复变函数与积分变换学习指导第一章.docx
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复变函数与积分变换学习指导第一章
第一章复数与复变函数
本章首先引入复数域与复平面的概念，其次引入复平面上的点集、区域、Jordan曲线以及复变函数的极限与连续等概念。
第一节 复 数
一.复数的表示
1.
2.欧拉公式
3.虚数
纯虚数
且
4.模
辐角
主辐角
5.
与
的关系
当
时，
例1求
及
解
注意：
一般有两种含义，一种是指非零复数无穷多辐角中的一
个，另一种是指落在
之间的主辐角。
具体在题目中是指
哪一种含义，需要根据上下文来确定，一般是指主辐角。
二.复数的运算
复数可以看作与复平面上的点
对应,也可以看作是与平面上的向量相对应。
1.加法
（遵循平行四边形法则）
2.减法
（遵循三角形法则）
3.乘法 设
4.除法
5.乘方
注意：
6.开方（即求
的根）
例2计算
解
故
故
例3解方程
解由
有
故
三.共轭复数
1.
2.
3.
4.
例P38.4
证明
并说明其几何意义。
证
几何意义:
平行四边形两条对角线长的平方和等于四条边长的平方和。
例P38.5
设
三点适合条件
及
试证
是一个内接于单位圆周
的正三角形的顶点。
证由
知,
位于单位圆周上,故只须证
为正三角形的顶点即可。
由
得
又
（由上题结论知），
故
即
。
同理可得
，故得证。
四.常用不等式
1.
2.
五.直线与圆的复方程
1.过
的直线的实方程为
当
时，表示
之间的直线段，因此
的直线段的
复方程为
过
的直线的复方程为
2.
三点共线
3.
的中垂线方程为
。
4.以
为心，
为半径的圆周方程为
。
例P35.7
证明：
复平面上的直线方程可写成
其中
为非零复常
数，
为实常数。
证任给实直线方程
令
代入化简得
令
即得
反之，设有方程
令
则得
为一直线。
例P39.13
试证
在负实轴上（包括原点）不连续，除此之外在复平面上处处连续。
证
1）当
时，
无意义，故
在原点不连续。
2）若
为负实数，则
，当
由负实轴的下方趋于
时,
故
在负实轴上任意一点上都不连
续；
3）对任意
且
不在负实轴上，
，取中心在
不包
含负实轴上的点，但整个包含在张角为
的角形内的最大圆,
半径
当
时,总有
第二节复平面上的点集
一.基本概念
1.
的
的邻域
。
2.
的去心邻域——
。
3.内点——若
有一个邻域全含于
，则
为
的内点。
4.外点——若
且
不是
的聚点。
5.边界点——若
的任意邻域内既有属于
的点又有不属于
的点，则
为
的边界点。
6.聚点（极限点）——若
的任意邻域内都含有
的不同于
的点，则
为
的聚点。
7.孤立点——若
但
不是
的聚点，则
为
的孤立
点。
8.开集——若
的点都是内点，则
为开集。
9.闭集——若
的每一个聚点都属于
，则
为闭集。
10.区域——
为区域即
为连通开集，指
为开集且
中的任意
两点可用全含于
中的折线连接起来。
11.闭域——区域
以及它的边界。
12.单连通区域——若
为区域，且在
内无论怎样划简单闭曲
线，其内部都全含于
（即没有“洞”的区域）。
13.多连通区域——非单连通的区域。
如
例设
为单位圆内非实数的点集，求
的内点.外点.边界点.聚
点和孤立点。
解
为开集，其内点就是它本身；外点集
；边界
；聚点集
；
没有孤立点。
二.平面曲线
1.连续曲线
——由
所确定的平面点
集,记为
其中
是实
变数
的两个实函数，在
上连续，起点为
，终点
为
；当
则点
称为
的重点。
2.简单曲线（Jordan曲线）——无重点的连续曲线。
3.简单闭曲线——起点和终点重合的简单曲线。
简单闭曲线的方向——规定为逆时针正方向，顺时针为负方向。
4.可求长的连续曲线——
，若对任意实数列
存在，则称
为可求长曲线，并记
为曲线
的长度。
5.光滑（闭）曲线——
在
都存在.连续且不全为零
为闭曲线且
。
6.逐段光滑曲线——有限条光滑曲线衔接而成的连续曲线。
7.基本结论
连续曲线是平面上的有界闭集。
逐段光滑曲线必是可求长曲线（但简单曲线却末必可求长）。
为可求长
均为
上的有界变差函数。
是光滑曲线,
则
必是
上的绝对连续函数。
定理1.1（Jordan定理）任一简单闭曲线
将复平面唯一地
分成
.
.
三个点集，它们具有以下性质：
（1）彼此不交；
（2）
是一个有界区域，称为
的内部；
（3）
是一个无界区域，称为
的外部；
（4）若简单折线
的一个端点属于
另一个端点属于
，则
必与
有交点。
第三节复变函数
一.复函数的概念
1.定义设
为一复数集,若按一对应规律,使
中每一个复数
都有
唯一的复数
与之对应,则在
上定义了一个单值函数
；
若
中的每一个
对应几个或无穷多个复数
则在
上定义一个
多值函数。
2.定义若对
平面上点集
的任一点
有
平面上点集
的点
使得
则称
把
变（映）入
（简记为
）,或称
是
到
的入变换。
若
且对
任一点
有
的点
使得
则称
把
变（映）成
简记为
或称
是
到
的满变换。
3.定义若
是点集
到
的满变换,且对
中的每一点
在
中有一个或至少两个点与之相对应,则在
上确定了一个单值
或多值函数,记为
称为的
反函数；若是
到
的单值变换，则称
是
到
的双方单值变换或——
变换。
例
把
平面下列曲线分别变成
平面的何种曲线？
（1）以原点为心，2为半径，在第一象限内的圆弧；
（2）倾角为
的直线；
（3）双曲线
。
解设
，故
（1）
因此
平面上的对应图形为:
以原点为心,半
径为4。
在
轴上方的半圆周。
（2）
或
，因此在
平面上对应的图形为射线
。
（3）设
故
平面上对
应的图形为直线
.
二.极限与连续
1.
沿
于
有极限
2.
沿
于
连续
证“
”
，
故
同理
。
“
”
，
又
、
在
处连续，即得。
三.结论
1.极限若存在则必唯一。
2.若
、
沿点集
在点
有极限（连续）,则其和、差、积、
商（分母的极限不为零）沿点集
在点
仍有极限（连续），
且极限值等于
.
在点
的极限值的和.差.积.商。
３.若
沿点集
于点
连续且
沿点集
于点
连续，则复合函数
沿
点集
于
连续。
４.
则
在点
的某去心邻域内有界。
５.聚点定理：
每一个有界无穷点集至少有一个聚点。
６.闭集套定理：
无穷闭集列
至少有一个为有界且
是
的直径
则必有唯一的
一点
。
7.覆盖定理：
设有界闭集
的每一点
都是
圆心,则这些圆
中必有有限个圆把
盖住。
8.有界闭集
上的连续函数
的性质：
在
上
有界
在
上有最大值与最小值。
在
上一致连续。
9.习题P40.17.18.19
四.例子
1.
在原点存在极限吗？
解设
则
由于
但是
故
在原点不存在极限。
2.设
则
在点
的某一去心邻域内是有界的。
证因为
故
于是
从而
所以,在点
内
是有内界的。
3.设
在点
连续,且
则
在点
的某一邻域内恒
不为零。
证 因为
在点
连续，
则
，
特别地，取
，则由上面的不等式得
，
因此
在点
的邻域
内就恒不为零。
第四节复球面与无穷远点
一.复球面
借用地图制图学中将地球投影到平面上的测地投影法,建立复平面与球面上的点的对应，以此来合理地引入无穷远点。
1.取一个在原点
与复平相切的球面。
2.过
作一垂直于复平面的直线交球面于
称
为北极。
为南
极。
3.用直线段将
与复球面上的一点
相连,此线段交球面于点
这样就建立球面上（不包括北极
）的点与复平面上的一一对应。
4.北极
可以看成与复平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，
这个假想点称为无穷远点，并记为
。
5.复平面加上点
后称为扩充复平面，与它对应的就是整个球面,称为
复球面。
6.数
的运算规定：
无意义；
当
时,
当
（但可取
时）,
的实部、虚部及辐角都无意义，
复平面上的每一条直线都经过点
同时,没有一个半平面包含
点
。
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