第1节 抽样方法.docx
《第1节 抽样方法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第1节 抽样方法.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
第1节抽样方法
第1节 抽样方法
考试要求 1.理解随机抽样的必要性和重要性；2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题.
知识梳理
1.简单随机抽样
（1）定义：
设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
（2）最常用的简单随机抽样的方法：
抽签法和随机数法.
（3）应用范围：
总体中的个体数较少.
2.系统抽样
（1）定义：
系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔（称为抽样距）抽取其他样本.这种抽样方法有时也叫等距抽样或机械抽样.
（2）系统抽样的操作步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.
①先将总体的N个个体编号；
②确定分段间隔k，对编号进行分段，当
（n是样本容量）是整数时，取k＝
（否则，先剔除一些个体）；
③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）；
④按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号（l＋k），再加k得到第3个个体编号（l＋2k），……，依次进行下去，直到获取整个样本.
（3）应用范围：
总体中的个体数较多.
3.分层抽样
（1）定义：
在抽样时，将总体按其属性特征分成若干类型（有时称作层），然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本，这种抽样方法叫作分层抽样，有时也称为类型抽样.
（2）应用范围：
当总体是由差异明显的若干类型组成时，往往选用分层抽样.
[常用结论与微点提醒]
1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.
2.系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍.
3.分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.
诊断自测
1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.（ ）
（2）系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.（ ）
（3）分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.（ ）
（4）要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平.（ ）
答案
（1）×
（2）√ （3）× （4）×
2.（老教材必修3P5讲解引申改编）在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（ ）
A.总体B.个体
C.样本的容量D.从总体中抽取的一个样本
解析 由题目条件知，5000名居民的阅读时间的全体是总体；其中每1名居民的阅读时间是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.
答案 A
3.（老教材必修3P12例3改编）一个公司共有N名员工，下设一些部门，要采用等比例分层抽样的方法从全体员工中抽取样本容量为n的样本，已知某部门有m名员工，那么从该部门抽取的员工人数是________.
解析 每个个体被抽到的概率是
，
设这个部门抽取了x个员工，
则
＝
，∴x＝
.
答案
4.（2020·吉安一模）总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为（ ）
附：
第6行至第9行的随机数表如下：
26357900337091601620388277574950
32114919730649167677873399746732
27486198716441487086288885191620
74770111163024042979799196835125
A.3B.16C.38D.20
解析 按随机数表法，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，超出00～49及重复的不选，则编号依次为33，16，20，38，49，32，…，则选出的第3个个体的编号为20，故选D.
答案 D
5.（2019·兰州二模）某学校为响应“平安出行”号召，拟从2019名学生中选取50名学生加入“交通志愿者”，若采用以下方法选取：
先用简单随机抽样方法剔除19名学生，剩下的2000名再按照系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率（ ）
A.不全相等B.均不相等
C.都相等，且为
D.都相等，且为
解析 先用简单随机抽样方法剔除19名学生，剩下的2000名再按照系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率相等，且为p＝
，故选D.
答案 D
6.（2018·全国Ⅲ卷）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________.
解析 因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样，才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价.
答案 分层抽样
考点一 简单随机抽样及其应用
【例1】
（1）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖
B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见
D.用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验
（2）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________（下面摘取了随机数表第7行至第9行）.
解析
（1）A，B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C不是简单随机抽样，因为总体中的个体有明显的层次；D是简单随机抽样.故选D.
（2）由随机数表知，前4个样本的个体编号分别是331，572，455，068.
答案
（1）D
（2）068
规律方法 1.简单随机抽样需满足：
（1）被抽取的样本总体的个体数有限；
（2）逐个抽取；（3）是不放回抽取；（4）是等可能抽取.
2.简单随机抽样常有抽签法（适用于总体中个体数较少的情况）、随机数法（适用于个体数较多的情况）.
【训练1】
（1）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
A.08B.07C.02D.01
（2）在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（ ）
A.与第n次有关，第一次可能性最大
B.与第n次有关，第一次可能性最小
C.与第n次无关，与抽取的第n个样本有关
D.与第n次无关，每次可能性相等
解析
（1）从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08，02，14，07，01，所以第5个个体编号为01.
（2）∵在简单随机抽样中，每个个体被抽到可能性都相等，与第n次无关，∴D正确.
答案
（1）D
（2）D
考点二 系统抽样及其应用
【例2】
（1）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）
A.50B.40C.25D.20
（2）将高一·九班参加社会实践编号为1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________.
解析
（1）由系统抽样的定义知，分段间隔为
＝25.
（2）根据系统抽样的概念，所抽取的4个样本的编号应成等差数列，因为这组数中的间距应为41－29＝12，所以所求的编号为5＋12＝17.
答案
（1）C
（2）17
规律方法 1.如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k＝
，否则，可随机地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样，特别注意，每个个体被抽到的机会均是
.
2.系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.
【训练2】
（1）（2019·全国Ⅰ卷）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ）
A.8号学生B.200号学生
C.616号学生D.815号学生
（2）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：
分钟）的茎叶图如图所示：
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________.
解析
（1）根据题意，系统抽样是等距抽样，
所以抽样间隔为
＝10.
因为46除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的数，结合选项知应为616.故选C.
（2）依题意，可将编号为1～35号的35个数据分成7组，每组有5个数据，从每组中抽取一人.
成绩在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组内，每组抽取1人，共抽取4人.
答案
（1）C
（2）4
考点三 分层抽样及其应用
多维探究
角度1 求某层入样的个体数
【例3－1】（2019·郴州二模）已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ）
A.240，18B.200，20
C.240，20D.200，18
解析 样本容量n＝（250＋150＋400）×30%＝240，抽取的户主对四居室满意的人数为150×30%×40%＝18.
答案 A
规律方法 1.分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：
层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.
2.求某层应抽个体数量：
按该层所占总体的比例计算.
角度2 求总体或样本容量
【例3－2】
（1）（2020·东北三省四校联考）某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于（ ）
A.12B.18C.24D.36
（2）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.
解析
（1）根据分层抽样方法知
＝
，解得n＝36.
（2）由题设，抽样比为
＝
.
设甲设备生产的产品为x件，则
＝50，∴x＝3000.
故乙设备生产的产品总数为4800－3000＝1800.
答案
（1）D
（2）1800
规律方法 1.已知某层个体数量，求总体容量或反之：
根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算.
2.进行分层抽样的相关计算时，常用到的两个关系
（1）
＝
；
（2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
【训练3】
（1）（角度1）（2020·河南名校联考）《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：
“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？
”其意为：
“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出________钱（所得结果四舍五入，保留整数）.
（2）（角度1）某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）（单位：
人）.
篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________.
（3）（角度2）（2020·长沙模拟）某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：
不喜欢
喜欢
男性青年观众
30
10
女性青年观众
30
50
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢”的男性青年观众中抽取了6人，则n＝（ ）
A.12B.16C.24D.32
解析
（1）按照钱的多少按比例出钱，所以丙应该出钱为
×100＝
≈17.
（2）由分层抽样得
＝
，解得a＝30.
（3）由分层抽样的性质得
＝
，解得n＝24.故选C.
答案
（1）17
（2）30 （3）C
A级 基础巩固
一、选择题
1.（2020·永州模拟）现从已编号（1～50）的50位同学中随机抽取5位以了解他们的数学学习状况，用选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5位同学的编号可能是（ ）
A.5，10，15，20，25B.3，13，23，33，43
C.1，2，3，4，5D.2，10，18，26，34
解析 抽样间隔为
＝10，只有选项B合题意.
答案 B
2.（2019·长春一模）完成下列两项调查：
①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.宜采用的抽样方法依次是（ ）
A.①简单随机抽样，②系统抽样
B.①分层抽样，②简单随机抽样
C.①系统抽样，②分层抽样
D.①②都用分层抽样
答案 B
3.在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则（ ）
A.p1＝p2＜p3B.p2＝p3＜p1
C.p1＝p3＜p2D.p1＝p2＝p3
解析 由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选D.
答案 D
4.从30个个体（编号为00～29）中抽取10个样本，现给出某随机数表的第11行到第15行（见下表），如果某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第一个数并且由此数向右读，则选取的前4个的号码分别为（ ）
92644607202139207766381732561640
58587766317005002593054553707814
28896628675782311589006200473815
51318186370945216665532553832702
90557196217232071114138443594488
A.76，63，17，00B.16，00，02，30
C.17，00，02，25D.17，00，02，07
解析 在随机数表中，将处于00～29的号码选出，满足要求的前4个号码为17，00，02，07.故选D.
答案 D
5.下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为（ ）
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.
②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.
④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.
A.0B.1C.2D.3
解析 ①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样.因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样.因为不是等可能抽样.故选A.
答案 A
6.某中学400名教师的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名教师作样本，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取（ ）
A.40人B.200人
C.20人D.10人
解析 由图知，40岁以下年龄段的人数为400×50%＝200，若采用分层抽样应抽取200×
＝20（人）.
答案 C
7.（一题多解）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（ ）
A.100B.150C.200D.250
解析 法一 由题意可得
＝
，解得n＝100.
法二 由题意，抽样比为
＝
，总体容量为3500＋1500＝5000，故n＝
5000×
＝100.
答案 A
8.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（ ）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
解析 在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为
，故选A.
答案 A
二、填空题
9.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件.
解析 因为样本容量n＝60，样本总体N＝200＋400＋300＋100＝1000，所以抽取比例为
＝
＝
.
因此应从丙种型号的产品中抽取300×
＝18（件）.
答案 18
10.将参加英语口语测试的1000名学生编号为000，001，002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000，001，002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个样本编号为________.
解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号为015，分段间隔数k＝
＝
＝20，由题意知抽出的这些号码是以15为首项，20为公差的等差数列，则抽取的第35个样本编号为15＋（35－1）×20＝695.
答案 695
11.某商场有四类食品，食品类别和种数见下表：
类别
粮食类
植物油类
动物性食品类
果蔬类
种数
40
10
30
20
现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为________.
解析 因为总体的个数为40＋10＋30＋20＝100，所以根据分层抽样的定义可知，抽取的植物油类食品种数为
×10＝2，抽取的果蔬类食品种数为
×20＝4，所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为2＋4＝6.
答案 6
12.（2019·湖北重点中学模拟）某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为________.
解析 系统抽样的抽取间隔为
＝6.设抽到的最小编号为x，则x＋（6＋x）＋（12＋x）＋（18＋x）＋（24＋x）＝75，所以x＝3.
答案 3
B级 能力提升
13.从一群游戏的小孩中抽出k人，一人一个苹果，让他们返回继续游戏，一段时间后，再从中任取m人，发现其中有n人曾分过苹果，则可估计这群小孩共有（ ）
A.k·
人B.k·
人
C.（k＋m－n）人D.（k＋m＋n）人
解析 设这群小孩共有x人，则
＝
，解得x＝
.
答案 B
14.某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多13人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6人对户外运动持“喜欢”态度，有2人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的人数有（ ）
A.26B.39C.78D.13
解析 设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x，2x，3x，由题意可得3x－2x＝13，x＝13，∴持“喜欢”态度的有6x＝78（人）.
答案 C
15.某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会.如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数减少1人，在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除2个个体，则n＝________.
解析 总体容量为6＋12＋18＝36，
当样本容量为n时，由题意知，系统抽样的间隔为
，分层抽样的比例是
，抽取的工程师人数为
×6＝
，技术员人数为
×12＝
，技工人数为
×18＝
，
所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6，12，18.
当样本容量为（n－1）时，总体容量剔除以后是34人，系统抽样的间隔为
，因为
必须是整数，
所以n只能取18，即样本容量n＝18.
答案 18
16.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为________.
解析 由系统抽样的特点，知抽取号码的间隔为
＝30，抽取的号码依次为9，39，69，…，939，落入区间[451，750]的有459，489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋（n－1）×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人.
答案 10
C级 创新猜想
17.（多填题）一个总体中有90个个体，随机编号0，1，2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1，2，3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定：
如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组（k≥2）中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则k的值为________，在第8组中抽取的号码是________.
解析 由题意知m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.
答案 8 76
升级会员 