数学集合易懂教案.docx
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数学集合易懂教案
数学集合易懂教案
【篇一：
高一数学集合教案】
第一节集合的概念和表示
一、引入课题
思考1、新生入学，学校通知全体高一新生在体育馆举行开学典礼，思考通知的对象是什么？
是全体高一新生还是个别的学生呢？
思考2、在这个教师里面有老师和学生，思考这里面的对象是什么？
思考3、你的家庭里的成员，这里面的对象是什么？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（例如：
例1中是高一而不是高二）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体。
小知识：
研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论，它不仅是数学的一个基本分支，在数学中占据一个极其独特的地位，如果把数学比作一座宏伟大厦，那么集合论就是这座宏伟大厦的基石。
集合理论创始者是由德国数学家康托尔，他创造的集合论是近代许多数学分支的基础。
二、课程讲解
1、集合的概念
在小学和初中阶段我们接触过一些集合，例如，实数集（r），那么究竟集合是什么样的概念呢？
接下来我们开始讲解集合的概念。
思考下面两个例题：
例：
自然数的集合0，1，2，3，?
?
例：
2x-13，即x2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。
上面的两个例题就是我们所要学习的集合，一般地，研究对象统称为元素（element），我们通常用小写的拉丁字母a，b，c，d，?
?
表示，这些元素组成的总体叫集合（set），也简称集，通常用大些的拉丁字母a，b，c，d，?
?
表示。
注：
集合判定要注意判断集合要注意有三点：
范围是否确定；元素是否明确；能不能指出它的属性。
例1：
判断下列一组对象是否属于一个集合呢？
在题目后面注明‘是’或者‘否’。
（1）小于10的质数
（2）中国的小河流
（3）‘maths’中的字母
（4）所有的偶数
（5）满足3x-2x+3的全体实数
2（6）方程x?
x?
1?
0的实数解
2、元素与集合的关系
如果a是集合a的元素，就说a属于集合a，记作a∈a，
如果a不是集合a的元素，就说a不属于集合a，记作a?
a
例2、在下面的括号内填入‘?
’和‘?
’
（1）集合a=?
1,2,3,4,5?
，那么2（）a。
（2）集合b=所有小于10的偶数，那么5（）b。
（3）?
?
集合c=?
世界四大洋?
，那么印度洋（）c。
3、集合中元素的三个特性
1.元素的确定性：
对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，
2.元素的互异性：
任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
比如：
book中的字母构成的集合，
3.元素的无序性：
集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
例如：
集合
4、数的集简称数集，下面介绍一些常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：
n
有理数集q
正整数集n*或n+
实数集r
整数集z
5、集合的分类
分类原则：
集合中所含元素的多少
①有限集含有限个元素，如a={-2，3}
②无限集含无限个元素，如自然数集n，有理数
③空集不含任何元素，如方程x+1=0实数解集。
专用标记：
?
2?
1,2,3,4,5?
和集合?
5,4,3,2,1?
是相同的集合。
6、集合常用的表示方法
①列举法——把集合的元素一一列举出来写在大括号内的方法，例如方程（x?
1）（x?
1）?
0的解集可以表示为?
?
1,1?
。
例:
“中国的直辖市”构成的集合，写成{北京,天津,上海,重庆}
由“maths中的字母”构成的集合，写成{m,a,t,h,s}
由“book中的字母”构成的集合，写成{b,o,k}
注：
（1）有些集合亦可如下表示：
从51到100的所有整数组成的集合：
{51，52，53，?
，100}所有正奇数组成的集合：
{1，3，5，7，?
}
集合只有一个元素。
比如：
?
与?
?
?
不同，?
∈?
?
?
（3）集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。
2、描述法--用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。
格式：
{x∈a|p（x）}
含义：
在集合a中满足条件p（x）的x的集合。
例:
不等式x?
1?
?
2的解集可以表示为：
{x?
r|x?
1?
?
2}或{x|x?
?
3,x?
r}
“中国的直辖市”构成的集合，写成{xx为中国的直辖市}；
“maths中的字母”构成的集合，写成{xx为maths中的字母}；
“平面直角坐标系中第二象限的点”{（x,y）|x0且y0}
“方程x+5x-6=0的实数解”{x∈r|x+5x-6=0}={-6，1}
注：
（1）写清楚该集合代表的元素符号，如，集合{x|x?
?
3,x?
r}不能写成22?
x?
3?
，
（2）集合与它的代表元素所采用的字母符号没有关系，只能与代表元素的形式有关，如?
x?
r/x?
3?
和?
y?
r/y?
3?
是相同的。
（3）所描述的所有内容都要写在大括号内，如集合?
x?
z/x?
2k.k?
z?
不能写成?
x?
z/x?
2k?
.k?
z。
（4）集合?
x?
r/x?
3?
与?
x/x?
3,x?
r?
是一样的表示方法。
?
x/x?
3?
。
（5）在通常的情况下，集合中竖线左边元素所属范围为实数集时可以省略。
如：
不等式x?
1?
?
2的解集可以表示为
三、课堂练习
1．下列各组对象能确定一个集合吗？
（1（2（3）中国的著名科学家．
（4）1，2，3，4，5，6
2、用‘?
’和‘?
’填空
（1）0n；（2
；（3）-1.5r
a
a?
b
b3．设a,b是非零实数，那么
4．由实数x,－x,｜x｜,x2,?
x3所组成的集合，最多含（（a）2个元素（b）3个元素（c）4个元素（d）5个元素
5．下列结论不正确的是（）
a.o∈nb.2?
qc.o?
qd.-1∈z
26．下列结论中，不正确的是（）a.若a∈n，则-a?
nb.若a∈z，则a∈z
c.若a∈q，则｜a｜∈qd.若a∈r，则a?
r
7.用列举法表示下列给定的集合：
⑴大于1且小于6的整数⑵a=?
x（x?
1）（x?
2）?
0?
⑶b=?
x?
z?
3?
2x?
1?
3?
8．试选择适当的方法表示下列集合：
⑴．不等式3x?
4?
2x的解集⑵．绝对值不大于3的整数的集合
⑶．所有偶数的集合⑷．一次函数y=x+6图象上所有点的集合
四、作业
1.集合元素的三个性质：
＿＿_______、＿＿_______、＿＿______.
2.用符号“?
”或“?
”填空
?
3＿n；?
＿q；14＿q；13＿z；?
1
2＿r；0＿n
q；?
＿r.
3.下列条件中能构成集合的是.
a.世界著名的数学家;b.在数轴上与原点非常近的点;
c.所有的等腰三角形;d.全年级成绩优异的同学;
e．2009年全国经济百强县;
4.给出下列关系：
①12?
rq；③?
3?
n?
；④n.其中正确的个数为（）.
a.1个b.2个c.3个d.4个
5.下列正确的是（）
a.0?
n?
b.?
?
rc.1?
qd.0?
z
6.集合a只含有元素a,则下列格式正确的是（）
a.0?
ab.a?
ac.a?
ad.a=a
7.下列集合中，不同于另外三个集合的是（）
a.{x?
x=1}b.{x?
x2=1}c.{1}d.{x?
（x?
1）2=0}
8．用合适的方法表示下列集合：
（1）a=?
?
x,y?
x?
y?
6,x?
n*,y?
n*?
用列举法表示
（2）m?
a
a?
b
b（ab?
0），则由数m组成的集合为.
（3）二次函数y?
2x2?
x?
3图像上所有点组成的集合：
______________.
（4）坐标平面内,两坐标轴上的点的集合:
_______________________
9.集合?
?
6
?
x?
zy?
x?
1,y?
z?
?
中的元素有.
?
10．求数集{1，x，x2}中的元素x应满足的条件
11.已知集合m={0,2,4},定义集合p={x?
x=ab,a?
m,b?
m},求集合p.
【篇二：
高一数学集合教学案（4课时）】
高一数学《集合》教学案
一、教材分析
（一）学习目标
Ⅰ、知识与技能：
1．集合的含义与表示
（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
2．集合间的基本关系
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；
3．集合的基本运算
（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（3）能使用venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
Ⅱ、过程与方法：
通过讲练结合让学生在实践中突破重点和难点，并对易错、易混点重新认定，达到熟练应用的地板。
情感态度与价值观：
让学生在重新审视的基础上重新定位对知识的把握，在充分发挥学习的主动性地基础上提高自己在学习中的信心和进一步学习数学的兴趣。
（二）重点、难点
重点：
理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。
难点：
能使用venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
二、教学计划：
四课时
三、教学设计
第一课时
1.1.1《集合的概念》
一、课题引入
阅读教材中的章头引言
二、概念形成与深化
1、集合的概念
（1）对象：
阅读课本p3
（2）集合：
把一些能够的的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.
（3）元素：
集合中每个叫做这个集合的元素，元素通常用表示
2、元素与集合的关系
（1）属于：
记作：
a___a；
（2）不属于：
记作：
a___a；
（1）参加2008北京奥运会的中国代表团的所有成员构成的集合;其中元素为
（2）三角形的全体构成的集合;其中元素为
2（3）方程方程x?
1的解的全体构成的集合;其中元素为（4）不等式x?
1?
2x?
2的解的全体构成的集合.其中元素为你能指出各个集合的元素吗?
各个集合的元素与集合之间是什么关系?
3、集合中元素的性质
”年轻人”、“较小的有理数”能否分别构成一个集合,为什么?
集合中元素的性质
（1）；
（2）；（3）_____________.
（1）节头图是中国体育代表团步入亚特兰大奥林匹克体育场的照片,代表团有309名成员;
（2）平面上与一个定点o的距离等于定长r的点的全体;
（3）方程x?
1?
x?
2的解的全体.
4、空集:
集合,记作.
5、集合分类
（1）含有个元素的集合叫做有限集
（2）含有个元素的集合叫做无限集
6、常用数集及其表示方法
（1）自然数集：
的集合.记作；
（2）正整数集：
的集合.记作；
（3）整数集：
的集合.记作；
（4）有理数集：
的集合.记作；
（5）实数集：
的集合.记作。
三、概念应用
例1用符号“?
”或“?
”填空
（1）0______n,______n,______n
（2）?
____
q,?
_____q1
2
例2由x?
2,2x2?
5x,12三个实数构成一个集合，若?
3是集合中元素，则x
?
四、课堂练习：
教材第4～5
页练习a、b
五、归纳总结
1
、知识：
2、题型与方法：
3、注意问题：
1.1.2《集合的表示方法》
一、复习引入
1．回忆集合的概念
2．集合中元素有那些性质？
、、
3．集合的分类：
、、
二、集合的表示方法
1、列举法：
把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内?
?
表示集合的方法
.2、特征性质描述法：
（1）特征性质：
（2）集合的描述法：
三、概念应用
例1用列举法表示下列集合
2
（1）a?
x?
n0?
x?
5
（2）b?
xx?
5x?
6?
0?
?
?
?
例2用描述法表示下列集合
（1）?
?
1,1?
；；
（2）大于3的全体偶数构成的集合；；
1、哪些性质可作为集合?
?
1,1?
的特征性质？
2、平行四边形的哪些特征性质，可用来描述所有平行四边形构成的集合？
3、问题：
以下集合
①{（x,y）|y?
x2?
1}；②{x|y?
x2?
1}；③{y|y?
x2?
1}；④{y?
x2?
1}是同一个集合吗？
1、知识：
2
、题型与方法：
3
、注意问题：
六、课后作业：
习题1-1a、b
七、预习作业：
子集与真子集的概念；集合与其特征性质之间的关系
第二课时
1.2.1《集合与集合之间的关系》
一、复习引入
1、元素与集合之间的关系：
（1）属于：
记作：
a___a
（2）不属于：
记作：
a___a
2、思考：
数之间存在相等与不相等的关系；元素与集合之间存在与
的关系那么集合与集合之间呢？
二、概念形成与深化
观察下面实例：
}，d?
{x|x是平行四边形}
（1）a?
{1,3},b?
{1,3,5,6}
（2）c?
{x|x是长方形
}，q?
{x|x是正方形}（3）p?
{x|x是菱形
【篇三：
高中数学集合复习教案】
【中学数学教案】
集合总复习
教学目的：
1.理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法,会判断一组对象是否构成集合。
2.理解元素与集合的“属于”关系，会判断某一个元素属于或不属于某一个集合，了解数集的记法，掌握元素的特征，理解列举法和描述法的意义。
3理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，理解“?
”、“?
”的含义。
≠
4.会判断简单集合的相等关系：
（1）结合集合的图形表示，理解交集与并集的概念；
（2）掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集。
5.理解交集与并集的概念，熟练掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集，掌握集合的交、并的性质。
教学重点：
1.集合的基本概念及表示方法。
2.交集和并集的概念，集合的交、并的性质。
3.子集的概念、真子集的概念。
教学难点：
1.运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示。
2.元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算。
3.交集和并集的概念、符号之间的区别与联系。
4.集合的交、并的性质。
教学内容：
一、集合的有关概念：
1、集合的概念：
（1）集合：
集合是由一些确定的对象组成的一个整体，简称集。
（2）元素：
组成集合的每一个对象叫做这个集合的元素。
☆元素a与集合a之间的关系只有两种:
a?
a或者a?
a,二者必居其一。
2、常用数集及记法：
（1）非负整数集（自然数集）：
全体非负整数的集合。
记作n。
（2）正整数集：
非负整数集内排除0的集。
记作n*或n+。
（3）整数集：
全体整数的集合。
记作z。
（4）有理数集：
全体有理数的集合。
记作q。
（5）实数集：
全体实数的集合。
记作r。
3.不含任何元素的集合叫空集，记作?
。
☆注意：
0和?
不同，0是一个数，可以作为一个集合的元素，而?
是一个集合。
二、集合的表示方法：
列举法，描述法。
☆用列举法表示集合时，元素不能重复，不能遗漏，不计顺序；
☆用描述法表示集合时，书写格式为：
m=｛代表元素︱元素的特征性质｝。
三、集合中元素的特性：
（1）确定性：
按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。
（2）互异性：
集合中的元素没有重复。
（3）无序性：
集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）。
四、集合之间的关系：
1.子集：
（1）定义：
一般地，对于两个集合a与b，如果集合a中的任何一个元素都是集合b的元素，我们就说集合a是集合b的子集，记作a?
b（或b?
a）。
这时我们也说集合a包含于集合b，或集合b包含集合a。
☆如果集合a的元素中有一个不是集合b的元素，那么a肯定不是b的子集。
（2）真子集：
为子集的特例，集合a是集合b的真子集必须满足：
①a是b的子集；②至少有一个b中的元素不属于a，a≠b。
☆a是b的子集有两种情况：
①a是b的真子集；②a=b。
2.两个集合相等：
一般地，对于两个集合a与b，如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素，同时集合b的任何一个元素都是集合a的元素，我们就说集合a等于集合b，记作a=b。
用式子表示：
如果a?
b，同时b?
a，那么a=b。
☆a=b是指a和b的的元素完全相同，判断集合a和b相等的方法有两种：
①对有限集合，一般利用定义，观察a和b的元素是否完全相同，直接进行判断；②对无限集合，考察a?
b且b?
a
是否成立。
五、集合的运算：
1.交集：
定义：
一般地，由所有属于a且属于b的元素所组成的集合,叫做a和b的交集。
记作a?
b（读作“a交b”），即a?
b=｛x|x?
a，且x?
b｝。
2.并集：
定义：
一般地，由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合，叫做a和b的并集。
记作：
a?
b（读作“a并b”），即a?
b={x|x?
a，或x?
b}。
例1：
用描述法表示下列集合：
①{1，4，7，10，13}{x|x?
3n?
2,n?
n?
且n?
5}②{-2，-4，-6，-8，-10}{x|x?
?
2n,n?
n?
且n?
5}
用列举法表示下列集合
①{x∈n|x是15的约数}{1，3，5，15}②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}
例2已知集合a＝{x|x2＋mx＋1＝0}，如果a∩r＝?
，则实数m的取值范围是[]
a．m＜4b．m＞4c．0＜m＜4d．0≤m＜4
?
?
m≥0，
?
22
分析∵a∩r＝?
，∴a＝?
．
可得0≤m＜4．答选d．
例3：
已知m＝{y|y＝x2＋1，x∈r}，n＝{y|y＝－x2＋1，x∈r}则m∩n是[]
a．{0，1}b．{（0，1）}c．{1}分析先考虑相关函数的值域．解∵m＝{y|y≥1}，n＝{y|y≤1}，∴在数轴上易得m∩n＝{1}．选c．
例4：
设集合a＝{x|－5≤x＜1}，b＝{x|x≤2}，则a∪b＝[]a．{x|－5≤x＜1}b．{x|－5≤x≤2}c．{x|x＜1}d．{x|x≤2}
?
b，也可以得到a∪b＝b）。
答d。
分析画数轴表示,得a∪b＝{x|x≤2}，a∪b＝b．（注意a≠
例5下列四个推理：
①a?
?
a?
b?
?
a?
a；②a?
?
a?
b?
?
a?
?
a?
b?
;
③a?
b?
a∪b＝b；④a∪b＝a?
a∩b＝b，其中正确的个数为[]a．1b．2c．3d.4
分析根据交集、并集的定义，①是错误的推理．答选c。
例6：
集合a＝{（x，y）|x＋y＝0}，b＝{（x，y）|x－y＝2}，则a∩b＝________。
分析a∩b即为两条直线x＋y＝0与x－y＝2的交点集合。
?
x＋y＝0，?
x＝1，解由?
得?
所以a∩b＝{（1，－1）}．
?
x－y＝2?
y＝－1．
f?
x?
?
例7：
设a＝{x∈r|f（x）＝0},b＝{x∈r|g（x）＝0},c?
?
?
x?
rgx?
0?
全集u?
r,则[]。
?
?
a．c＝a∪（ur）b．c＝a∩（ub）c．c＝a∪bd．c＝（ua）∩b分析依据分式的意义及交集、补集的概念逐步化归
f（x）
c＝{x∈r|＝0}＝{x∈r|f（x）＝0且g（x）≠0}＝{x∈r|f（x）＝0}∩{x∈r|g（x）≠0}
g（x）
＝a∩（ub）．答选b．说明：
本题把分式的意义与集合相结合．
例8集合a含有10个元素，集合b含有8个元素，集合a∩b含有3个元素，则集合a∪b有________个元素．
分析一种方法，由集合a∩b含有3个元素知，a，b仅有3个元素相同，根据集合元素的互异性，集合a∪b的元素个数为10＋8－3＝15．另一种方法，画图1－10观察可得．答填15．
例9已知全集u＝{x|x取不大于30的质数}，a，b是u的两个子集，且a∩（ub）＝{5，13，23}，（ua）∩b＝{11，19，29}，（ua）∩（ub）＝{3，7}求a，b．
分析由于涉及的集合个数，信息较多，所以可以通过画图1－11直观地求解．
解∵u＝{2，3，5，7，11，13，17，19，23，29}
用图形表示出a∩（ub），（ua）∩b及（ua）∩（ub）得
u（a∪b）＝{3，7}，a∩b＝{2，17}，
所以a＝{2，5，13，17，23}，
b＝{2，11，17，19，29}．
说明：
对于比较复杂的集合运算，可借助图形．
当x＝3时，a＝{9，5，－4}，b＝{－2，－2，9}，b中元素违反互异性，故x＝3应舍去；当x＝－3时，a＝{9，－7，－4}，b＝{－8，4，9}，a∩b＝{9}满足题意，此时a∪b＝{－7，－4，－8，4，9}
当x＝5时，a＝{25，9，－4}，b＝{0，－4，9}，此时a∩b＝{－4，9}，这与a∩b＝{9}矛盾．故x＝5应舍去．从而可得x＝－3，且a∪b＝{－8，－4，4，－7，9}．说明：
本题解法中体现了分类讨论思想，这在高中数学中是非常重要的．
例11设a＝{x|x2＋4x＝0}，b＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0}，若a∩b＝b，求a的值．
分析由a∩b＝b，b?
a，而a＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}，所以需要对a的子集进行分类讨论．
解假如b≠?
，则b含有a的元素．
设－4∈b，则a＝1或a＝7，当a＝7时，b＝{－4，－12}不符合题意．
说明：
b＝?
这种情形容易被忽视．
例12（1998年全国高考题）
设集合m＝{x|－1≤x＜2}，n＝{x|x－k≤0}，若m∩n≠?
，则k的取值范围是[]
a．（－∞，2]b．[－1，＋∞）c．（－1，＋∞）d．[－1，2]分析分别将集合m、n用数轴表示，可知：
k≥－1时，m∩n≠?
．答选b．
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