【解析】【解答】∵DE是AC的垂直平分线
∴AE=CE=5cm,AD=CD
∴AC=10cm
∵△ABD的周长为14cm
∴AB+BD+CD=14cm
∴△ABC的周长=14+10=24cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，得到DA=DC，AE=EC=5cm，由AB+BD+AD=14cm，得到AB+BD+DC=14cm，所以有AB+BC+AC=14cm+10cm=24cm，从而得到结论．
14.【答案】16
【解析】【解答】解：
∵DE是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∵AB=10cm，AC=6cm，
∴△ACD的周长为：
AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB=6+10=16（cm）．
故答案是：
16．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得CD=BD，继而可得△ACD的周长为：
AC+AB，则可求得答案．
15.【答案】120°或20°
【解析】【解答】解：
设两个角分别是x，4x
①当x是底角时，根据三角形的内角和定理，得x+x+4x=180°，解得，x=30°，4x=120°，即底角为30°，顶角为120°；
②当x是顶角时，则x+4x+4x=180°，解得，x=20°，从而得到顶角为20°，底角为80°；
所以该三角形的顶角为120°或20°．
故答案为：
120°或20°．
【分析】设两个角分别是x，4x，根据三角形的内角和定理分情况进行分析，从而可求得顶角的度数．
三、解答题
16.【答案】
（1）36º；72º
（2）证明：
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C=
∵BE为△ABC的角平分线
∴
∴∠ABE=∠A
∴AE=BE∵∠BEC=180º–∠C–∠CBE=72º
∴∠BEC=∠C
∴BE=BC
∴△ABE、△BEC均为等腰三角形
∴BE为△ABC的完美分割线．
（3）证明：
∵AD是△ABC的一条完美分割线
∴AD=BD，AC=CD
∴∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA
∵∠B+∠BAD+∠ADB=180º，∠ADB+∠CDA=180º
∴∠CDA=∠B+∠BAD=2∠BAD
∴∠CAD=2∠BAD
∵∠BAD=∠B1AD
∴∠CAD=2∠B1AD
∵∠CAD=∠B1AD+∠CAE
∴∠B1AD=∠CAE
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠B=∠B1
∴∠B1=∠C
∵AB=AB1
∴AB1=AC
∴△AB1D≌△ACE
∴DB1=CE
【解析】【解答】解：
（1）∵AB=AC，∠BAC=108°，∴∠B=
=36°，∵AD为△ABC的完美分割线，BD72°.
故答案为72°.
【分析】
（1）不难得出△ABD与△ACD是等腰三角形，由BD（2）求出△ABE和△BCE中每个角的度数，根据等角对等边，证明它们都是等腰三角形即可证得；（3）要证DB1=CE，可先证△AB1D≌△ACE；不难得到∠B1=∠B=∠C，AB1=AB=AC，则只需要证∠B1AD=∠CAE即可，根据AD是△ABC的一条完美分割线，可得AD=BD，AC=CD，则通过角的数量关系得到∠B1AD=∠CAE.
17.【答案】解：
三角形的三条边的垂直平分线相交于一点.
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，三角形的三条边的垂直平分线相交于一点.
18.【答案】证明：
如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB=AC，
∴BP=PC；
∵AD=AE，
∴DP=PE，
∴BP﹣DP=PC﹣PE，
∴BD=CE．
【解析】【分析】要证明线段相等，只要过点A作BC的垂线，利用三线合一得到P为DE及BC的中点，线段相减即可得证．
四、作图题
19.【答案】解：
如图所示：
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，作出铁路与公路所形成的角的角平分线，与河流的交点即为所求作的货运码头点Q.
五、综合题
20.【答案】
（1）解：
证明：
∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=
∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）；
（2）解：
∵∠CDE=∠CED=
∠BCD=30°，DF⊥BE.
∴∠CDF=30°，
∵CF=4，
∴DC=8，
∵AD=CD，
∴AC=16，
∴△ABC的周长=3AC=48.
【解析】【分析】
（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE；
（2）根据直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半DC=8，AC=16，即可求得△ABC的周长．
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