两个水龙头可参见排队方法，但排队方法不唯一。
有一个原则:
（A+F）<（B+G）<（C+H）<（D+I）<（E+J）
6.用140个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下92个小正方体（见右图）.留下的多面体的表面积是________.
【答案】142.
【解】大长方体的长、宽、高都大于2，否则所有的小正方体都在棱上，与题意不符.140分解成3个大于2的自然数的乘积只有457，所以大长方体的长、宽、高分别是4，5，7，表面积是
（45+47+57）2=166.
拆下沿棱的小正方体后，对比原来的表面积，相当于每个面减少4或每个角减少3，表面积为
166-46=142或166-38=142.
【提示】整体思考的经典范例，一是从整体考虑前后表面积的变化关系，看变化可以简化运算。
二是，如何看变化，本题可以用“阳光照面”法。
7.在三位数中，个位、十位、百位都是一个数的平方的共有个。
【答案】48
【解】百位有1、4、9三种选择，十位、个位有0、1、4、9四种选择。
满足题意的三位数共有
3×4×4＝48（个）。
8.老师在黑板上写了一个自然数。
第一个同学说：
“这个数是2的倍数。
”第二个同学说：
“这个数是3的倍数。
”第三个同学说：
“这个数是4的倍数。
”……第十四个同学说：
“这个数是15的倍数。
”最后，老师说：
“在所有14个陈述中，只有两个连续的陈述是错误的。
”老师写出的最小的自然数是。
【答案】60060
【解】2，3，4，5，6，7的2倍是4，6，8，10，12，14，如果这个数不是2，3，4，5，6，7的倍数，那么这个数也不是4，6，8，10，12，14的倍数，错误的陈述不是连续的，与题意不符。
所以这个数是2，3，4，5，6，7的倍数。
由此推知，这个数也是（2×5=）10，（3×4=）12，（2×7）14，（3×5=）15的倍数。
在剩下的8,9,11,13中，只有8和9是连续的，所以这个数不是8和9的倍数。
2，3，4，5，6，7，10，11，12，，13，14，15的最小公倍数是22×3×5×7×11×13=60060。
12.小王和小李平时酷爱打牌，而且推理能力都很强。
一天，他们和华教授围着桌子打牌，华教授给他们出了道推理题。
华教授从桌子上抽取了如下18张扑克牌：
红桃A，Q，4黑桃J，8，4，2，7，3，5
草花K，Q，9，4，6，lO方块A，9
华教授从这18张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉小王，把这张牌的花色告诉小李。
然后，华教授问小王和小李，“你们能从已知的点数或花色中推断出这张牌是什么牌吗?
小王：
“我不知道这张牌。
”
小李：
“我知道你不知道这张牌。
”
小王：
“现在我知道这张牌了。
”
小李：
“我也知道了。
”
请问：
这张牌是什么牌?
【答案】方块9。
【解】小王知道这张牌的点数，小王说：
“我不知道这张牌”，说明这张牌的点数只能是A，Q，4，9中的一个，因为其它的点数都只有一张牌。
如果这张牌的点数不是A，Q，4，9，那么小王就知道这张牌了，因为A，Q，4，9以外的点数全部在黑桃与草花中，如果这张牌是黑桃或草花，小王就有可能知道这张牌，所以小李说：
“我知道你不知道这张牌”，说明这张牌的花色是红桃或方块。
现在的问题集中在红桃和方块的5张牌上。
因为小王知道这张牌的点数，小王说：
“现在我知道这张牌了”，说明这张牌的点数不是A，否则小王还是判断不出是红桃A还是方块A。
因为小李知道这张牌的花色，小李说：
“我也知道了”，说明这张牌是方块9。
否则，花色是红桃的话，小李判断不出是红桃Q还是红桃4。
【提示】在逻辑推理中，要注意一个命题真时指向一个结论，而其逆命题也是明确的结论。
10.
【答案】
【解】将分子、分母分解因数：
9633＝3×3211，35321=11×3211
【提示】用辗转相除法更妙了。
12.已知三位数的各位数字之积等于10，则这样的三位数的个数是_____个.
【答案】6
【解】因为10＝2×5，所以这些三位数只能由1、2、5组成，于是共有
＝6个．
12.下图中有五个三角形，每个小三角形中的三个数的和都等于50，其中A7＝25，A1＋A2＋A3＋A4＝74，A9＋A3＋A5＋A10＝76，那么A2与A5的和是多少？
【答案】25
【解】有A1+A2+A8＝50，
A9+A2+A3＝50，
A4+A3+A5＝50，
A10+A5+A6＝50，
A7+A8+A6＝50，
于是有A1+A2+A8+A9+A2+A3+A4+A3+A5+A10+A5+A6+A7+A8+A6＝250，
即（A1+A2+A3+A4）+（A9+A3+A5+A10）+A2+A5+2A6+2A8+A7＝250.
有74+76+A2+A5+2（A6+A8）+A7＝250，而三角形A6A7A8中有A6+A7+A8＝50，其中A7＝25，所以A6+A8＝50－25＝25.
那么有A2+A5＝250－74－76－50－25＝25.
【提示】上面的推导完全正确，但我们缺乏方向感和总体把握性。
其实，我们看到这样的数阵，第一感觉是看到这里5个50并不表示10个数之和，而是这10个数再加上内圈5个数的和。
这一点是最明显的感觉，也是重要的等量关系。
再“看问题定方向”，要求第2个数和第5个数的和，
说明跟内圈另外三个数有关系，而其中第6个数和第8个数的和是50-25＝25,
再看第3个数，在加两条直线第1、2、3、4个数和第9、3、5、10个数时，重复算到第3个数，
好戏开演：
74+76+50＋25+第2个数＋第5个数＝50×5
所以第2个数＋第5个数＝25
一、填空题：
1满足下式的填法共有种?
口口口口-口口口=口口
【答案】4905。
【解】由右式知，本题相当于求两个两位数a与b之和不小于100的算式有多少种。
a=10时，b在90
99之间，有10种；
a=11时，b在89
99之间，有11种；
……
a=99时，b在1
99之间，有99种。
共有
10+11+12+……99=4905（种）。
【提示】算式谜跟计数问题结合，本题是一例。
数学模型的类比联想是解题关键。
4在足球表面有五边形和六边形图案（见右上图），每个五边形与5个六边形相连，每个六边形与3个五边形相连。
那么五边形和六边形的最简整数比是_______。
【答案】3︰5。
【解】设有X个五边形。
每个五边形与5个六边形相连，这样应该有5X个六边形，可是每个六边形与3个五边形相连，即每个六边形被数了3遍，所以六边形有
个。
6用方格纸剪成面积是4的图形，其形状只能有以下七种：
如果用其中的四种拼成一个面积是16的正方形，那么，这四种图形的编号和的最大值是______．
【答案】19.
【解】为了得到编号和的最大值，应先利用编号大的图形，于是，可以拼出，由：
（7），（6），（5），
（1）；（7），（6），（4），
（1）；（7），（6），（3），
（1）组成的面积是16的正方形：
显然，编号和最大的是图1，编号和为7＋6＋5＋1＝19，再验证一下，并无其它拼法．
【提示】注意从结果入手的思考方法。
我们画出面积16的正方形，先涂上阴影（６）（７），再涂出（５），经过适当变换，可知，只能利用（１）了。
而其它情况，用上（６）（７），和（４），则只要考虑（３）（５）这两种情况是否可以。
10设上题答数是a，a的个位数字是b．七个圆内填入七个连续自然数，使每两个相邻圆内的数之和等于连线上的已知数，那么写A的圆内应填入_______．
【答案】A＝６
【解】如图所示：
B＝A－4,
C＝B＋３，所以C＝A－１;
D=C＋3，所以D＝A＋２;
而A＋D＝14;
所以A＝（14－2）÷2＝6.
【提示】本题要点在于推导隔一个圆的两个圆的差，
从而得到最后的和差关系来解题。
13某个自然数被187除余52，被188除也余52，那么这个自然数被22除的余数是_______．
【答案】8
【解】这个自然数减去52后，就能被187和188整除，为了说明方便，这个自然数减去52后所得的数用M表示，因187＝17×11，故M能被11整除；因M能被188整除，故，M也能被2整除，所以，M也能被11×2＝22整除，原来的自然数是M＋52，因为M能被22整除，当考虑M＋52被22除后的余数时，只需要考虑52被22除后的余数． 52＝22×2＋8这个自然数被22除余8．
26有一堆球，如果是10的倍数个，就平均分成10堆，并且拿走9堆；如果不是10的倍数个，就添加几个球（不超过9个），使这堆球成为10的倍数个，然后将这些球平均分成10堆，并且拿走9堆。
这个过程称为一次操作。
如果最初这堆球的个数为
123456789101112…9899．
连续进行操作，直至剩下1个球为止，那么共进行了次操作;共添加了个球.
【答案】189次；802个。
【解】这个数共有189位，每操作一次减少一位。
操作188次后，剩下2，再操作一次，剩下1。
共操作189次。
这个189位数的各个数位上的数字之和是
（1+2+3+…+9）20=900。
由操作的过程知道，添加的球数相当于将原来球数的每位数字都补成9，再添1个球。
所以共添球
1899-900+1=802（个）。
30有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是693，如果把所有这样的分数从大到小排列，那么第二个分数是______．
【答案】
【解】把693分解质因数：
693＝3×3×7×11．为了保证分子、分母不能约分（否则，约分后分子与分母之积就不是693），相同质因数要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母．分子从大到小排列是11，9，7，1，
8.从1到100的自然数中，每次取出2个数，要使它们的和大于100，则共有_____种取法.
【答案】2500
【解】设选有a、b两个数，且a＜b，
当a为1时，b只能为100，1种取法；
当a为2时，b可以为99、100，2种取法；
当a为3时，b可以为98、99、100，3种取法；
当a为4时，b可以为97、98、99、100，4种取法；
当a为5时，b可以为96、97、98、99、100，5种取法；
………………
当a为50时，b可以为51、52、53、…、99、100，50种取法；
当a为51时，b可以为52、53、…、99、100，49种取法；
当a为52时，b可以为53、…、99、100，48种取法；
………………
当a为99时，b可以为100，1种取法．
所以共有1+2+3+4+5+…+49+50+49+48+…+2+1＝502＝2500种取法．
【拓展】从1-100中，取两个不同的数，使其和是9的倍数，有多少种不同的取法？
【解】从除以9的余数考虑，可知两个不同的数除以9的余数之和为9。
通过计算，易知除以9余1的有12种，余数为2-8的为11种，余数为0的有11种，但其中有11个不满足题意：
如9+9、18+18……，要减掉11。
而余数为1的是12种，多了11种。
这样，可以看成，1-100种，每个数都对应11种情况。
11×100÷2=550种。
除以2是因为1+8和8+1是相同的情况。
二、解答题：
1．小红到商店买一盒花球，一盒白球，两盒球的数量相等，花球原价是2元钱3个，白球原价是2元钱5个．新年优惠，两种球的售价都是4元钱8个，结果小红少花了5元钱，那么，她一共买了多少个球？
【答案】150个
【解】
用矩形图来分析，如图。
容易得，
解得:
所以2x=150
2．22名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有一名男老师，那么在这22人中，共有爸爸多少人？
【答案】5人
【解】家长和老师共22人，家长比老师多，家长就不少于12人，老师不多于10人，妈妈和爸爸不少于12人，妈妈比爸爸多，妈妈不少于7人．女老师比妈妈多2人，女老师不少于7＋2＝9（人）．女老师不少于9人，老师不多于10人，就得出男老师至多1人，但题中指出，至少有1名男老师，因此，男老师是1人，女老师就不多于9人，前面已有结论，女老师不少于9人，因此，女老师有9人，而妈妈有7人，那么爸爸人数是：
22-9-1-7＝5（人）在这22人中，爸爸有5人．
【提示】妙，本题多次运用最值问题思考方法，且巧借半差关系，得出不等式的范围。
正反结合讨论的方法也有体现。
3．甲、乙、丙三人现在岁数的和是113岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是38岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁，那么乙现在是多大岁数？
【答案】32岁
【解】如图。
设过x年，甲17岁，得：
解得x=10,
某个时候，甲17-10=7岁，乙7×2=14岁，丙38岁，年龄和为59岁，
所以到现在每人还要加上（113-59）÷3=18（岁）
所以乙现在14+18=32（岁）。
7.甲、乙两班的学生人数相等，各有一些学生参加数学选修课，甲班参加数学选修课的人数恰好是乙班没有参加的人数的1/3，乙班参加数学选修课的人数恰好是甲班没有参加的人数的1/4。
那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几?
【答案】
【解】：
设甲班没参加的是4x人，乙班没参加的是3y人
那么甲班参加的人数是y人，乙班参加的人数是x人
根据条件两班人数相等，所以4x+y=3y+x
3x=2yx:
y=2:
3
因此4x:
3y=8:
9故那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的
【另解】列一元一次方程：
可假设两班人数都为“1”，设甲班参加的为x，则甲班未参加的为（1-x）；则乙班未参加的为3x，则乙班参加的为（1-3x）,可列方程：
（1-x）/4=1-3x求x=3/11。
【提示】方程演算、设而不求、量化思想都有了，这道题不错。
目标班
名校真卷七
一、填空题：
31满足下式的填法共有种?
口口口口-口口口=口口
【答案】4905。
【解】由右式知，本题相当于求两个两位数a与b之和不小于100的算式有多少种。
a=10时，b在90
99之间，有10种；
a=11时，b在89
99之间，有11种；
……
a=99时，b在1
99之间，有99种。
共有
10+11+12+……99=4905（种）。
【提示】算式谜跟计数问题结合，本题是一例。
数学模型的类比联想是解题关键。
34在足球表面有五边形和六边形图案（见右上图），每个五边形与5个六边形相连，每个六边形与3个五边形相连。
那么五边形和六边形的最简整数比是_______。
【答案】3︰5。
【解】设有X个五边形。
每个五边形与5个六边形相连，这样应该有5X个六边形，可是每个六边形与3个五边形相连，即每个六边形被数了3遍，所以六边形有
个。
36用方格纸剪成面积是4的图形，其形状只能有以下七种：
如果用其中的四种拼成一个面积是16的正方形，那么，这四种图形的编号和的最大值是______．
【答案】19.
【解】为了得到编号和的最大值，应先利用编号大的图形，于是，可以拼出，由：
（7），（6），（5），
（1）；（7），（6），（4），
（1）；（7），（6），（3），
（1）组成的面积是16的正方形：
显然，编号和最大的是图1，编号和为7＋6＋5＋1＝19，再验证一下，并无其它拼法．
【提示】注意从结果入手的思考方法。
我们画出面积16的正方形，先涂上阴影（６）（７），再涂出（５），经过适当变换，可知，只能利用（１）了。
而其它情况，用上（６）（７），和（４），则只要考虑（３）（５）这两种情况是否可以。
40设上题答数是a，a的个位数字是b．七个圆内填入七个连续自然数，使每两个相邻圆内的数之和等于连线上的已知数，那么写A的圆内应填入_______．
【答案】A＝６
【解】如图所示：
B＝A－4,
C＝B＋３，所以C＝A－１;
D=C＋3，所以D＝A＋２;
而A＋D＝14;
所以A＝（14－2）÷2＝6.
【提示】本题要点在于推导隔一个圆的两个圆的差，
从而得到最后的和差关系来解题。
43某个自然数被187除余52，被188除也余52，那么这个自然数被22除的余数是_______．
【答案】8
【解】这个自然数减去52后，就能被187和188整除，为了说明方便，这个自然数减去52后所得的数用M表示，因187＝17×11，故M能被11整除；因M能被188整除，故，M也能被2整除，所以，M也能被11×2＝22整除，原来的自然数是M＋52，因为M能被22整除，当考虑M＋52被22除后的余数时，只需要考虑52被22除后的余数． 52＝22×2＋8这个自然数被22除余8．
56有一堆球，如果是10的倍数个，就平均分成10堆，并且拿走9堆；如果不是10的倍数个，就添加几个球（不超过9个），使这堆球成为10的倍数个，然后将这些球平均分成10堆，并且拿走9堆。
这个过程称为一次操作。
如果最初这堆球的个数为
123456789101112…9899．
连续进行操作，直至剩下1个球为止，那么共进行了次操作;共添加了个球.
【答案】189次；802个。
【解】这个数共有189位，每操作一次减少一位。
操作188次后，剩下2，再操作一次，剩下1。
共操作189次。
这个189位数的各个数位上的数字之和是
（1+2+3+…+9）20=900。
由操作的过程知道，添加的球数相当于将原来球数的每位数字都补成9，再添1个球。
所以共添球
1899-900+1=802（个）。
60有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是693，如果把所有这样的分数从大到小排列，那么第二个分数是______．
【答案】
【解】把693分解质因数：
693＝3×3×7×11．为了保证分子、分母不能约分（否则，约分后分子与分母之积就不是693），相同质因数要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母．分子从大到小排列是11，9，7，1，
68在1，2，…，1997这1997个数中，选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被22整除，那么，这样的数最多能选出______个．
【答案】91
【解】有两种选法：
（1）选出所有22的整数倍的数，即：
22，22×2，22×3，…，22×90＝1980，共90个数；
（2）选出所有11的奇数倍的数，即：
11，11＋22×1，11＋22×2…，11＋22×90＝1991，共91个数，所以，这样的数最多能选出91个．
二、解答题：
1．小红到商店买一盒花球，一盒白球，两盒球的数量相等，花球原价是2元钱3个，白球原价是2元钱5个．新年优惠，两种球的售价都是4元钱8个，结果小红少花了5元钱，那么，她一共买了多少个球？
【答案】150个
【解】
用矩形图来分析，如图。
容易得，
解得:
所以2x=150
2．22名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有一名男老师，那么在这22人中，共有爸爸多少人？
【答案】5人
【解】家长和
升级会员 