第 七讲含绝对值得方程及不等式.docx

第 七讲含绝对值得方程及不等式.docx

《第 七讲含绝对值得方程及不等式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第 七讲含绝对值得方程及不等式.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第七讲含绝对值得方程及不等式

第七讲 含绝对值的方程及不等式

从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的．由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点．本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法．

　　一个实数a的绝对值记作｜a｜，指的是由a所唯一确定的非负实数：

　　含绝对值的不等式的性质：

（2）｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜；

　　（3）｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜．

　　由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．

　　例1解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7．

　　分析解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零

掉绝对值符号再求解．

　　解

（1）当x≥2时，原方程化为

（x-2）+（2x+1）=7，

-（x-2）+（2x+1）=7．

应舍去．

-（x-2）-（2x+1）=7．

　　说明若在x的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解，应舍去．

　　例2求方程｜x-｜2x+1｜｜=3的不同的解的个数．

为只含有一个绝对值符号的方程．然后再去掉外层的绝对值符号求解．

｜x-（2x+1）｜=3，

　　即　　　　　　　　　　　　　　　　｜1+x｜=3，

　　所以　　　　　　　　　　　　　　　x=2或x=-4．

　　　　　　　　　　　　　　　｜x+（2x+1）｜=3，

即　　　　　　　　　　　　　　｜3x+1｜=3，

的个数为2．

　　例3若关于x的方程｜｜x-2｜-1｜=a有三个整数解．则a的值是多少？

　　解若a＜0，原方程无解，所以a≥0．由绝对值的定义可知

｜x-2｜-1=±a，

　　所以｜x-2｜=1±a．

（1）若a＞1，则｜x-2｜=1-a＜0，无解．｜x-2｜=1＋a，x只能有两个解x=3+a和x=1-a．

（2）若0≤a≤1，则由｜x-2｜=1+a，求得

x=1-a或x=3+a；

　　由｜x-2｜=1-a，求得

x=1+a或x=3-a．

　　原方程的解为x=3+a，3-a，1+a，1-a，为使方程有三个整数解，a必为整数，所以a只能取0或1．当a=0时，原方程的解为x=3，1，只有两个解，与题设不符，所以a≠0．当a=1时，原方程的解为x=4，0，2，有三个解．

　　综上可知，a=1．

　　例4已知方程｜x｜=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围．

　　解设x为方程的负根，则-x=ax+1，即

所以应有a＞-1．反之，a＞-1时，原方程有负根．

　　设方程有正根x，则x=ax＋1，即

所以a＜1．反之，a＜1时，原方程有正根．

　　综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a≥1．

　　例5设

　　求x+y．

　　分析从绝对值的意义知

　　两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零．

　　解由题设有

把③代入①得

解之得y=-3，所以x=4．故有

x+y=4-3=1．

　　例6解方程组

　　分析与解由①得x-y=1或x-y=-1，即

x=y+1或x=y-1．

　　与②结合有下面两个方程组

　　解（Ⅰ）：

把x=y+1代入｜x｜+2｜y｜=3得

｜y+1｜+2｜y｜=3．

组（Ⅰ）的解为

　　同理，解（Ⅱ）有

　　故原方程组的解为

　　例7解方程组

　　解由①得

x+y=｜x-y｜+2．

因为｜x-y｜≥0，所以x+y＞0，所以｜x+y｜=x+y．③

　　把③代入②有

x+y=x+2，

所以y=2．将之代入①有｜x-2｜=x，所以

x-2=x，④

　　或x-2=-x．⑤

　　④无解，所以只有解⑤得x=1．故

为原方程组的解．

　　说明本题若按通常的解法，区分x+y≥0和x+y＜0两种情形，把方程②分成两个不同的方程x+y=x+2和-（x+y）=x+2，对方程①也做类似处理的话，将很麻烦．上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质，从方程①中发现必有x+y＞0，因而可以立刻消去方程②中的绝对值符号，从而简化了解题过程．

　　例8解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1．

　　＜x≤5，x＞5．

-（x-5）-[-（2x+3）]＜1，

-（x-5）-（2x+3）＜1，

　　（3）当x＞5时，原不等式化为

x-5-（2x+3）＜1，

　　解之得x＞-9，结合x＞5，故x＞5是原不等式的解．

的解．

　　例9解不等式1≤｜3x-5｜≤2．

　　分析与解此不等式实际上是

　　解对｜3x-5｜≥1：

　　对｜3x-5｜≤2：

　　所以①与②的公共解应为

　　例10解不等式｜｜x+3｜-｜x-3｜｜＞3．

　　解从里往外去绝对值符号，将数轴分为x≤-3，-3＜x≤3，x＞3三段来讨论，于是原不等式化为如下三个不等式组．

　　即　　　　　　　　　　　　　　　x≤-3．

　　即　　　　　　　　　　　　　　x＞3．

　　说明本题也可以由外向内去绝对值符号，由绝对值的意义，解下面两个不等式

　　分别解出①和②即可，请同学们自己完成这个解法．

　　例11当a取哪些值时，方程｜x+2｜+｜x-1｜=a有解？

　　解法1

（1）当x≤-2时，

｜x+2｜+｜x-1｜=-2x-1≥-2（-2）-1=3．

（2）当-2＜x＜1时，

｜x+2｜+｜x-1｜=x+2-x+1=3．

　　（3）当x≥1时，

｜x+2｜+｜x-1｜=2x+1≥2·1+1=3．

　　所以，只有当a≥3时，原方程有解．

　　解法2按照绝对值的性质｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜，故

｜x+2｜+｜x-1｜≥｜（x+2）-（x-1）｜=3．

　　其中等号当-2≤x≤1时成立，所以当a≥3时，原方程有解．

练习七

　　1．解下列方程：

（1）｜x+3｜-｜x-1｜=x+1；

（2）｜｜1+x｜-1｜=3x；

　　（3）｜3x-2｜-｜x+1｜=x+2；

　　（4）｜3y-2｜=-｜5x-3｜．

　　2．解方程组：

　　3．解下列不等式：

（2）5≤｜5x-3｜≤10；

　　（3）｜x+1｜+｜4-x｜＜6；

　　（4）｜｜x-1｜-｜x+2｜｜＞1．

　　4．若a＞0，b＜0，则方程｜x-a｜+｜x-b｜=a-b的解是什么？