第三章现值与净现值.docx
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第三章现值与净现值
第三章现值与净现值
第二章介绍了财务管理中最重要的概念：
货币的时间价值（timevalueofmoney）。
货币的时间价值决定本期货币和未来期间货币间的关系。
未来的现金流量若考虑到时间因素时，不同时点的货币价值应如何转换以本期货币来衡量？
我们并说明现值的概念将下一期的现金流量转换以本期货币来衡量。
本章将现值的概念由一期的延伸至多期。
设想某厂商正考虑一个投资计划，这个计划需要本期1000万元的资本支出，从明年开始的往后九年，预计每年将有200万元的投资收益。
请问该厂商应否选择这个投资计划？
通常，看到这些数字后，最直接的反应是：
每年200万元，九年就有1800万元的收益，1800万元大于今年1000万元的资本支出，所以，厂商应选择这个投资计划。
在计算投资收益时，显然是将明年的200万元和后年的200万元，甚至往后七年的200万元皆视为相同的货币价值来处理。
其次，今年1000万元的资本支出是确定的支出，但往后九年每年200万元的收益却只是推估预测值，由于投资收益受当时的景气影响，它有不确定性存在。
以上的讨论看出，一旦涉及时间因素，至少有两个问题值得探讨：
本期的200万元和未来的200万元是否等值？
若不等值，应如何将不同时间的现金流量转换为相同的货币价值？
由于未来涉及不确定性投资决策者应如何考虑风险因素？
首先，我们将以下面的例子说明第二章已介绍过的现值以及终值的概念：
例子：
朱胖现任K&K公司财务经理，该公司现正考虑利用自有资金购买一块位于恒春的土地，土地成本为一亿元。
由于垦丁公园观光人数呈现快速成长，K&K公司估计这块土地到了下一期的价值将增为1亿1500万元。
也就是说，这笔土地若在下一期出售，其资本利得为1500万元。
假设目前均衡利率为10%，请问K&K公司应不应该购买这块土地？
首先，这个购地计划的现金流量图为：
现金流入1亿1500万元
01
现金流出-1亿元
朱胖接到决策阶层指示后提出评估报告，他认为这一亿元若存放在银行，下一期K&K公司本金加利息的收入合计为：
1.1×1亿元=1亿1000万元。
此项收益和下一期土地售价1亿1500万元相比，K&K公司当然要选择购地计划。
因为，下一期出售土地预期收益1亿1500万元，比存放在银行的收益1亿1000万元要多出500万元。
这种计算方式是以投资收益的终值做为评估投资计划的比较基准。
朱胖亦可利用净现值来比较投资计划的收益。
假设朱胖以均衡利率10%做为折现率，下一期出售土地所得价款的现值为：
115,000,000
PV==104,545,455元。
1.1
由于下一期收益的现值大于本期为取得土地所付出的价款，此购地计划的净现值为正：
115,000,000元
NPV=-100,000,000元+＞0，
1.1
朱胖遂建议K&K公司接受购地计划。
净现值在投资决策过程中，扮演极重要的角色。
NPV以通式表示
为：
NPV=-COST+PV，
也就是说，NPV是未来各期收益的现值扣除本期资本支出的现值（或当期资本支出）。
在上面的例子中，我们都假设未来的投资收益为确定的数字，即不存在任何不确定性，而将风险因素的考虑放在以后章节再讨论。
例子：
台艺画廊正考虑以80万元标购一幅王秋香的80号油画，然后在明年售出可得款87万元，这项投资计划若以现金流量图表现，则为：
现金流入87万元
01
现金流出-80万元
图中87万元除非是在事先确定的数字，不然它应是一个预测值。
假设银行存款利率为10%，请问该画廊是否应标购这幅画？
若我们忽略购画和存款间风险的差异，而以存款利率10%做为资金的机会成本，下一期出售画作所得价款的现值为：
480,000元
=436,364元，
1.1
由于436,364元的现值高于本期购画成本400,000元，画廊似乎应选择此项投资计划。
然而10%是银行存款利率，购画投资远较存款的风险为高，故我们不宜以10%做为折现率，而恰当的利率应是比10%为高以合理反映投资计划的风险。
经过仔细评估，画廊老板认为25%才能反映购画计划的风险，亦即25%才是合理的资金机会成本。
此时，下一期出售油画收益的现值降为：
480,000元
=384,000元。
1.25
由于，此项投资计划的净现值为负：
384,000元-400,000元=-16,000元＜0，
依据NPV法则，画廊不应选择此项投资。
由于投资决策涉及未来执行期间收益的评估，而未来又充满不确定性。
这个例子说明公司经营阶层如何选择合适的利率做为计划的折现率是投资决策过程中最大的挑战。
1.多期架构下的现值
截至目前，我们所讨论的概念或例子都仅止于一期的投资计划，本节将现值与净现值的概念延伸到多期的架构下。
假设黄朝贷出手中的1万元现金，到了下一期她可取回本金加利息的金额为1万元×（1+r），r为均衡利率。
一期后，黄朝除了可将所得的（1+r）万元用于消费或投资计划的资本支出外，亦可将此本金加利息再借出一期。
由于前期所赚的利息，继续当作下期的本金再生利息，这个过程称为复利计息过程（compoundingprocess）。
若黄朝决定将（1+r）再贷出一期，则第二期结束后，黄朝取回的收益为：
[1×（1+r）]×（1+r）=（1+r）²=1+2r+r²，
式中r²即表示将第一期所收到的利息（r）做为下一期的本金，再借出一期所赚到的利息（r×r），即息滚息；其次，2r表示两年期间所赚取的简单利息（simpleinterest）。
两期后，黄朝收到（1+r）2万元后，黄朝可将（1+r）2万元再借出一期，第三期结束后本金加利息收入变为：
[1×（1+r）²]×（1+r）=（1+r）³=1+3r+3r²+r³，
式中3r是三年期间的简单利息，而3r²+3r³则是为复利计息过程中，息滚息所产生额外收入，（3r+3r²+r³）称为复利利息（compoundinginterest）。
复利利息和简单利息最根本不同之处在于简单利息的计算是不将前期的利息当做下一期本金，此即富兰克林所说的：
「复利计息就是钱滚钱」。
举例说，某人本期借出一百万元，放款利率为9%，若以复利计息，两年后本金加利息总额为1,188,100元，若以简单利息计息，二期后本金加利息为1,180,000元，两者之差为8100元。
此为两年内由息滚息的总和。
这个数字看起来不大，但不出数年这两种计息的方式就会出现巨大金额上的差异。
1.1复利计息的威力
复利计息过程中钱滚钱（或息生息）的威力到底有多大？
现以1926年到1996年这段期间，投资在美国股市的平均报酬率为例说明之。
以T期后终值的公式可算出若在1926年初投资美国股市1元，到了1996年底投资收益为1370.95元：
1×（1+r）71=1370.95，
经过计算，71年间的投资美国股市的平均报酬率（r）为10.71%。
10.71%的年平均报酬率看起来似乎不高，但经过71年的复利计息过程，当初的1元在71年后竟会产生1370.95元的收益，而复利计息的威力正在于前期利息可变成本期及未来各期的本金再用于生息，这也是「钱滚钱」的威力所在。
假若将1370.95元再投资70年，1926年所投资的那一块钱，创造出的收益将为1,879,503元。
复利计息的威力亦可用于解释为何遗产的赠与都不是给下一代而是下一代的下一代。
由于复利计息的威力，父母都宁愿让其孙徒辈变得比较有钱，而非让子女辈变得稍微有钱。
2.折现与现值
依复利计息过程，本期所投资的C0在T期后所创造的收益为：
FV=C0×（1+r）T。
式中FV为本期的C0在T期后的终值，而T表示投资终止时间。
由终值公式，若均衡利率为9%，则本期贷出1元，两期后就可创造出1.1881元的收入。
假设我们希望在两期后能有1元的收入，在均衡利率为9%情形下，请问本期应投资多少？
这个问题可用以下数式表示：
PV×（1.09）²=1，
式中PV为两年后1元的现值。
现值所表现的是两年后的1元以本期货币衡量所得到的价值：
1
PV==0.84168。
（1.09）²
这个计算现值的过程称为折现（discount）与复利过程正好相反。
以折现方式计算现值是将未来期间的货币转换为以本期货币来衡量，而复利过程是将本期货币转换为以未来某特定期间的货币来衡量。
如何验证0.84168确是两年后1元的现值？
我们利用复利计息公式来检证。
0.84168以9%利率借出一年，一年后可取回的本金加利息为：
0.84168×（1.09）=1。
若将此本金加利息再借出一年，所得的本金加利息为：
1=0.84168×（1.09）²。
也就是说，均衡利率为9%情形下，本期的0.84168元和两年后的1元是等值。
9%称为折现率，而1/（1.09）2（或0.84168）称为现值因子（presentvaluefactor）。
我们可利用这个因子将未来的现金流量转换为以本期货币衡量。
例子：
阿辉购买台北银行所发行的第一期「对对乐」彩券中了头奖，奖金100万元。
阿辉想将它存入银行，计划五年后将本金及利息用于购车，而阿辉看上的车子其车价为161万500元。
假设五年内车价不变，若阿辉将这笔奖金存入银行，请问均衡利率水平应为多少才让她五年后有足够钱支付车款。
首先，存入100万元五年的现金流量图为：
现金流出-100万元
05
现金流入161万500元
由终值的公式可得：
100万元×（1+r）5=161.05万元，简单计算可解出r为10%。
假设某投资计划在第1期至第n期间，预期每期现金流入为Ci，此处i表示
第i期，i=1,2,…,n，而本期的资本支出（由于是现金流出，故以-C0表示），
则未来n期投资收益的现值为：
nCί
PV=Σ，
ί=1（1+r）ί
而此投资计划的净现值为：
nCί
NPV=-C0+Σ。
ί=1（1+r）ί
例子：
林金在澄清湖拥有一块建地，价值2亿元。
日前有建商来洽谈合建计划。
合作条件是林金提供建地并负担部分营造成本；待建物完成后，林金可取得其中3/4的楼层。
整个合建计划林金所面对的现金流量图为：
现金流入8亿元
012
现金流出-2亿元-2亿元-2亿元
图中第0期、第1期以及第2期现金流出2亿元是林金应分摊的营造成本，而8亿元是在第二期大楼完工后出售一半楼层所得的价款。
假设目前合理的资金机会成本为7%。
请问林金应否接受此项合作计划？
首先，土地的市场价值2亿元应记入为使用土地的机会成本，整个合建计划的现金流量图变为：
现金流入8亿元
012
现金流出-4亿元-2亿元-2亿元
而合建计划的净现值为：
-2亿元6亿元
NPV=-4亿元++=-0.63亿元＜0
1.07（1.07）²
由于净现值为负，故林金不应接受和建计划。
若林金忽略使用土地的机会成本，则合建计划的净现值变为：
-2亿元6亿元
NPV=-2亿元++=1.37亿元＞0。
1.07（1.07）²
依NPV法则，林金应选择此项合建计划。
林金若未考虑到使用土地的
机会成本，将会导致错误的决策。
3.复利计息次数
到目前，我们都假设复利计息过程中一年计息一次。
若一年内复利计息超过一次，复利计息（或折现）次数对货币的时间价值有何影响。
举例说，银行存款的年利率为10%，每半年复利计息一次。
许根若本期期初存入1,000元。
六个月后，本金加利息的金额为：
10%
1,000元×（1+）=1,050元，
2
再过六过月（即存款满一年），本金加利息的金额就变为：
10%
1050元×（1+）=1,102.5元。
2
每年复利计息一次情形下，一年后本金加利息的金额为：
1,000元×1.1=1,100元。
两相比较，每半年复利计息一次较每年复利计息一次所得的金额会多出2.5元。
由于复利计息和简单计息方式最大不同就是复利计息所产生的利息可转成本金再生利息，所以，同一期间内复利计息次数愈多，就会有愈多的利息愈早转为本金再生利息。
假设每季复利计息一次，一年后本金加利息所得的金额为：
10%
1,000元×（1+）4=1,103.81元。
4
这个金额又比每半年复利计息所得的金额（1,102.5元）为多。
假设每年复利计息m次，则本期期初借出C0元。
一年后，本金加利息的金额为：
r
C0．（1+）m。
m
上面的公式适用于一期本金与利息的计算。
在多期的情形下，上面的公式就变为：
r
C0．（1+）mT，
m
式中T为投资终止的期间。
为了方便比较，我们以有效年利率（EffectiveAnnualInterestRate，以EAIR简记）来衡量不同复利计息次数的年平均报酬率。
：
r
EAIR=（1+）m-1。
m
例子：
黄朝考虑在本期期初借出100万元，年利率为24%，利息计算将采复利计息方式，每月计算一次。
请问一年后，收益有多少？
0.24
100万元×（1+）12=126.82万元。
12
此时，年平均收益率为：
126.82-100
26.82%=×100。
100
4.几个简化的现值公式
说完了现值以及终值的概念后，本节将介绍以下几个简化的公式以方便应用：
－永续年金（perpetuity）
－成长型永续年金（growingperpetuity）
－年金（annuity）
－成长型年金（growingannuity）
4.1永续年金
永续年金是每期给付固定金额的现金流量且无终止给付的日期。
永续年金最佳的例子为英国政府所发行Consols公债。
Consols公债持有人每期都可收到固定金额的息票给付（couponpayment）。
请问永续年金的现值为何？
现以C表示永续年金持有人每期所收到的固定金额息票给付，其现金流量图为：
现金流量CC．．．C．．．
012．．．n．．．
将此式代入现值公式可得：
CCC
PV＝＋＋＋‧‧‧，
1+r（1+r）2（1+r）3
式中最右边的三点表示这个数列一直下去直到永远，而r为资金的机会成本。
只要r大于零，上式右边的总和为有限值，经过简单的运算，上式可化简为：
C
PV=。
r
永续年金的价值就是未来各期固定现金流量（C）的现值，这个价值亦反映债券持有人所愿意出的最高价格。
永续年金的持有人若每一期以所支领息票收入做为其消费支出的财源，则她可永远维持这个消费型态而不必担心未来各期消费支出的财源。
C/r就是她为了永远维持这种消费型态在本期所必须提存的金额。
若将C/r存入银行，从下一期开始，她每期可支领的利息：
C
利息=‧r=C。
r
若将此利息收入用于消费支出，则每期可供消费金额就等于该期息票收入（即利息），而且可依此永远运作下去。
例子：
某一永续年金每年给付给永续年金持有人1000元。
若资金的机会成本为8%，请问此永续年金的价值是多少？
利用永续年金的现值公式：
1,000元
PV==12,500元，
0.08
假设机会成本降为5%，永续年金的现值变为：
1,000元
PV'==20,000元。
0.05
此例亦可看出永续年金的现值和资金机会成本r成反向变动。
4.2成长型永续年金
成长型永续年金和永续年金不同之处在于成长型永续年金持有人每年可收到的息票给付是以固定成长率增加。
成长型永续年金的现金流量图为：
现金流量CC（1+g）．．．C（1+g）n-2C（1+g）n-1
012．．．n-1n
成长型永续年金的现值为：
CC（1+g）C（1+g）N-1
PV=++．．．++．．．
1+r（1+r）2（1+r）N
式中C为下一期（即第一期）的现金流量，C（1+g）N-1为第N期的现金流量，g为现金流量的年成长率，而r为折现率。
若r＞g，则成长型永续年金的现值可简化为：
C
PV=。
r–g
例子：
许根在淡水拥有一栋公寓，计划将此公寓分租给当地学生，预计下一年度的房租总收入为10万元。
许根在房租契约上，明订房租和物价指数连动，即房租租金率按物价膨胀率调整。
许根预测未来各年年平均物价膨胀率为3%，均衡利率为8%，请问许根将此公寓出租预期房租的现值为多少？
未来各期都有房租收入，但由于房租收入随物价膨胀率调整，故每年房租收入不再是固定值，而是依某固定成长率（3%）增加，我们将有此现金流量型态称为成长型永续年金。
将r=8%以及各期房租收入代入成长型永续年金现值的定义式可得：
100,000元100,000（1.03）元100,000（1.03）2元
PV=++
1.081.081.08
100,000（1.03）N-1元
+．．．++．．．
1.08
将上述例子中的数字代入成长型永续年金公式，可得：
100,000元
PV==2,000,000元，
0.08-0.03
运用成长型永续年金公式时，以下几点值得注意：
（1）现值公式中分子的C值，系指下一期而非本期的现金流量。
（2）现值公式成立的条件是r＞g。
若g＞r，表示现金流量成长
速度大于折现率，此将造成各期现金流量的现值不再是有限值。
换句话说，未来的现金流量随着时间愈久远，而对目前的价值愈重要，此和一般现值概念相违背。
一般现值概念应是未来现金流量的重要性会随着时间愈久远而愈少。
（3）成长型永续年金的现值公式中，假设每年取得现金流量一
次。
4.3年金
年金系指在固定且有限期间内，每期给付固定金额的现金流量。
大部分财务工具其现金流量型态属于年金型式，退休年金或房贷即是年金标准例子。
年金可用以下的现金流量图表示：
现金流量
CC．．．C
012．．．T
年金的现值可用下列式子算出：
CCC
PV=++．．．+
1+r（1+r）2（1+r）T
式中现金流量是由第1期持续到到第T期，每期现金流量为固定值C。
当然，我们可以直接计算年金现值，以下我们将利用永续年金现值的计算公式来说明如何计算年金的现值。
首先，我们考虑以下永续年金A和永续年金B，两者差异只在于现金流量给付的起始点，永续年金A给付起始点为第1期，永续年金B给付起始点为第T+1期。
永续年金A：
CC．．．CC．．．
012．．．TT+1．．．
永续年金B：
00．．．0CC．．．
012．．．TT+1T+2．．．
永续年金A以第0期（当期）货币所表示的现值为：
C
PVA（0）=，
r
而永续年金B以第T期货币所表现的价值亦为：
C
PVB（T）=。
r
由于PVA（0）和PVB（T）是以不同时点货币所衡量的价值。
两者衡量基准不同，若要比较，我们应先将PVB（T）转换为以本期（第0期）货币所计算的价值：
C1
PVB（0）=×。
r（1+r）T
此时，PVA（0）和PVB（0）的差就是年金的现值：
C1
PV=PVA（0）-PVB（0）-1-。
r（1+r）T
若给付期间愈长（即T值愈大），则PV的值愈接近C/r（此因为当T值愈来愈大时，1/（1+r）T愈来愈接近1）。
例子：
陈南日前中了计算机型千万元彩券头奖，奖金支付方式为连续20年每年给付奖金50万元。
第一次奖金给付是一年后的今天。
这个彩券之所以称为千万元彩券系因50万元×20期=1000万元，若市场均衡利率为8%，请问头奖的价值为多少？
利用年金现值公式，可得到奖金的现值为：
50万元1
PV=×1－
0.080.08（1.08）20
=4,90万元。
由此可知，千万元头奖只是广告噱头而已，此奖券头奖奖金的现
值只有490万9050元而已。
4.4成长型年金
成长型年金和年金不同处在于给付期间内，每期现金流量是以固定成长率增加：
现金流量
CC（1+g）．．．C（1+g）T-2C（1+g）T-1
012．．．T-1T
依永续年金现值计算方式，成长型年金的现值为：
C1+g
PV=1-（）T，
r-g1+r
式中C为在第一期期末的支付金额，g为每期支付金额的成长率，r为利率，T为成长型年金持续期间。
例子：
朱胖将于某国立大学经济系研究所博士班毕业，某科技大学提供朱胖助理教授一职，该职年薪为60万元。
朱胖预估她的年薪每年调升3%，朱胖目前25岁，距65岁退休年龄还有40年任职期间。
目前，市场利率为14%，请问朱胖往后40年的年薪现值为多少？
为简化计算，假设第一年年薪60万是在第一年年终一次给付，而以后各年年薪给付亦依此方式，依成长型年金公式可得：
60万元1.03
515.46万元=1-（）40。
0.14-0.031.14
习题：
1.朱一打算为其刚出生的儿子储蓄其大学教育经费，假设朱一的儿子在16岁上大学。
目前大学学杂费一年需要10万元，且每年以5%成长率增加。
若朱一打算从明年开始，连续16年，每年存一笔固定金额的钱。
若年利率为8%，试问朱一每年应存多少钱？
2.林金5年前以12%利率向银行借了一笔20年期500万元的房屋贷款，还款条件为每个月偿还相同金额。
林金付完第60期款项后，发现年利率已降为10%。
林金正考虑是否以较低利率重新融资时，但房贷契约中有一条提前解约条款：
林金必须支付未归还本金余额5%做为解约金。
在此条件下，林金是否应决定重新融资？
3.ABC公司目前正评估两项投资计划。
计划A执行后，预期往后10年，每年有300万元现金收益，在往后15年，每年现金收益增加为700万元，到了第25年就没有任何现金收益。
至于计划B，预期往后10年，每年有1000万元的现金收益；10年后，就没有任何现金收益。
公司财务管理人员评估结果发现计划A和计划B的资金机会成本各为8%以及14%。
（a）请问何项投资计划的风险较高？
（b）请计算两个计划各期现金收益的现值。
假设政府决定全额补助这两项计划的投资支出。
（c）但规定ABC公司必须将投资计划执行完毕，中途不得转售。
请问ABC公司应选择那个计划？
（d）ABC公司可在计划执行期间，依市价出售投资计划。
请问ABC公司应选择那个计划？
4.朱一计划出售位于新店的别墅。
林金出价1150万元，以现金方式一次付清。
黄朝出价1500万元，但无法一次付清，打算三年后再以现金方式一次付清。
若目前均衡利率
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