高中数学函数知识点归纳及常考题型docx.docx
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《函数》知识要点和基本方法
1.映射定义：
设非空集合A,B,若对集合A中任一元素a,在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从八到B的对应为映射。
若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B可建立n”个映射。
2.函数定义：
函数就是定义在非空数集A,B上的映射f。
此时称数集A为函数f（x）的定义域，集合C={f（x）|xEA}为值域，且CcBo
3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。
相同函数的判断方法：
①定义域、值域；②对应法则。
（两点必须同时具备）
4.求函数的定义域常涉及到的依据为：
①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0,底数大于零且不等于1；④零指数幕的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y轴上。
5.函数解析式的求法：
①配凑法；②换元法：
③待定系数法；④赋值法；⑤消元法等。
6.函数值域的求法：
①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。
7.函数单调性及证明方法：
如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值X1,X2，当X1f（X2）），那么
••
就说f（x）在这个区I'可上是增函数（或减函数）。
第一步：
设XI、X2是给定区间内的两个任意的值，HxKX2；
第二步：
作差f（X2）-f（xj,并对“差式”变形,主要方法是：
整式一一分解因式或配方；分式一一通分；根式一
—分子有理化，等）；
第三步：
判断差式f（X2）-f（xJ的正负号，从而证得其增减性。
&函数单调区间的求法：
①定义法；②图象法；③同增界减原则。
9.函数的奇偶性：
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x,都有f（-X）=f（x）（或f（-X）=-f（x））,那么函数f（x）就叫做偶函数（或奇函数）。
如f（x）=x2+2,f（x）=X3-X等。
10.定义域关于原点对称是两数具有奇偶性的必耍条件，也即是说定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶函数。
11.判断函数奇偶性的常用形式：
奇函数：
f（-X）=-f（x）,f（-x）+f（x）=o（对数函数）,f（一x）=_]（f（x）H0）（指数函数）；
f（x）
偶函数：
f（-x）=f（x）,f（-x）-f（x）=o,f（一x）=i（fx）H0）。
f（x）
12.①若奇函数f（x）在x=0处有定义，则f（0）=0,常用于待定系数；
2偶函数f（x）满足f（x）=f（|x|）；
3定义域关于原点对称月.函数值恒为0的函数既是奇函数又是偶函数。
13.①奇函数的图象关于原点对称，反之，图象关于原点对称的函数是奇函数；
2偶函数的图彖关于y轴对称，反之，图彖关于y轴对称的函数是偶函数；
3关于原点对称的区间上，奇函数单调性相同，偶函数单调性相反。
14.函数图像变换：
1平移变换：
形如y二f（x+R：
把函数y二f（x）的图象沿x轴方向向左（a>0）或向右（a〈0）平移|a丨个单位，就得到y=f（x+a）的图彖；形如y二f（x）+a：
把函数y二f（x）的图彖沿y轴方向向上（a>0）或向下（a〈0）平移|a|个单位，就得到y=f（x）+a的图象。
2对称变换：
y=f（x）-*y=f（-x）,关于y轴对称;y=f（x）-*y=-f（x），关于x轴对称。
3翻折变换:
y=f（x）->y=f（|x|）,（左折变换）把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称；y=f（x）->y=|f（x）|（上折变换）把x轴上方的图彖保留，x轴下方的图彖关于x轴对称。
15.反函数：
fQ）二boa二厂（b）。
原函数的定义域和值域分别是反函数的值域及定义域。
17.求反函数的步骤：
①求反函数的定义域（即尸f（x）的值域）；②将x,y互换，得y二广（x）；③将y=f（x）看成关于x的方程，解出x=f1（y）,若有两解，要注意解的选择。
互为反函数的图象间的关系：
关于直线尸x对称；
19.原函数与反函数的图彖交点可在直线y=x上，也可是关于直线y=x对称的两点。
20.原函数与反函数在对称区间上具有相同的单调性；奇函数的反函数仍为奇函数。
21.在定义域上单调的函数一定具有反函数；反之，并不成立（如y二1/x）o
22.复合函数的定义域求法：
①已知y二f（x）的定义域为A,求y=f[g（x）J的定义域时，可令g（x）WA,求得x的収值范围即可。
②已知y二f[g（x）]的定义域为A,求y二f（x）的定义域时，可令xeA,求得g（x）的函数值范围即可。
23.复合函数y=f[g（x）]的值域求法：
首先根据定义域求出u=g（x）的取值范围A,在uWA的情况下，求出y=f（u）的值域即可。
24•复合函数内层函数与外层函数在定义域内单调性相同，则函数是增函数；单调性不同则函数是减函数。
增增、减减为增；增减、减增才减（同增异减）。
1f（x）与f（x）+c（c为常数）具有相同的单调性；
2f（x）与c•f（x）当c>0是单调性相同，当c<0时具有相反的单调性；
3当f（x）恒不为0时，f（x）与1/f（x）具有相反的单调性；
4当f（x）恒为非负时，f（x）与具有相同的单调性；
5当f（x）、g（x）都是增（减）函数时，f（x）+g（x）也是增（减）函数。
6设f（x）、g（x）都是增（减）函数，则f（x）・g（x）当f（x）,g（x）两者都恒大于0时也是增（减）函数，当两者都恒小于0时是减（增）函数。
25.二次函数求最值问题：
根据抛物线的对称轴与区间关系进行分析。
I、若顶点的横坐标在给定的区间上，则
a>0时：
在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
以0时：
在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得。
II>若顶点的横坐标不在给定的区间上，则
a〉0时：
最小值在离对称轴近的端点处取得，最大值在离对称轴远的端点处取得;
以0时：
最大值在离对称轴近的端点处取得，最小值在离对称轴远的端点处取得。
26.一元二次方程实根分布问题解法：
1将方程的根视为二次函数的图像与x轴交点的横坐标；
2从抛物线开口方向、对称轴、判别式、区间端点函数值等方面分析限制条件。
27.分式函数y二（ax+b）/（cx+d）的图像画法：
①确定定义域渐近线x-d/c；②确定值域渐近线y=a/c；③根据y轴上的交点坐标确定曲线所在象限位置。
2&指数运算法则：
Q>0,b>0,m,n丘R）
®an-a=aB，n；②吐列；③（叨壬屮；④纟二忙；⑤（ab）n=an-bnobb”
化为质因数的幕的形式、化根式为分数指数幕、化负指数幕为正指数幕等都是指数运算的常用方法。
29.对数的定义及对数式及指数式Z间的相互转化关系:
二NOb=logaN（其中a>0且aHl,N>0）。
特别地，常用对数（以10为底的对数）：
log10N=lg\；
自然对数（以无理数e~2・71828为底的对数）：
logeN=lnNo
①负数和零没有对数；②1的对数是零，正数本身的对数是1。
即logal=0,logfIa=l（a>0且aHl）；③对数恒等式:
aiogaN=N（a>0且aHl）。
30.
对数运算法则：
（2）loga（M/N）=loguM-logaN；
（5）loga„M=—logaM；
（8）廳皿二咚輕（换底公式）;
logba
（10）logb=1o这里a>0且aHl,b>0且bHl,且M>0,N>0,m,neN*,n>lo为基本公式
'logba
31.指数函数、对数函数的图像与性质:
名
称
指数函数
对数函数
定
义
y=ax（a>0且aHl）
y=logax（a>0且aH1）
定义
域
（—8,+8）
（0,+8）
值
域
（0,+8）
（—8,+8）
图
a>l
象
0过定点
（0,1）
（1,0）
单调性
a>l
在泄义域内单调递增
在定义域内单调递增
0在定义域内单调递减
在定义域内单调递减
函数值的
变化情况
a>l
”>l（x>0）e（0,l）（x<0）
>0（x>1）
<0（00y
6（0,1）（兀>0）
>l（x<0）
<0（兀>1）
>0（0■
奇偶性
无
无
在第一象限内，函
数图像与底数关系
底数越大，图象越靠近y轴；底数越小，图象越靠近X轴。
底数越大，图象越靠近X轴；
底数越小，图象越靠近y轴。
32.比较两个指数或对数的大小的基本力法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。
33.抽彖函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：
①f（xi+x2）=f（xi）+f（x2）:
正比例函数f（x）二kx（kHO）；
2f（xi+x2）=f（xi）•f（x2）；f（xi-x2）=f（x））/f（x2）:
指数函数y=ax；
3f（xi・X2）二f（x】）+f（x?
）；f（xi/x2）=f（xi）-f（x2）:
对数函数y=logax；
4f（xi*x2）=f（xi）•f（X2）；f（xi/x2）=f（xi）/f（X2）:
幕函数y=xao
34.如果f（a+x）=f（b-x）成立，则y=f（x）图像关于x=（a+b）/2对称；特别地,f（x）=f（-x）成立,贝>Jy=f（x）图像关于y轴对称。
如果f（a+x）=f（b+x）成立（aHb）,则y=f（x）是周期函数,21a-b|是它的一个周期;
两个函数y=f（a+x）和y二f（b-x）的图象关于直线x=-~~对称。
2
35.a>f（x）恒成立Oa>f（x）的最大值;aa>f（x）tH有解U>a>f（x）的最小值；aaa=f（x）恒有解Ofmin（x）WaWfmax（x）o
【题型1】映射与函数的概念问题
映射与函数的概念是学习函数的基础，应予以充分重视。
例1.设集合A和B都是坐标平面上的点集{（x,y）|xeR,yeR},映射f:
AtB使集合A中的元素（x,y）映射成集合B屮的元素（x+y,x-y）,则在映射f下，（2,1）的原彖是（）A.（3,1）B.（-,1）C.（-,-1）D.（1,3）
2222
例2.下列各组函数中，是同一函数的是（）
B.y=logaX2与y=21oguX（其中a>0且aHl）
C.y=|x+1|与y二U（X+1）
D.y=（g与y=b艮八（其中a>0且a^l）
【题型2】函数的定义域问题
1.己知函数解析式，求函数定义域
例3•求下列函数定义域:
2.复合函数的定义域
例4.若y二f（x+3）的定义域是[-5,-2],则y二f（x+1）+f（xT）的定义域是。
3.实际问题所确定的函数定义域问题
例5.—个圆柱形容器的底面直径为dcm,高度为hcm,现以每秒son'的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液高度y与注入时间t（秒）的函数关系式及其定义域。
4.己知函数定义域，求参数的值或范RI
例6.已知函数y=Jmx，-6mx+m+8的定义域是R,则实数m的取值范围是。
【题型3]求函数解析式问题
1.凑配法例7.已知f（Vx+l）=x+2Vx,则f（x）二。
2.换元法以上题为例。
3.待定系数法例&如果f[f（x）]=4x-l,则整系数一次函数f（x）二o
4.消元法例9.设f（x）是定义在（0,+oo）上的一个函数，且有f（x）=2/'（丄）•娱-1，则f（x）=。
5.特殊值法例10.设f（x）是R上的函数,且满足f（0）=l,并且对任意实数x,y都有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+l）,
则f（x）的表达式是o
【题型4】求函数值问题
f[f（n-18）]（n>2000）
例11.设定义在N上的函数f（n）=/n+l3（n-2000）,则f（2003）二。
例12.设函数y=f（x）=Jl—（x—1尸（OWxWl）的反函数为f1（x）,则f-'（l）的值为
例13.已知f（cosx）=l-sin2x,x（0,—）,则f（sin2L）=。
212
【题型5】函数值域与最值问题
函数的值域与函数的最值是反映函数值的范围的两个概念，因而它们之间既有分别又有联系，在初等函数中，求
函数的值域与求函数的最值方法相同。
1.已知函数解析式，求函数值域（最值）
函数值域是由函数定义域及法则唯一确定的，因此在求函数值域（最值）时，应首先考虑函数定义域。
其方法主要
有：
图彖法、配方法、换元法、单调性法、逆求法、判别式法、不等式法、导数法、分离常数法，等等。
例14.求下列函数的值域：
2
（1）y=V3x-74-x2
（2）y=—（x>3）
x-3
2.几何最值
例15.边长为a的正方形ABCD中，M、N分别是AB、CD上的点，沿眼将梯形BCNM翻折，使B点落在AD上，问怎样才能使被折的梯形BCNM的面积最小？
3.函数值域的逆向问题
例16.已知函数f（x）=2/+bx+c（bvo）的值域是［1,3］,求b,c之值。
x2+1
【题型6】函数图象的有关问题
函数图象是函数性质的直观反映，应用十分广泛。
1•作函数的图象
例17.作下列函数的图象：
（1）y=2xl-l
（2）y=log2|x+l|
2.利用图象变换求解析式
例1&已知函数f（x）的图彖沿直线y二-x向右下方平移2血个单位，得到函数y=lgx的图象，则f（x）的解析式为（）
A.f（x）=lg（x+2）+2B.f（x）=lg（x-2）+2C.f（x）=lg（x~2）-2D.f（x）=lg（x+2）-2
3.函数图象的应用问题
例19.方程j4+4x-X?
=上△的实根共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个
x-1
【题型7】函数的单调性
1.证明函数单调性
例20.用定义证明函数f（x）=（l）x2~2x+3在［1,+°°）上是减函数。
例21.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在（-co,0）上单调递增,判断函数f（x）在（0,+oo）上的单调性，并证明你的
2.讨论函数的单调性
例22.讨论函数f（x）=-^-（-l1_x~
3.求函数的单调区间
求函数单调区间的常用方法有：
图彖法、定义法、复合函数法、导数法等。
例23.函数f（x）=log2（-x2+2x+8）的递增区间是。
4.己知函数单调区间，确定参数取值范围
例24.设f（x）=^±l在（-2,+8）上为增函数，则实数a的取值范圉是o
x+2
5.函数单调性的应用
函数单调性的应用主要有：
比较函数值或代数式的大小；解方程或不等式。
例25.设尸f（x）是R上的单调函数，证明：
方程f（x）=O在R上至多有一个实数根。
【题型8】函数的奇偶性
1.判断函数的奇偶性
例26.判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=lg（4+x）+lg（4-x）
（2）f（x）=«67x'O
1-e~x,x<0
2.已知函数的奇偶性，求参数值
例27.已知f（x）=x•（丄+町是偶函数，则实数a之值为o
2X-1
3.已知函数的奇偶性，求函数解析式
例28.已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f（x）=log2（x+l）,则当x<0时,f（x）的解析式是
【题型9】函数性质的综合问题
例29.已知f（x）是定义在整数集Z上的奇函数，且对定义域内的任意x,有f（x）=f（x-l）+f（x+l）,若f（l）=88,
则f（2003）=o
例30、设函数f（x）对于任意的实数x,y,都有f（x+y）=f（x）+f（y）,且x>0时，f（x）<0,f（l）=-29
（1）求证:
f（x）
是奇函数；
（2）试问：
当xg[-3,3]时，f（x）是否有最值？
若有，求出最值；若没有，说明理由。
【题型10】函数的应用问题
应用题的解法一般遵循以下步骤：
①阅读理解，认真审题；②引入数学符号，建立数学模型；③解答数学模型，求得结杲；④将结杲转译成实际问题。
例31.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0（1）写出本年度的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围？
题型11、函数、方程、不等式三者联系问题
例33、设函数f（x）=7x2+1-ax,其中a>0。
（1）解不等式f（x）Wl；
（2）求a的取值范围，使函数f（x）在区间［0,+8）上是单调函数。
例34.设a,b,cWR,且它们的绝对值都不大于1,求证：
ab+bc+ca+lM0。
［练习］
练习1.求函数y二x「2x+l在［0,2］上的值域是o
练习2.已知函数f（x）满足f（cosx-1）二cos'x,则f（x）的解析式为o
练习3.设xHk兀（kEZ）,贝!
J函数y=sin2xH彳一的最小值是。
sin2x
43
练习4.函数f（x）=x+x的奇偶性是（）
X+1
A・奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数
练习5.函数y=log（,5（xMx+3）的单调增区间是o
练习6.已知函数fE-3）=lg-^—,则函数f（x）的定义域是o
x_-4
练习7.函数y=x+VD的最小值是o
练习&函数y=X—X_2的值域是o
x2+3x+2
练习9.对所有的实数x,不等式x2log/（a+1）4-2xlog,—4-logJa+!
）2>0恒成立，求实数辺的取值范围。
a'a+1_4a2
［数学思想方法］
1.数形结合法
例1.已知8>0,且3工1,使方程loga（x-ak）=loga2（x2-a2）有解的实数k的取值范围是。
2.分类讨论思想
例2.求函数y=ax2-2x+l（aGR）在［T,1］上的最值。
例3.已知函数f（x）=mx'+（in-3）x+l的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m的収值范围是。
3.转化与化归思想
例4.已知过原点O的一条直线与函数y=log.sx的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点。
（1）证明：
C,D和原点0在同一直线上；
（2）当BC平行于x轴吋，求点A的坐标。
例5.定义在［-2,2］上的偶函数f（x）在区间［0,2］上单调递减，若f（l-m）4.对称思想
例6.己知f（x+1）是偶函数，且当xWl时，f（x）=x2+x,则当x>l时，f（x）的解析式为o
5.方程思想
例7.函数f（x）满足af（x）+bf（—）=cx（abc0,a2b2）»则f（x）二。
x
6.函数思想
例&若关于x的方程cos2x-sinx+a=0在（0,兰］上有解，则实数a的収值范围是。
2
7.方程思想
例9.函数y=2x+7x24-x+l的值域是o
8.整体思想
例10.设a>0,b>0且aHb,求函数y=（asin2x+bcos2x）•（acos2x+bsin2x）何时取得最大值?
最大值是多少?
9.逆反思想
例11.已知f（x）是定义在（0,+s）上的增函数，f
（2）二1,且对任意正数x,y,都有f（xy）=f（x）+f（y）,则满足f（a）+f（a-2）<3的实数8的取值范围是。
例12.设函数f（x）=4x-2x+l+l（x>0）的反函数为厂（x）,则f'⑼二o
10.换元思想
例13.若关于x的方程4x+2x-a+a+l=0有实根，则a的取值范围是。
［强化训练］
1.已知映射f:
AtB,其中集合A={-3,-2,-1,0,1,2,3,4},集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的aeA,在B中的对应元素是|a|,则集合B中的元素个数是（）
A、4B、5C、6D、7
2.设函数y=f（x）定义在实数集上，则函数y=f（x-1）与函数y=f（1-x）的图象关于直线（）对称。
A、y二0B、x=0C、y=lD、x=l
3.已知f（x）二ksinx+ax"+bx-8,且f（-2）=10,那么f
（2）=（）
A、-26B、-18C、18D、10
4.若奇函数f（x）在区间［3,7］上是增函数且最小值为5,那么f（x）在［-7,-3］上是（）
A、增函数且最小值为-5B、增函数且最大值为-5
C、减函数且最小值为-5D、减函数且最大值为-5
5.函数y=竺二二的反函数是（）
2
A^奇函数，它在（0,+8）上是减函数B、偶函数，它在（0,+8）上是减函数
C、奇函数，它在（0,+8）上是增函数D、偶函数，它在（0,+->）上是增函数
6.定义在（_8,+8）上的任意函数f（x）都可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和。
如果f（x）=lg（10x+l）,x
W（-8,4-00）,那么（）
A.g（x）=x,h（x）=lg（10x+10_x+2）
B.g（x）=1[lg（10x+l）+x],h（x）=l[lg（10x+l）-x]
22
C.g（x）=—,h（x）=lg（10x+l）-_
22
D.g（x）=-—,h（x）=lg（10x+l）+—
22
7.若函数y=f（x）的反函数是y=g（x）,f（a）=b,abHO,则f*b）（）
A.aB.a1C.bD.b1
&若a>b>l,M=Jlga•lgb,N=—（lga+lgb）»p=]ga+,
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