复变函数与积分变换第1章Fourier解读Word下载.docx

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其中3=2兀「

cosncotdt（h=0,1,2,-・・）

=¥

『;

/（/）bn=討丁;

/厂⑴sin叱血（〃=1,2,…）在间断点f处成立：

引进复数形式：

』net*^incot

coshcdZ=,sinneot=

M+0）+m-0）七+£

（a”cost+bnsinn^t）

2n=\

•incot

—e

Jn（dt.-in（dt/-in（x）t、

e4-efe—e

an+O’

22i）

an-ibnin（dt+%+比八^一和冋]

级数化为:

占dtfc/=:

—fl

令5=等C”=乎,d”=屮，则c°

=缶心S£

J；

；

齐⑴2°

Wsin妁M=*J；

）〃”=£

加）[cosm/+isinncot]dt=”：

J⑴

^^n=l,2,・.）（j=耳）

级数化为送5严

n=-co

合并为：

C弓］t：

Jt（”叫心=0,±

1,±

2,…）

-incori

dre

incot

=lyPf72

T厶J-r/2

丄M=—8」

Cn=F（nco^—fT（J）的离散频谱；

|c”|—A・（r）的离散振幅频谱；

argc”一/^（f）的离散相位频谱；

乙

若以触/）描述某种信号，贝陀”可以刻画齐（/）的

◎频率特征。

对任何一个非周期函数门（）都可以看成是由某个周期函数/HO当卩—8时转化而来的.

作周期为卩的函数力&

），使其在［・772,772］之内等

于在［・772,772］之外按周期卩延拓到整个数轴上则卩越大，/应）与M）相等的范围也越大，这就说明当

卩—8时，周期函数彷⑴便可转化为/（从即有

恐”"

）

例矩形脉冲函数为

[1kl<

lokl>

如图所示：

f⑴

现以门。

为基础构造一周期为卩的周期函数广应），令卩=4,则

兀0）=士”+4介）,

//=—<

rt7i

=neo=

27T27T7T

CD===—,CDn

T42n

九（f）

r则

2TJ

_j_r4J-2

2LfT（t）e-J^rdt"

2・，f4（t）e~wdt=

=—!

幺-曲

-4丿®

1sincon1・/、/小…r、

一=-sinc（coj（n=0,±

1,±

2,・・・）

2®

sine函数介绍

sine函数定义为sinc（x）="

口兀

=1,

严格讲函数在兀=0处是无定义的，但是因为lim沁XTO%

前面计算出

Cn=]sinc（coJ（72=0,±

1,±

3严心碍=竽，可将C“以竖线标在频率图上

/•

现在将周期扩大一倍，令卩二&

以/⑵为基础构造

一周期为8的周期函数/应）

A（r）=-f8h）,

n=_s

2疋2疋兀n7C

CD===—,CD=neo=

T84z，4

fT（t）e~wdt

i4.]「1#

話[/（站叫广％

1..

1sincon

•II

4co“

=tsinc（q”）（m=0,±

l,±

=-严』

则在T=8时，

cn=-sinc（coJ（n=0,士1,±

叭=心證=竽再将c”以竖线标在频率图上

如果再将周期增加一倍，令卩=16,可计算出

5=丄sinc（©

）（n=0，±

1，±

2,…）con=neo=n^-=再将c”以竖线标在频率图上

168

一般地，对于周期卩

—Tja）n_]

2sincon

sinc（con）（n=0,±

由lim=

T—>

+co

当周期卩越来越大时，各个频率的正弦波的频

率间隔越来越小，而它们的强度在各个频率的轮廓则总是sine函数的形状，因此，如果将方波函数/（"

看作是周期无穷大的周期函数,则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成，将那个频率上的轮廓即sine函数的形状看作是方波函数门。

的各个频率成份上的分布，称作方波函数门。

的

i^rier变换.

1.2Fourier积分公式与Fourier积分存在定理

设斤⑴为周期函数，在-彳，彳上满足Dirichlet条件,则人（/）可展开为Fourier级数：

卜8

fr（沪工5严

/=-oo

Q”=ruo=2n7r/T,c”=£

「：

4（必"

恸

1jb空T

即A（O=-X[”）严

H=-sL2

]+8C-

可知/（0=7!

im—JrA（rXJ

并=-8L2

当〃取一切整数时,®

所对应的点便均匀分布在整个数轴上：

2龙

—J%

n=-oo

2兀

o55®

35.冋CO

令Aty=con一couX=2tu/T（与〃无关），T=27r/Aco△OT0OTT+00,此时视®

为血（连续变量）©

一幵=_00

|+s

■wdr

弋咕乙J"

/匸一s

令Ft（®

）=\2rfT（T）e~）a）"

rdt

]+S

M=lim—工Fygje血仏％

ST2tt二

外他）訂：

：

-匚/⑺严d边F@）（Tt-W））由定积分定义/（/）=丄「尸（0）&

曲為（注：

积分限对称）.rJ—S

f（t）的Fourier积分公式

0TTJ-s

Ml/（右

Fourier积分存在定理

若函数/（f）在任何有限区间上满足狄氏条件（即函数在任何有限区间上满足：

（1）连续或只有有限个第一类间断点

（2）至多有有限个极值点），并且在（p,丹o）上绝对可积则有：

「「「f（Tyja）Tdr\ejcotdco

J—SJ_oo

]r-Ko

17T

g为连续点

于（q+0）+于（二0）/为间断点

在（-oo,+oo）绝对可积是指的「I/（Old?

收敛。

J—S

1Fourier变换的定义

2Fourier变换的性质

3〃函数的Fourier变换

1.2.1Fourier变换的定义

设/⑴在（y,+8）满足下列条件：

（1）/⑴在任何有限区间上满足展开为Fourier

级数的条件，即只存在有限个第一类间断点和有限

个极值点；

（2）f（t）在（to,+8止绝对可积，即匚|/（c|dt

收敛.

则在/⑴的连续点处

f⑴=f广严％厂/（/）严仙，

2兀JYJY

而在/⑵的间断点处

/中+八日=丄广严也广

22龙匚—

定义1・1设/⑵和F（w）都是在（-8，+00）上绝对可积函数，称匸7（小“曲

为/（（）的称

为F3）的，记为F［于⑴］和F"

0（血）］,

W—00

FJ［FS）］=丄广FS）严do

2启7

如果/⑴满足Fouriei•积分定理条件，那么在/*（『）

的连续点处成立

f（t）=FJ［F［/（Z）］］.

例1・1设f（x）=e-h2x\b>

d）9求F[/（x）].

解根据定义，有

F[/（x）]=厂八―dx=厂乍）dx

J—coJ—co

剳血=limr

代一>

+幕d（却条I

Rt+<

x）J-R

dx.

因为尸分在全平面

处处解析•所以取图中的

路径4BCD4时，根据

0）

■

lb1

t虚轴

~-RO

Cauchy积分定理

R实轴

血+・戶讼=0・

当/?

—>

+00时,

€一/>

2（/?

+少）2

^e-b2（R2^2Riy-y2）Ay

同理可证

J_e^2dz->

0（/?

^+oo）.

因此，当K―+8时，

+k-b1E烽]r+K,22

lim\eI"

丿dx=limfe~b'

dxRt+coJ—RRt+ooJ-K

吃严沁£

A吩辛,

于是

F[f（x）]=

求

（0>

的Fourier变换•

解根据Fourier变换的定义

f[/（/）]

=f幺-（0皿"

d/=—-—p^ico

例1・3求/'

（『）=纟一別（0>

0）的Fourier变换,

并证明

Jop1+d>

2Ip

因为f⑴在（-8,+oo）上连续，且只有一个极大值

F[/（z）]=J2e

120

_#2+q2・

=一I—产~（cos^yr+/sind>

r）d（i>

20严cos血.

=VJo

点力=0，而

厂尹恤=2厂严d/=—

J-OOJop

存在，所以根据Fourier变换的反演公式

p-120

fWFL严百

1p+<

在无线电技术、声学、振动理论中，Fourier变换和频谱概念有密切联系.时间变量的函数于⑴的Fourier变换F（w）称为/⑵的函数,频谱函数的模\F（co）\称为振幅频谱（简称为频谱）.

例1・4求矩形脉冲函数（E>

的频谱・

一2

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