即在给定x(0-)和A、B的条件下求可以使x(t)=x(t1)的u(t)。
换言之:
上述方程有解则系统能控。
根据凯莱-哈米尔顿定理,e-At、eAt可写成有限级数:
如果方程有解,等式右边左侧矩阵应满秩=n,此时系统是可控的。
求可控性:
n=4满秩所以系统是可控的
可观性定义:
当系统用状态方程描述时,给定控制后,如果系统的每一个初始状态x(0-)都可以在有限的时间内通过系统的输出y(t)唯一确定,则称系统完全可观。
若只能确定部分初始状态,则称系统部分可观。
有状态方程x’(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)其解为
由于在讨论能观性问题时,输入是给定的,上式右侧第二项是确知的,设u(t)=0。
y(t)=CeAtx(0-)。
根据凯莱-哈米尔顿定理,e-At、eAt可写成有限级数:
如果方程有解,等式右侧中间侧矩阵应满秩。
其中,秩=n(系统的阶数)
求可观性:
n=4满秩所以系统是可观的
6求系统的输入输出传递函数
对于两输入两输出的系统求得的传递函数是一个二阶的传递函数阵,其中包含四个传递函数
Transferfunctionfrominput1tooutput...
s^2+4.5s+200
#1:
--------------------------------------------
s^4-4.5s^3+541.5s^2-1800s+3.5e004
3s+150
#2:
--------------------------------------------
s^4-4.5s^3+541.5s^2-1800s+3.5e004
Transferfunctionfrominput2tooutput...
3s+150
#1:
--------------------------------------------
s^4-4.5s^3+541.5s^2-1800s+3.5e004
0.5s^2-4.5s+200
#2:
--------------------------------------------
s^4-4.5s^3+541.5s^2-1800s+3.5e004
矩阵函数阵:
7分析开环稳定性
稳定性定义是系统在受到小的外界扰动后,系统状态方程解的收敛性。
系统正常工作要求是系统在受到外界扰动后,虽然其原平衡状态被打破,但在扰动消失后,仍然能恢复到原来的平衡状态,或者趋于另一平衡状态继续工作,且线性系统稳定性与输入作用无关。
研究系统的稳定性对于研究系统能否正常工作具有很重要的意义,稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件,是系统的重要特征。
我们不仅要分析一个系统是否稳定还要解决的问题便是怎样使一个系统稳定。
经典控制理论稳定性判别方法有很多,例如代数判据,niquist判据,根轨迹判据等。
而现代控制理论经常用李雅普诺夫第二法求稳定性。
(1)利用特征根的方法
根据上述结果求得的特征根为0.3667+21.5183i0.3667+21.5183i1.8833+8.4864i1.8833-8.4864i,四个特征值全部都在坐标轴的右半平面,所以系统是不稳定的。
(2)利用利亚普诺夫第二法求解
其中:
将其换成矩阵形式
可以看出A不是正定的,所以系统不稳定。
8利用状态反馈将系统的闭环极点配置到合适的值
状态反馈是将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输入相加,其和作为受控系统的控制输入。
原受控对象为经过状态反馈后得到的闭环系统为
闭环系统期望极点选取原则为以下几点:
1)n维控制系统有n个期望极点;
2)期望极点是物理上可实现的,为实数或共轭复数对;
3)期望极点的位置的选取,需考虑它们对系统品质的影响(离虚轴的位置),及与零点分布状况的关系。
4)离虚轴距离较近的主导极点收敛慢,对系统性能影响最大,远极点收敛快,对系统只有极小的影响。
闭环极点0.3667+21.5183i0.3667-21.5183i1.8833+8.4864i1.8833-8.4864i
配置状态反馈后,系统应稳定,所以期望极点应在虚轴左侧,所以期望闭环极点-1.1001+64.5549i-1.1001-64.5549i-5.6499+25.4952-5.6499-25.4952
得到极点配置矩阵
K=
1.0e+003*
1.2556-0.03750.0157-0.0332
0.97182.89690.08390.004
验证极点配置结果是正确的:
ans=
-1.1001-64.5549i-1.1001+64.5549i-5.6499-25.4952i-5.6499+25.4952i
求得开环传递函数阶跃响应曲线(没有经过状态反馈的):
没有上升时间
经过状态反馈的传递函数:
状态空间表达式为
Matlab解得闭环传递函数:
s^2+6.758s+1648
#1:
--------------------------------------------------
s^4+13.5s^3+4875s^2+4.86e004s+2.843e006
-38.95s-335.9
#2:
--------------------------------------------------
s^4+13.5s^3+4875s^2+4.86e004s+2.843e006
Transferfunctionfrominput2tooutput...
19.59s+168.7
#1:
--------------------------------------------------
s^4+13.5s^3+4875s^2+4.86e004s+2.843e006
0.5s^2+3.371s+827.8
#2:
--------------------------------------------------
s^4+13.5s^3+4875s^2+4.86e004s+2.843e006
反馈后的阶跃响应:
阶跃响应上升时间是0.034s,配置后系统最终稳定。
9设计全维状态观测器
不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。
需要从系统的可量测参量,如输入u和输出y来估计系统状态。
状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变量u来估计状态变量,是一个物理可实现的模拟动力学系统。
如果系统状态是完全能观测的,那么根据输出y的测量,可以唯一的确定系统的初始状态,所以只要满足一定的条件,便可以从可测量y和u中把x间接重构出来。
全维渐进状态结构图:
系统的原极点为0.3667+21.5183i0.3667+21.5183i1.8833+8.4864i1.8833-8.4864i
期望极点应是原极点的2-5倍,并不是越快越好。
期望极点为-1.4668+86.0732i-1.4668-86.0732i-7.5332+33.9456i-7.5332-33.9456i
相应的全维观测器是:
10带观测器的输出状态空间表达式:
D=0
分别得到输出和观测状态的传递函数:
Transferfunctionfrominput"y1"tooutput...
17.51s^3+5899s^2+1.23e005s+7.911e006
y1_e:
------------------------------------------------
s^4+18s^3+8664s^2+1.152e005s+8.96e006
-52.62s^3+359.1s^2-6844s+4.369e005
y2_e:
------------------------------------------------
s^4+18s^3+8664s^2+1.152e005s+8.96e006
17.51s^3+5899s^2+1.23e005s+7.911e006
x1_e:
------------------------------------------------
s^4+18s^3+8664s^2+1.152e005s+8.96e006
-52.62s^3+359.1s^2-6844s+4.369e005
x2_e:
------------------------------------------------
s^4+18s^3+8664s^2+1.152e005s+8.96e006
3200s^3+9.295e004s^2+7.698e006s+3.967e006
x3_e:
--------------------------------------------------
s^4+18s^3+8664s^2+1.152e005s+8.96e006
122.3s^3+1.405e005s^2-8571s+5.737e007
x4_e:
------------------------------------------------
s^4+18s^3+8664s^2+1.152e005s+8.96e006
Transferfunctionfrominput"y2"tooutput...
51.13s^3+1379s^2+2.945e004s+8.583e005
y1_e:
------------------------------------------------
s^4+18s^3+8664s^2+1.152e005s+8.96e006
4.985s^3+5001s^2+1.152e005s+8.303e006
y2_e:
------------------------------------------------
s^4+18s^3+8664s^2+1.152e005s+8.96e006
51.13s^3+1379s^2+2.945e004s+8.583e005
x1_e:
------------------------------------------------
s^4+18s^3+8664s^2+1.152e005s+8.96e006
4.985s^3+5001s^2+1.152e005s+8.303e006
x2_e:
------------------------------------------------
s^4+18s^3+8664s^2+1.152e005s+8.96e006
1609s^3-1.337e005s^2+1.373e006s-1.853e007
x3_e:
--------------------------------------------------
s^4+18s^3+8664s^2+1.152e005s+8.96e006
2246s^3+2.437e004s^2+6.754e006s-4.844e007
x4_e:
--------------------------------------------------
s^4+18s^3+8664s^2+1.152e005s+8.96e006
Inputgroups:
NameChannels
Measurement1,2
Outputgroups:
NameChannels
OutputEstimate1,2
StateEstimate3,4,5,6
分析其稳定性
根据阶跃响应图来看系统是稳定的,并且上升时间为0.0015s
附录:
A=[0010;0001;-40030096;150-2003-4.5]
B=[00;00;10;00.5]
C=[1000;0100]
D=0;
G=ss(A,B,C,D)
Gc=tf(G)
Po=[-1.1001+64.5549i-1.1001-64.5549i-5.6499+25.4952i-5.6499-25.4952i]
K=place(A,B,Po)
a=A-B*K
g=ss(a,B,C,D)
gc=tf(g)
eig(a)'
P1=[-1.4668+86.0732i-1.4668-86.0732i-7.5332+33.9456i-7.5332-33.9456i]
L=place(A',C',P1)'
est=estim(G,L)
step(est)
tf(est)
结束语:
这次大作业是把正本现代控制理论书的内容串联起来,现代控制理论是从状态空间表达式出发研究一个系统的稳定性和控制品质,而自动控制原理则是从输入输出出发来研究一个系统的,这份大作业的最终目的是要设计一个状态观测器去改变系统的控制品质,通过这次大作业,我锻炼了自己查找信息的能力,无论是从网上或者是书籍上,培养了自己自主学习的能力和做一项任务的能力,我通过去图书馆查阅相关的书籍,上搜索引擎去搜索相关的内容,解答做大作业是的困惑。
还有就是学习了matlab软件的使用。
判断系统的能控能观性以及稳定性,状态空间表达式和传递函数之间的化简,都是为世纪一个状态观测器所服务的。
总之,通过这次大作业,收获不少的,不同于传统考核,让我书上所学和知识和实践相结合的机会,真正锻炼了自己各方面的能力,提高自己的实践能力。
华北电力大学