超几何分布和二项分布的联系和区别.docx
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超几何分布和二项分布的联系和区别
超几何分布和二项分布的联系和区别
开滦一中张智民
在最近的几次考试中，总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢？
什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?
什么时候用超几何分布的公式去解决呢?
好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的回答就出现在教材上，人教版新课标选修2—3从两个方面给出了很好的解释。
诚可谓：
众里寻他千XX,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处！
一、两者的定义是不同的
教材中的定义：
（一）超几何分布的定义
在含有M件次品的N件产品中,任取n件，其中恰有X件次品,则P（X=k）=,，m，其中m=min{M，n｝，且n≤N,M≤N，n，M，N∈N,称随机变量X服从超几何分布
（二）独立重复试验和二项分布的定义
1）独立重复试验：
在相同条件下重复做的n次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n次独立重复试验，其中A（i=1，2,…,n）是第ⅰ次试验结果,则
P（A1A2A3…An）=P（A1）P（A2）P（A3）…P（An）
2）二项分布
在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为P,则P（X=k）=（k=0,1，2,…，n），此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B（n,p）,并称P为成功概率。
1。
本质区别
（1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，二项分布描述的是放回抽样问题;
（2）超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题;二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题
2。
计算公式
超几何分布：
在含有M件次品的N件产品中,任取n件，其中恰有X件次品，则P（X=k）=,,m,
二项分布：
在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为P，则P（X=k）=（k=0,1,2,…，n），
温馨提示:
当题目中出现“用样本数据估计XXX的总体数据”时,均为二项分布问题。
比如2017-2018高三上学期期末考试19题.
二、二者之间是有联系的
人教版新课标选修2-3第59页习题2。
2B组第3题：
例.某批n件产品的次品率为2％,现从中任意地依次抽出3件进行检验，问：
（1）当n=500,5000,500000时,分别以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到1件次品的概率各是多少?
（2）根据
（1）你对超几何分布与二项分布的关系有何认识？
人教版配套的教学参考上给出了如下的答案与解释说明
【解】
（1）在不放回的方式抽取中,每次抽取时都是从这n件产品中抽取,从而抽到次品的概率都为0。
02.次品数X～B（3,0。
02）,恰好抽到1件次品的概率为
P（X=1）=×0。
02×（1-0.02）2=3×0。
02×0.982≈0.057624。
在不放回的方式抽取中，抽到的次品数X是随机变量,X服从超几何分布,X的分布与产品的总数n有关,所以需要分3种情况分别计算
①n=500时，产品的总数为500件,其中次品的件数为500×2%=10，合格品的件数为490.从500件产品中抽出3件,其中恰好抽到1件次品的概率为
②n=5000时,产品的总数为5000件,其中次品的件数为5000×2％=100，合格品的件数为4900。
从5000件产品中抽出3件,其中恰好抽到1件次品的概率为
③n=50000时,产品的总数为50000件，其中次品的件数为50000×2%=1000,合格品的件数为49000.从50000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概
（2）根据
（1）的计算结果可以看出,当产品的总数很大时，超几何分布近似为二项分布.这也是可以理解的,当产品总数很大而抽出的产品较少时,每次抽出产品后,次品率近似不变,这样就可以近似看成每次抽样的结果是互相独立的，抽出产品中的次品件数近似服从二项分布
【说明】由于数字比较大，可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外本题目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系:
第一,n次试验中,某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时,X服从二项分布;当这n次试验是不放回摸球问题,事件A为摸到某种特性（如某种颜色）的球时,X服从超几何分布.
第二,在不放回n次摸球试验中，摸到某种颜色的次数X服从超几何分布,但是当袋子中的球的数目N很大时,X的分布列近似于二项分布，并且随着N的增加，这种近似的精度也增加.
从以上分析可以看出两者之间的联系：
当调查研究的样本容量非常大时,在有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布
下面看相关例题
例1.（2016·漯河模拟）寒假期间，我市某校学生会组织部分同学，用“10分制"随机调查“阳光花园”社区人们的幸福度。
现从调查人群中随机抽取16名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶）,若幸福度分数不低于8.5分,则称该人的幸福度为“幸福”
（1）求从这16人中随机选取3人,至少有2人为“幸福”的概率；
（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人,记ξ表示抽到“幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望
先不要急于看答案,大家先自己解一下这道题再往下看,会有意想不到的收获哦
[错解］
（1）由茎叶图可知,抽取的16人中“幸福”的人数有12人,其他的有4人;记“从这16人中随机选取3人,至少有2人是“幸福”,"为事件A。
由题意得
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3
则;；
;；
所以ξ的分布列为
[错解分析]第二问的选人问题是不放回抽样问题，按照定义先考虑超几何分布，但是题目中又明确给出：
“以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,从该社区（人数很多）任选3人”,说明不是从16人中任选3人，而是从该社区（人数很多）任选3人,所以可以近似看作是3次独立重复试验,应该按照二项分布去求解,而不能按照超几何分布去处理
【正解】
（1）
（1）由茎叶图可知，抽取的16人中“幸福”的人数有12人，其他的有4人;记“从这16人中随机选取3人，至少有2人是“幸福"，"为事件A.由题意得
2）由茎叶图知任选一人，该人幸福度为“幸福”的概率为，ξ的可能取值为0,1，2,3,显然
则；；
；;
从以上解题过程中我们还发现,错解中的期望值与正解中的期望值相等，好多学生都觉得不可思议,怎么会出现相同的结果呢?
其实这还是由于前面解释过的原因,超几何分布与二项分布是有联系的,看它们的期望公式：
（1）在含有M件次品的N件产品中，任取n件,其中恰有X件次品，随机变量Ⅹ服从超几何分布,超几何分布的期望计算公式为EX=（可以根据组合数公式以及期望的定义推导）；
（2）随机变量X服从二项分布，记作X～B（n,p），EX=np；
当超几何分布中的时，，此时可以把超几何分布中的不放回抽样问题,近似看作是有放回抽样问题，再次说明时,可以把超几何分布看作是二项分布.
总结：
综上可知,当提问中涉及“用样本数据来估计总体数据”字样的为二项分布。
高考解题中,我们还是要分清超几何分布与二项分布的区别,以便能正确的解题,拿到满分.相信各位同学们手中都应该有历年真题卷和2018的模拟试卷吧，快去找几道二项分布和超几何分布的概率大题试试吧,争取概率满分，加油！
再比如：
18.（本小题满分12分）（百所名校高考模拟金典卷五）
为了调查观众对某电视娱乐节目的喜爱程度，某人在甲、乙两地各随机抽取了8名观众做问卷调查（满分100分），现将结果统计如下图所示
（1）计算甲、乙两地被抽取的观众的问卷得分的平均分以及方差，并根据统计知识简单说明丽甲、乙两地观众对该电视娱乐节目的喜爱程度；
（2）以频率估计概率,若从甲地观众中再随机抽取3人进行问卷调查，记问卷分数超过80分的人数为E,求的分布列与数学期望
请看原题答案，居然是错解：
正解:
（1）同上。
（2）因为题中说：
以频率估计概率，即以该频率来估计甲地区的整体情况，“若从甲地观众中再随机抽取3人”即时强有力的证据，所以此题应为二项分布，而非超几何分布.
超过80分的频率为,即概率p=,的可能取值为0，1，2，3,
，,
；
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E（X）=np=。
而下面这道题，就应该是超几何分布啦！
18.（本小题满分12分）（2018石家庄质检一）某学校为了解高三复习效果,从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：
（1）求m的值;并且计算这50名同学数学成绩的样本平均数
（Ⅱ）该学校为制定下阶段的复习计划,从成绩在[130,150]的同学中选出3位作为代表进行座谈,记成绩在140,150]的同学人数为ξ，写出ξ的分布列,并求出期望。
18.解（Ⅰ）由题
解得………3分
………6分
（Ⅱ）成绩在的同学人数为6,,在的同学人数为4，从而的可能取
值为0,1，2，3，
所以的分布列为
0
1
2
3
………10分
………12分
18.（本小题满分12分）（2018百所名校示范卷五）
“共享单车"是城市慢行系统的一种模一A城市B城市式创新,对于解决民众出行“最后一公1公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉,各种共享单车受到人们的热捧。
某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵的A城市和交通严重拥堵的B城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，若评分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”,否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，并绘制出茎叶图如图。
（1）请根据此样本完成下面的2×2列联表,并据此样本分析是否能在犯错的概率不超过10%的情况下认为交通拥堵与认可共享单车有关；
（2）若以A城抽取的这20个用户的样本数据来估计整个A城的总体数据，现从A城任选3名用户，记X表示抽到用户为对此种交通方式“认可”的人数，求X的分布列及数学期望
参考公式：
其中n=a+b+c+d。
参考数据：
P（K2〉k0）
0.10
0.05
0。
025
0。
010
0.005
0.001
k0
2.706
3。
841
5。
024
6.635
7。
879
10。
828
A
B
合计
认可
5
10
15
不认可
15
15
25
合计
20
20
40
解：
（1）K2的观测值
k=所以不能在犯错误的概率不超过10％的情况下认为城市拥堵与认可共享单车有关。
（2）X的可能取值为0，1，2，3
，，
，；
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E（X）=np=.
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