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提高题

2015年11月07日提高题（后附答案）

一．解答题（共8小题）

1．（2012•杭州模拟）已知：

如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．

求证：

BE=CF．

2．（2009秋•高阳县校级期中）如图

（1），已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，

（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由．

（2）若将CD沿CB方向平移得到图

（2）（3）（4）（5）的情形，其余条件不变，此时第

（1）问中AC与CE的位置关系还成立吗？

结论还成立吗？

请任选一个说明理由．

3．（2012秋•平湖市校级期中）如图甲，已知A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB=CD．

（1）试问OE=0F吗？

请说明理由．

（2）若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？

请说明理由．

4．（2015春•通川区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．

（1）若BC在DE的同侧（如图①）且AD=CE，求证：

BA⊥AC．

（2）若BC在DE的两侧（如图②）其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？

5．（2014秋•涡阳县校级月考）如图

（1），AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？

请说明理由；

若过O点的直线旋转至图

（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图

（1）中的∠1与∠2的关系成立吗？

请说明理由．

6．如图所示，AB=CD，AD=BC，O是AC的中点，过点O的直线分别与AD、BC相交于点M、N．MO与NO有什么关系？

请说明理由．

7．（2014秋•万州区校级期末）如图①，AB=CD，AD=BC．O为AC中点，过O点的直线分别与AD，BC相交于点M，N．

（1）那么∠1与∠2有什么关系？

AM，CN有什么关系？

请说明理由．

（2）若将过O点的直线旋转至图②③的情况时，其他条件不变，那么①中的关系还成立吗？

请说明理由．

8．（2013春•龙岗区期末）已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB相交于点D、E．

（1）如图1，当CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：

CD=CE．

（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2这种情况下，上述结论是否还成立？

若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明．

参考答案与试题解析

一．解答题（共8小题）

1．（2012•杭州模拟）已知：

如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．

求证：

BE=CF．

考点：

全等三角形的判定与性质；平行线的性质．菁优网版权所有

专题：

证明题；压轴题．

分析：

欲证BE=CF，则证明两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AC∥DF可以得出∠ACB=∠F，条件找到，全等可证．根据全等三角形对应边相等可得BC=EF，都减去一段EC即可得证．本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等；要牢固掌握并灵活运用这些知识．

解答：

证明：

∵AC∥DF，

∴∠ACB=∠F，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（AAS）；

∴BC=EF，

∴BC﹣CE=EF﹣CE，

即BE=CF．

点评：

本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等；要牢固掌握并灵活运用这些知识．

2．（2009秋•高阳县校级期中）如图

（1），已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，

（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由．

（2）若将CD沿CB方向平移得到图

（2）（3）（4）（5）的情形，其余条件不变，此时第

（1）问中AC与CE的位置关系还成立吗？

结论还成立吗？

请任选一个说明理由．

考点：

全等三角形的判定与性质；平移的性质．菁优网版权所有

分析：

（1）根据题意推出△ABC≌△CDE，即可推出AC⊥CE；

（2）结论成立，如图2，根据已知推出△ABC1≌△C2DE，即可推出结论．

解答：

解：

（1）AC⊥CE．

理由：

如图一，

∵AB⊥BD，ED⊥BD，

∴∠B=∠D=90°，又AB=CD，BC=DE，

∴△ABC≌△CDE，

∴∠A=∠DCE，

∵∠A+∠ACB=90°，

∴∠DCE+∠ACB=90°，

∴AC⊥CE；

（2）不变．

理由：

如图二，

∵AB⊥BD，ED⊥BD，

∴∠B=∠D=90°，又AB=C2D，BC1=DE，

∴△ABC1≌△C2DE，

∴∠A=∠EC2D，又∠A+∠AC1B=90°，

∴∠EC2D+∠AC1B=90°，

∴∠AME=90°，

∴AC1⊥EC2．

点评：

本题主要考查全等三角形的判定，平移的性质，关键在于根据题意求证相关三角形全等．

3．（2012秋•平湖市校级期中）如图甲，已知A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB=CD．

（1）试问OE=0F吗？

请说明理由．

（2）若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？

请说明理由．

考点：

全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有

专题：

证明题．

分析：

（1）先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF=DE；再利用AAS判定△BFO≌△DEO，从而得出OE=0F．

（2）结论仍然成立，同理可以证明得到．

解答：

解：

（1）OE=0F；

证明：

∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠DEF=∠BFE=90°．

∵AE=CF，AE+EF=CF+EF．即AF=CE．

在Rt△ABF和Rt△CDE中，

∵

，

∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），

∴BF=DE．

在△BFO和△DEO中，

∵

，

∴△BFO≌△DOE（AAS），

∴OE=0F；

（2）结论依然成立．

理由：

由AE=CF，得AF=CE，

结合已知得Rt△ABF≌Rt△CDE，

由BF=DE，从而△BFO≌△DEO，

∴FO=EO，

即结论依然成立；

点评：

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、HL．

注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

4．（2015春•通川区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．

（1）若BC在DE的同侧（如图①）且AD=CE，求证：

BA⊥AC．

（2）若BC在DE的两侧（如图②）其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？

考点：

全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有

专题：

证明题．

分析：

（1）根据直角三角形全等的判定方法HL易证得△ABD≌△CAE，可得∠DAB=∠ACE，再根据三角形内角和定理即可证得结论．

（2）同

（1）理结论仍成立．

解答：

证明：

∵AB=AC，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且AD=CE，

∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL），

∴∠DAB=∠ACE．

又∵∠ACE+∠CAE=90°，

∴∠DAB+∠CAE=90°

∴∠BAC=90°，

即AB⊥AC；

（2）AB与AC仍然垂直，理由同上．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

5．（2014秋•涡阳县校级月考）如图

（1），AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？

请说明理由；

若过O点的直线旋转至图

（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图

（1）中的∠1与∠2的关系成立吗？

请说明理由．

考点：

全等三角形的判定与性质；平行线的判定．菁优网版权所有

专题：

探究型．

分析：

（1）证明三角形ACD和CAB全等．根据全等三角形判定中的SSS可得出两三角形全等，那么就能证出AD∥BC，也就得出∠1=∠2了．

（2）（3）和

（1）的证法完全一样．

解答：

解：

∠1与∠2相等．

证明：

在△ADC与△CBA中，

，

∴△ADC≌△CBA．（SSS）

∴∠DAC=∠BCA．

∴DA∥BC．

∴∠1=∠2．

②③图形同理可证，△ADC≌△CBA得到∠DAC=∠BCA，则DA∥BC，∠1=∠2．

点评：

本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的判定，根据全等三角形得出角相等是解题的关键．

6．如图所示，AB=CD，AD=BC，O是AC的中点，过点O的直线分别与AD、BC相交于点M、N．MO与NO有什么关系？

请说明理由．

考点：

平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有

分析：

图

（1）证明△AOM≌△CON．根据全等三角形的对应边相等，即可证得；

图

（2）（3）和

（1）的证法完全一样．

解答：

解：

OM=ON．理由如下：

∵AB=CD，AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠1=∠2，

图

（1）中，在△AOM与△CON中，

，

∴△AOM≌△CON（AAS），

∴OM=ON；

图

（2）中，在△AOM与△CON中，

，

∴△AOM≌△CON（AAS），

∴OM=ON；

图（3）中，在△AOM与△CON中，

，

∴△AOM≌△CON（AAS），

∴OM=ON．

点评：

本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的判定，根据全等三角形得出角相等是解题的关键．

7．（2014秋•万州区校级期末）如图①，AB=CD，AD=BC．O为AC中点，过O点的直线分别与AD，BC相交于点M，N．

（1）那么∠1与∠2有什么关系？

AM，CN有什么关系？

请说明理由．

（2）若将过O点的直线旋转至图②③的情况时，其他条件不变，那么①中的关系还成立吗？

请说明理由．

考点：

全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有

分析：

（1）如图

（1），证明AM∥CN，得到△AMO∽△CNO；进而得到∠1=∠2，

；结合AO=CO，即可解决问题．

（2）如图

（2），运用与

（1）中，类似的方法，证明证明AM∥CN，得到△AMO∽△CNO；进而得到∠1=∠2，

；结合AO=CO，即可解决问题．

解答：

解；

（1）∵AB=CD，AD=BC，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∴AM∥CN，△AMO∽△CNO

∴∠1=∠2；

，

∵AO=CO，

∴AM=CN．

（2）在图

（2）、（3）两种情况下，

（1）中的结论仍然成立．

仅以图

（2）说明如下：

∵AB=CD，AD=BC，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，△AMO∽△CNO

∴∠1=∠2；

，

∵AO=CO，

∴AM=CN．

点评：

该题主要考查了全等三角形的判定、平行四边形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握定理本质内容，灵活运用动态的观念，来观察、分析、运动图形中的不变元素．

8．（2013春•龙岗区期末）已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB相交于点D、E．

（1）如图1，当CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：

CD=CE．

（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2这种情况下，上述结论是否还成立？

若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明．

考点：

全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．菁优网版权所有

分析：

（1）CD与OA垂直时，根据角平分线的性质知CD=CE．

（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，易得△CKD≌△CHE，进而可得出证明；

解答：

（1）证明：

∵如图1，OM是∠AOB的平分线，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，

∴CD=CE．

（2）上述结论仍然成立．理由如下：

过点C分别作CK⊥OA，垂足为K，CH⊥OB，垂足为H．

∵OM为∠AOB的角平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，

∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，

又∵∠1与∠2都为旋转角，

∴∠1=∠2，

在△CKD与△CHE中，

∴△CKD≌△CHE（ASA），

∴CD=CE．

点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质．角平分线上的点到角两边的距离相等．