全等三角形证明培优题.docx

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全等三角形证明培优题

模块一：

基本辅助线

1.如图，已知AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD，求证：

AD=BC.

2.如图，AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F是CD的中点，

（1）求证：

AF⊥CD.

（2）在你连接BE后，还能得出什么新的结论？

请写出三个（不要求证明）

3.如图，∠B=∠E,∠C=∠D,BC=DE,M为CD中点，求证：

AM⊥CD.

4.如图，平面上有一边长为2的正方形ABCD，O为对角线的交点，正方形OEFG的顶点与O重合，OE、OG分别与正方形ABCD的边交于M、N两点．

①如图

（1），当OE⊥AB时，四边形OMBN的面积为___；

②如图

（2），当正方形OEFG绕点O旋转时，四边形OMBN的面积会发生变化吗？

试证明你的结论．

5.如图所示，在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证：

EG=FG。

6.如图，在△ABC中，AB=AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E作EG⊥BC于G．

（1）若∠A=50°，∠D=30°，求∠GEF的度数；

（2）若BD=CE，求证：

FG=BF+CG．

模块二：

母子型

1已知：

如图，点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F.

（1）求证：

AN=BM;

（2）求证：

△CEF为等边三角形

2.如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连结AE、BF。

求证：

（1）AE=BF；

（2）AE⊥BF。

3.如图1，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE；

（1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（2）当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M．

①求证：

AG⊥CH；

②当AD=4，DG=

时，求CH的长．

4.如图，已知△ABD、△AEC都是等边三角形，AF⊥CD于点F，AH⊥BE于点H,问：

（1）BE与CD有何数量关系？

为什么？

（2）AF、AH有何数量关系？

为什么？

5.已知：

如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．

（1）求证：

①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；

（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出

（1）中的两个结论是否仍然成立；

（3）在

（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：

△PBD∽△AMN．

6.（2009•丰台区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为______，线段CF、BD的数量关系为______；

②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．

模块三倍长中线

（1）倍长中线

（2）倍长类中线

1.已知：

如图，△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，求证：

AB=AC．

2.已知，如图△ABC中，AC>AB,AM是BC边上的中线，求证：

（AC-AB）＜AM＜

（AB+AC）．

3.如图所示，已知△ABC中，AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上，DE=CD,EF=AC,求证:

EF//AB.

4.如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF求证：

BE+CF＞EF．

4.如图，已知在△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，连接CD．求证：

CE=

CD.

5.证明：

直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。

7.分别以△ABC的边AB,AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,M为BC的中点，求证：

AM⊥EG.

8如图，△ABC中，AB=4，AC=7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，求FC的长．

9.在△ABC中，AM是BC边上的中线，

（1）求证：

AB+AC>2AM;

（2）若AB=5，AC=9，求AM的取值范围。

10.△ABC中，AC=8，BC边上的中线AD=6，则边AB的取值范围是。

11.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD交AB于点G，交CA的延长线于点F．求证：

BG=CF．

12.如图，已知在△ABC中，AD平分BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F,AF=EF,求证：

AC=BE.

13.如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，求证：

（1）CD=2AM,

（2）AM⊥CD．

14.在△ABC中，分别以△ABC的边AB,AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,点M为BC中点，

（1）求证：

AM丄EG;

（2）求证:

EG=2AM.

模块四、截长补短

一．截长：

截取较长线段，使其和较短线段长度相等。

二．补短：

延长较短线段，使其和较长线段长度相等。

适用范围：

条件或题目中出现“a+b=c”或“a-b=c”

目的：

构造全等三角形

1.如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD⊥BC于D,求证：

CD=BD+AB.

2.如图，在正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD上的点，∠MAN=45°．

求证：

MB+ND=MN．

3、如图所示，已知△ABC中，AD平分∠BAC,E、F分别在BD、AD上，DE=CD,已知ABCD是正方形，E、F分别在CB、CD的延长线上，∠EAF=135°，求证：

BE+DF=EF.

4.如图，五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°．连接AD．

（1）同学们学习了图形的变换后知道旋转是研究几何问题的常用方法,请你在图中作出

△ABC绕着点A按逆时针旋转“∠BAE的度数”后的像；

（2）试判断AD是否平分∠CDE，并说明理由．

5.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=180°,AB=AD,EF分别是线段BC、CD上的一点，且BE+FD=EF.求证：

∠EAF=

∠BAD.

6.已知：

如图，在正方形ABCD中，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN=45°，AH⊥MN，垂足为H，求证：

（1）MN=DN-BM；

（2）AH=AB．

7.已知：

如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE．求证：

BE+DF=AE．

8.如图，△ABC是正三角形，∠ADC=120°，求证：

BD=AD+CD.

模块五角平分线的性质与判定

1.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，

求证：

AD是∠BAC的平分线．

2.如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是______．

3.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，那么∠C=（    ）度.

4.已知，如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：

BE+DF=AE.

5.如图△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：

（1）线段BM、MN、NC之间的数量关系．

（2）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的数量关系，在图中画出图形．并对以上两种探究结果选择一个你喜欢的加以证明．

6.如图：

在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：

（1）CF=EB． 

（2）AB=AF+2EB．

7.如图，已知：

△ABC的∠B、∠C的外角平分线交于点D．求证：

AD是∠BAC的平分线．

模块六、角平分线的四大基本模型

1.角平分线+平分线，等腰三角形必呈现

2.点垂线，垂两边，线等全等都出现

3.角平分线+垂线，中点全等必可见

4.角分线，分两边，对称全等要记全

1.如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB.DE//AB,FD//AC,如果BC=6，求△DEF的周长

2.△ABC中.

（1）如图1，若∠BAC的平分线过BC的中点D,猜想AB和AC的关系并证明。

（2）如图2，若∠BAC的平分线不过BC的中点D,而是与BC的垂直平分线交于点E，过E作EF⊥AB,垂足为F,猜想2BF、AB、AC的关系并证明。

3.如图，△ABC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，你能说明DC⊥AC吗？

4.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE,求证：

（1）BD·BE=AB·BC；

（2）CE=

BD.

5.如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC．∠C=20°，AB+BD=AC，则∠B的度数是______．

6.已知，等腰△ABC，∠A=100°，∠ABC的平分线交AC于D,BD=BE,

（1）求∠DEC;

（2）求证：

AD=EC.

7.如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD=BD．

（1）求证：

∠B与∠AHD互补；

（2）若∠B+2∠DGA=180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明．

8.

（1）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．

（2）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB＞AC，求证：

AB-

AC＞PB-PC．

9.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.

（1）求证：

BE=CF；

（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：

①ME⊥BC；②DE=DN.

10.

（1）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？

为什么？

（2）如图，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系？

证明你的猜想．

11.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：

∠2=∠1+∠C．

12.如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、BC于点E、F．且FG⊥AB，垂足为G，求证：

CE=FG．

模块七垂直平分线

1.如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于E、D两点，若AB=12cm，BC=10cm，∠A=50°，求△BCE的周长和∠EBC的度数。

2.电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

3如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．

求证：

（1）FC=AD；

（2）AB=BC+AD．

（3）若∠ABC=50°,求∠F.

4.已知：

如图AB=CD,线段AC的垂直平分线于线段BD的垂直平分线相交于点E,求证：

∠ABE=∠CDE.

模块八大角夹半角

模型特征：

组成大角的两条线段相等，大角与半角具有公共顶点。

方法：

旋转某个图形使大角的等线段重合在一起，利用全等三角形求解。

1.操作：

如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．

探究：

线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．

说明：

（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；

（2）在你经历说明

（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．

①AN=NC（如图②）；②DM∥AC（如图③）．

附加题：

若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．

2.如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=

∠DAB．

（1）试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想

（2）过点A作AM⊥EF于点M,证明EF=BE+DF;

（3）试猜想AM与AB之间的数量关系，并证明你的猜想。

3.如图①，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AE交BC于点G．

（1）求证：

AF=FG；

（2）如图②，连接G，当BG=3，DE=2时，求EG的长．

4.如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点做一个60°的∠MDN，点M、N分别在AB、AC上，求△AMN的周长

5.已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且∠FCE＝

∠BCD。

（1）求证：

BF=EF-ED；

（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．

模块九K字模型

1.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：

DE=AD-BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？

请写出这个等量关系，并加以证明。

2.在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，试证明：

①BG=CE②BG⊥CE③AM是△AEG的中线④

.

3.平面内有一等腰直角三角形（∠ACB=90°）和一直线MN。

过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，当点E与点A重合时（如图1），易证：

AF+BF=2CE，当三角板绕点A顺时针旋转转到图2、图3的位置时，上述结论是否仍然成立？

若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明。