《反比例函数》专题专练及答案.docx
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《反比例函数》专题专练及答案
1
《反比例函数》专题专练
专题一：
反比例函数
1．考点分析
反比例函数函数是数学中最重要的内容之一，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，其中反比例函数的初步知识是每年的必考知识点，试题多以填空题和选择题的形式出现，重点考查基础理论、概念、方法，一次函数和反比例函数的综合题也越来越多．
2．典例剖析
例1．（2009年济宁市）如图2，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数1
yx
=
的图象上，则图中阴影部分的面积等于.分析：
本题已经给出了函数关系式，只要根据反比例函数的图象和性质进行面积计算即可．
解：
由反比例函数的中心对称性可知：
阴影部分的面积等于就等于半径为1的圆的面积，即πr2=π
例2．（2009年陕西省若A（x1，y1，B（x2，y2是双曲线x
y3
=
上的两点，且x1>x2>0，则y12（填“>”“=”“<”）．分析：
本题主要考查如何根据条件，结合反比例函数图象和性质进行比较大小，只要根据反比例函数的性质即可解决问题，也可以利用代入计算的方法．
解：
（1）因为k=3>0，y随x的增大而减小，又x1>x2>0，所以y1＜y2，应填＜例3．（2009年内蒙古包头）如图3，已知一次函数1yx=+的图象与反比例函数k
yx
=
的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点CABx，⊥轴于点B，AOB△的面积为1，则AC的长为．
分析：
本题考查函数图象交点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即1
2
Sk=
解：
由2k=，且图象在第一象限内，所以2k=，由12yxyx=+⎧⎪
⎨=⎪⎩
得点A坐标为（1,2，而1yx=+与
x轴的交点坐标为（-1,0，所以AB=2，BC=2
，由勾股定理得AC===
点评：
以上三例主要是考查反比例函数图象性质的最基本的知识，重点考查对基本知识的理解和运用情况，考查数形结合能力、分析研究问题的能力．
x
2
专练一：
1、已知点（12-，在反比例函数k
yx
=的图象上，则k=．2、函数yxm=+与（0m
ymx
=
≠在同一坐标系内的图象可以是（）
3、反比例函数（0k
yxx
=
>图象如图3示，则y随x的增大而．4、如图4在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在BC边上运动，连结DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP＝x，AE＝y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（）
（A）（B）（C）（D）
5、在对物体做功一定的情况下，力F（牛与此物体在力的方向上移动的距离s（米成反比例函数关系，其图象如图5示，P（5，1在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是米．
6、一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图6示，设小矩形的长和宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是（）
7、函数x
y1
-=
的图象上有两点,（11yxA，,（22yxB，若0<21xx<，则（）A．21yyC
．21yy=D．1y、2y的大小不确定
图2
图3
图4
图6
3
8、如图7已知反比例函数x1y=的图像上有一点P，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、B，
使四边形OAPB为正方形。
又在反比例函数的图像上有一点P1，过点P1分别作BP和y轴的垂线，垂足分别为A1、B1，使四边形BA1P1B1为正方形，则点P1
9、反比例函数x
k
y=
的图象如图8示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果MONS∆=2，则k的值为（）
（A）2（B）－2（C）4（D）－410．如图9一次函数ykxb=+的图象与反比例函数m
yx
=的图象交于（21（1ABn-，
，，两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求AOB△的面积．
图8
图5
图7
图9
4
专题二：
反比例函数的应用
1．考点分析
纵观近几年的中考命题，反比例函数的应用在中考试题中经常促销，既有选择题、填空题，又有较综合的解答题、应用题，反比例函数的应用多与一次函数联系起来综合出题
2．典例剖析
例1．（2009年青岛市）一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图4所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么此用电器的可变电阻应（A）A．不小于4.8ΩB．不大于4.8Ω
C．不小于14Ω
D．不大于14Ω
分析：
本题是与物理学中的有关知识相结合，
须借助物理知识，建立数学模型，从而使问题获解．解这类题的一般
步骤是：
（1）由图象可知，是一支双曲线，因而可判断该函数为反比例函数，故可设m
IR
=
，问题便可解决；2）将数字代入，解方程即可；（3）解简单的不等式即可．解：
由图象可知，是一支双曲线，故可设m
IR
=，将（6，8）代入得：
m=48，所以，
48IR=，又由题意得：
48R
≤10，所以I≥4.8，故选A．
点评：
本题是通过创设生活中的情景来考查反比例函数在实际生活中的广泛应用，特别是中考中与物
理、化学学科的相互渗透更是命题的热点之一，用反比例函数解决实际问题，培养同学们应用数学的创新能力和密切联系实际的实践能力，也是新的课程标准的重要目标之一．
例2．（2009年湖南邵阳）如图1是一个反比例函数图象的一部分，
点（110
A，，（101B，是它的两个端点．
（1）求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例．
分析：
本题重点考查如何根据题意列出反比例函数的解析式，然后用反比例函数的解析式解释生活中的实际问题．
解：
（1）设kyx=
，（110A，在图象上，101k∴=，即11010k=⨯=，10
yx
∴=，其中110x≤≤；
（2）答案不唯一．例如：
小明家离学校10km，每天以km/hv
的速度去上学，那么小明从家去学校所需
R/Ω
图
4
图1
5
的时间10tv
=
．点评：
本题重点考查学生对反比例函数概念的理解和掌握以及如何根据条件写出函数关系式．
专练二：
1、根据物理学家波义耳1662年的研究结果：
在温度不变的情况下，气球内气体的压强p（pa与它的体积v（m3的乘积是一个常数k，即pv＝k（k为常数，k＞0，下列图象能正确反映p与v之间函数关系的是（）。
2、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa是气体体积V（m3的反比例函数，其图象如图17．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（）．
A．不小于
54
m3
B．小于
54
m3
C．不小于
45
m3D．小于
45
m3
3、如图17已知直线12yx=与双曲线（0k
ykx
=>交于AB，两点，且点A的横坐标为4．
（1）求k的值；
（2）若双曲线（0k
ykx
=
>上一点C的纵坐标为8，求AOC△的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线（0k
ykx=>于PQ，两点（P点在第一象限），若由点
ABPQ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．
参考答案：
专练一
1、-2；2、C；3、减小；4、C；5、0．5；6、A；7、A；8、；9、B；10．解：
（1）∵点（21
A-，在反比例函数m
yx
=的图象上，图17
图16
∴m=（2×1=2．yA2∴反比例函数的表达式为y=．x2∵点B（1，n也在反比例函数y=的图象上，x∴n=2，即B（1，2．把点A（2，，点B（1，2代入一次函数y=kx+b中，得1OxBＣ2k+b=1，k=1，解得k+b=2，b=1．∴一次函数的表达式为y=x1．
（2）在y=x1中，当y=0时，得x=1．∴直线y=x1与x轴的交点为C（1，．0∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，1113∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×1+×1×2=+1=．2222专练二：
专练二：
1、C；2、D；3、解：
（1∵点A横坐标为4,∴当x=4时，y=2.∴点A的坐标为（4，2）.∵点A是直线1y∴k=4×2=8.8（k>0）的交点,x与双曲线=y2x=垂足（2解法一：
如图12-1，∵点C在双曲线上，当y=8时，xC1∴点C的坐标为（1,8.过点A、分别做x轴、y轴的垂线，为M、N，得矩形DMON.S矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4.S△AOC=S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM=32-4-9-4=15.解法二：
如图12-2，过点C、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，∵点C在双曲线y=8上，当y=8时，x=1.x8上,x6∴点C的坐标为（1,8.∵点C、A都在双曲线y=
∴S△COE=S△AOF=4，∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF.∴S△COA=S梯形CEFA，∵S梯形CEFA=15.（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形,∴OP=OQ，OA=OB.∴四边形APBQ是平行四边形.1×（2+8）×3=15,∴S△COA2=1∴S△POA=S平行四边形APBQ1=4得P（m,8.×24=6.4设点P的横坐标为m（m>0且m≠4）,m过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，∵点P、A在双曲线上，∴S△POE=S△AOF=4.若0＜m＜4，如图12-3，∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF,∴S梯形PEFA=S△POA=6.∴18（2+（4m=6.2m18（2+（m4=6，2m解得m=2，m=-8（舍去，∴P（2，4）.若m＞4，如图12-4，∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE,∴S梯形PEFA=S△POA=6.∴解得m=8，m=-2（舍去，∴P（8，1）.∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）.7
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