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数学记忆
下面的这篇文章是我很敬佩的刘未鹏先生写的。
最近看到很多还在上学的jrs对学习方法有着很多疑问，这篇文章比较系统全面阐述了刘先生在学习方法方面的一些心得。
关于波利亚由数学引出的思维方法介绍在13楼。
好东西大家分享，希望能给大家一些启发。
你所拥有的知识并不取决于你记得多少，而在于它们能否在恰当的时候被回忆起来。
让我稍微说得更详细一点：
学习新知识并将其存放于大脑中，最终的目的是要在恰当的时候能够想得起来去使用。
因此，学习的有效性显然应该这样来衡量：
当遇到需要用到学过的知识的时候，相关的知识是否会自动从你脑海中“蹦”出来，最起码——能否通过有意识的搜索将它们提取出来。
这可不像它听上去那么简单，否则就不会有“掉书袋”、“读死书”这种修辞手法了。
为了更深入地说明这一点，以下是几个著名的关于学习与记忆机制的实验：
《找寻逝去的自我》上提到这样一个例子：
假设这样一个任务：
给你一个单词（如brain），要你寻找它的押韵单词（如train）。
一段时间之后问你记不记得当时给你的单词是什么了。
你可能会不大记得了。
现在，如果当时不是要你寻找押韵单词，而是要你联想该单词的含义或功能（如brain的功能），那么你事后回忆起来当时是什么单词的可能性就大大增加了。
对此一个靠谱的解释是：
后一种记忆编码方式（称为精细编码）提供了更多的提取线索。
所谓条条大路通罗马，任何一个线索被触发都可能顺藤摸瓜地拎出整条鱼记忆来。
一个非常类似的实验是这样进行的（ Craik&Tulving于1975年做的一个关于记忆的浅层深层加工的经典实验，参考这里，论文原文可参考这里）：
给出同样一组单词，让一组被试数一数每个单词有多少个音节，让另一组被试阅读单词的含义（或者设想单词可以被使用在哪些场景中），之后让两组被试回忆列表上的单词，猜哪一组能够回忆出更多？
这是一个被广为认可的记忆机制，即：
我们在记忆的时候将许多线索（例如当时的场景、问题的背景，甚至所处的语言环境、空间位置）一并编码进了记忆，事后能否提取出这段记忆严重取决于提取线索是否丰富、以及在回忆的时候是否重现了记忆时的线索。
原则上，在上面提到的两个实验中，两组被试都接触到了同样的单词，都记忆了同样的知识，但取决于在记忆的时候将哪些线索，多少线索和该记忆进行了挂钩，就决定了事后回忆（提取）该记忆的成功与否。
联系我们日常的经验，不难注意到，死板的记忆方式和我们常说的“理解记忆”正对应了不同的编码方式。
书呆子记忆就是死记硬背，到最后如果你问他某书某章节讲了什么内容他能倒背如流，问他哪个例题怎么解也能倒背如流，但遇到具体的问题或问题的变种就傻眼了，因为他记忆的时候根本没有深入理解知识，在他眼中的解题过程其实和电话号码簿也没啥区别，也许他唯一编码了的提取线索就是这个答案来自哪一章、哪一节或者哪一个问题。
然而对于理解记忆的人来说，知识中包含了精细的概念、逻辑、一般的解题原则、通用的解题手法、背景知识、类似的问题等等无数的记忆和提取线索，而不是某段孤立的、任意的文本序列。
（当然，众所周知理解记忆的另一个重要特点则是记住一般性原理之后，其他细节即便遗忘了也可以自然推导出来，从而无需费力去记忆。
有一个广为流传的《数学牛人们的轶事》（荣耀属于ukim）里面讲了希尔伯特的一个故事：
一次在Hilbert的讨论班上，一个年轻人报告，其中用了一个很漂亮的定理，Hilbert说“这真是一个妙不可言（wunderbaschon）的定理呀,是谁发现的？
”那个年轻人茫然的站了很久，对Hilbert说：
“是你.……”。
）
缺乏线索的记忆就像记忆海洋中的孤岛，虽然在那里，但是难以访问。
而富含线索的记忆则是罗马，条条大路通罗马。
古希腊（或者古罗马）有一种著名的记忆法就是利用空间位置线索来辅助记忆，我曾经用过类似的手法，在小规模临时记忆任务中似乎相当好用，具体是这样的：
我有一个习惯，经常跑到实体书店看看有没有新书，浏览之后觉得不错的再考虑从网店购买。
有时候我会一下看到好几本书，手头又没有带纸笔，怎么有效地记住几本书的书名呢？
我发现要记4本书以上就比较困难了（具体数目可能因人而异），至少回头要想好久才可能想全。
但我发现通过回忆当时手拿这本书翻看时所站的位置、面朝的方向等信息能够有效地帮助将记忆“拉出来”。
事实上，不仅是位置，有研究表明就连当时的环境、味道、声音都被作为提取线索和记忆编码在一块了。
例如，考试环境和学习环境不一致可能会影响发挥（记忆的提取）。
科学松鼠会上有一篇科普《气味与记忆——非一般的亲密》中提到：
我们的回忆很多都是和气味连接在一起的。
当闻到某一种味道时会突然想起以前的一些事情，比如端起一杯香热的巧克力饮料，想起了最初品尝巧克力的情景，将一块黑褐色的糖放入嘴中，浓浓的滑滑的，有一些甜蜜和温馨；再比如，夏天在暴雨来临之前，浓郁的泥土和小草味道，会不会让你回忆起小时候因为没有拿伞被大雨淋透的感觉，甚至串联起回家挨揍的记忆，屁股上还有点火辣辣的痛。
而当我们想起过年，鼻腔里是不是也会有厚厚的爆竹烟火味道，仿佛立马置身于热闹的大年夜。
尤其是在社交活动中，我们经常会因为某一种味道想起一个熟悉的人，甚至是几十年没见的老朋友。
的确如此，我有时候会在看小说的时候放上一段背景音乐，之后每当听到这段音乐就想到当时看到的那段情节。
我们甚至会把语言背景作为线索编码进记忆。
一项有趣的研究使用双语询问有多个答案的问题，例如：
“说出一个举起一只手并遥望远方的雕像”（“nameastatueofsomeonestandingwitharaisedarmwhilelookingintothedistance”），或者“在一个著名的悲剧爱情故事中，双方因为家庭不同意最终双双殉情，故事的主角是..？
”（“Inafamouslovestory,whatwerethenamesoftwoloverswhodiedbecauseoffamilydisapproval?
”），被询问的人皆是熟练的双语使用者。
结果显示提问所用的语言能够影响答案，例如第一个答案可能是“*河蟹*雕像”或者“自由女神像”，第二个的答案则可能是“梁山伯和祝英台”或者“罗密欧与朱丽叶”。
用英语询问能够导致被试更可能给出英文环境中的答案，中文同理——当然，是相对于基线而言，而非绝对，具体可参考这篇（PDFPaper）
另一方面，在回忆的时候如果不能呈现当初记忆的时候某些关键线索，就可能导致所谓的线索依赖性遗忘（cue-dependentforgetting），在线索依赖性遗忘中，你的大脑中并非没有存放目标记忆，只是线索不对，无法提取出来而已。
对此有一个生动的比方是：
你要到图书馆去找书，如果你不知道索引号、作者名、书名等信息，你是无法找到你要的那本书的，尽管书就大摇大摆地站在图书馆里的某排书架上（注：
严格来说你是可以找到的——一本一本翻看，看到那本书你自然会注意到是你想要的，不过很可惜对于我们的记忆系统来说似乎并没有这么一个方便的线性遍历机制——如果我问你，“对于数学你都记得哪些东西？
”你能有次序地一个不漏地告诉我吗？
）。
我有记笔记的习惯，我的电子笔记本里面有大量的文本片段，我按照主题组织他们，方便检索。
然而总有那么一些时候，我记得有某段材料，记得它的主题和大致说什么，但是缺乏某个关键字，结果就是遍寻不着，往往只能到处翻，同时提醒自己下次在上面多加几个自己熟悉的关键字，比如用自己的话来概括一下主旨，因为自己的习惯用词和作者的习惯用词往往不一样，在阅读作者的文字的时候，你也许下意识里会用自己的习惯词汇来重新表述这段文本，并存放在记忆中，结果一段时间之后当要寻找的时候大脑中只记得自己的说法，却不记得作者原话了，然而为了检索到原始文本你必须要知道作者是用什么词汇来表述的。
为了弥补这个问题，可以在存放文本的时候加上自己的一段概述，这似乎是一个不错的方案——我们平时在学习和记忆的时候也经常听到类似的提倡：
用自己的话复述一遍之后理解得更深刻（实际上是更容易记住和提取出来——知识还是那些知识；此外用自己的话复述也常常触发与自己的知识体系中其他知识的联系，进而编码进更多的记忆提取线索，这也是另一个好处（《书写是为了更好的思考》））。
另一个经典实验则是关于抽象在知识的学习和提取中的作用的：
（其实这个实验我已经在博客里用过两次了）先让被试（皆为大学生）阅读一段军事材料，这个材料是说一小撮军队如何通过同时从几个不同方向小规模攻击来击溃一个防守严实的军事堡垒的。
事实上这个例子的本质是对一个点的同时的弱攻击能够集聚成强大的力量。
然后被试被要求解决一个问题：
一个医生想要用X射线杀死一个恶性肿瘤，这个肿瘤只可以通过高强度的X射线杀死，然而那样的话就会伤及周围的良好组织。
医生应该怎么办呢？
在没有给出先前的军队的例子的被试中只有10%想到答案，这是控制基线。
然后，在先前学习了军队例子的被试中，这个比例也仅仅只增加到30%，也就是说只有额外20%的人“自动”地将知识进行了转移（自己就能触类旁通）。
最后一组是在提醒之下做的，达到了75%，即比“自动”转移组增加了45%之多（需要别人提醒）。
这个实验说明，知识的表象细节会迷惑我们的眼睛，阻碍我们对知识的转移运用（推广），在这个例子中，两个问题领域表面上是不相似的，但本质上是一样的。
然而就是因为表面上不相似，而我们的记忆提取又是很大程度上依赖于一些表象上的线索来提取的，因此这些表面不相似性便阻碍了我们在问题之间进行的类比，阻碍了我们将在一个情境下掌握的道理运用到另一个情境下。
这就意味着，我们在从既有经验中总结知识的时候，应利用适当的抽象来得出适用范围更广的知识（而不仅仅是一个萝卜一个坑）；另一方面，在遇到新问题的时候，同样应该对问题进行抽象，触及其本质，去除不相干因素避免干扰，从而有效提取之前抽象出来的知识。
通俗的来说，这就是举一反三，触类旁通的解释。
前文说的是记忆的机制、为何记忆的质量有高低、什么样的记忆和学习是更有效的。
下文是一些具体的实践方法，关于如何更有效地从日常经验中总结知识，以及如何能够真正学以致用——使知识能够在你需要它们的时候自动从大脑中“蹦”出来，而不是搜肠刮肚半天还是没有头绪。
1）养成习惯，经常主动回顾一段时间学到的东西（老生长谈了）：
这不仅有利于巩固长时记忆，而且一段时间之后的回顾你可能已经因为新的知识学习从而对原先的认识有了进一步的看法，通过回顾，可以整合新旧知识，得到新的启发。
2） 创造回忆的机会：
我知道第一条不顶用，没有人（好吧，很少有人）能够真正坚持执行。
所以有了第二条——创造回忆既有知识的机会。
具体来说就是通过：
2.1） 经常与别人讨论，或者讲给别人听。
经常和朋友讨论交流，说说一段时间总结的东西，这样别人也学到新东西，你也从别人那里学到新东西，并且彼此在表达的过程中都强化了自己的记忆和理解，双赢的事情。
除了面对面的交流之外，一个好的邮件列表和BBS也是不错的途径。
（详细解释可以参考《为什么你应该（从现在开始就）写博客》第三节：
”教是最好的学“）
2.2） 整理笔记：
经常整理你的笔记——如果你没有做笔记，现在就开始——整理之前的笔记一来巩固已经淡化的记忆，二来给你重新审视知识的机会。
我常常发现对知识的首次记忆往往是有偏颇的，或者只看到了一个方面，或者只关注了一个点，一段时间之后再回来看往往能够和这段时间以来的一些新思考和知识结合起来，得到更多的东西。
留心一下你会发现记忆实际上是很脆弱的东西，而且我们对事物的首次理解几乎肯定是不深入的。
Tip：
我知道你懒（我也是），所以为了更好地创造整理笔记的机会，你可以使用一个不整理就难以检索的电子笔记软件，这虽然乍看上去是麻烦了一点，但他迫使你对知识隔一段时间就进行重读，并分类——你的记忆同样如此：
良好分类的信息更容易提取。
2.3） 书写：
将一段时间学习的知识按照一个主题系统地“串”起来大大地丰富了知识之间的关联，平添无数提取线索。
我经常做这个事情，这个博客上的文章几乎都是此类文章，例如我始终关注一个主题：
学习思维相关的科学（认知科学、心理学、行为经济学等等）如何能帮助我们进行更好的判断、决策、学习、记忆和生活，我将这个大的主题分为一些小的主题，例如“逃出你的肖申克”主要是总结思维中的盲点，以及如何避免这些盲点从而成为更好的独立思考者，作出更好的判断与决策。
“BetterExplained”系列则是按照小主题总结一些思维相关的知识，目的仍然是如何成为更好的独立思考者，对事物进行更理性的判断；这些小主题都归结在“思维改变生活”这个大的主题之下。
（关于书写的好处，详细解释可参考《书写是更好的思考》）
3） 设身处地地“虚拟经历”别人经历过的事情：
我们的自传式记忆似乎是有某种单独存储机制的，一个证据是一些因基因上其他缺陷而导致所谓“天才综合症”的家伙具有超强的自传式记忆（注意，不是超强的一般记忆，而是自传式记忆）。
另外我们在日常经验中也知道，我们的记忆中关于哪些是自己的性格或做事方式，哪些是我们所了解的朋友的性格或做事方式，我们可是分得清清楚楚的。
我们可以在不同场景中非常快速地揣测“某某在这种情况下会怎么想”（这被称为 theoryofmind ），却不会将其与“我自己会怎么想”混淆起来，证明在我们的记忆中，关于自己的知识和关于别人的知识是泾渭分明的。
对于经验知识的学习来说，光是看着别人做或者听着别人说还不够，往往到了自己就想不起来，结果就是你虽然学到了知识，它却不会在恰当的时候从你大脑中蹦出来，属于“死”的知识。
为什么会这样，可能的原因是很多的，其中一个关键的原因也许是“别人的事情”和“自己的事情”在大脑中的加工方式是不一样的，别人撞墙你也许不仅不疼还会幸灾乐祸，自己擦破皮就龇牙咧嘴了；别人的糟糕事情似乎永远不会发生到自己身上。
所以我们总是难以从别人的经验中获得自己的教训。
一个弥补的办法在于努力设想自己处于别人的境地，经历别人所经历的事情，感受它们，使它们和你的情绪记忆挂钩（进化赋予我们的情绪是提取的绝佳线索，也是强化记忆的最佳催化剂），虽然仍然不够亲身经历那么深刻，但似乎已经是我们能做到的最好的办法了。
由于我们真切地设想了自己处于这些场景中，在我们设想的场景中我们是第一人称视角，所以当以后遇到类似场景的时候就更容易回忆起当时的感受。
当然，另一个经常被号召的方法就是实践，比起刚才提到的“虚拟实践”而言，实际实践的印象自然要深刻得多。
不过并不是所有的时候实际实践都是必须或者可能的。
例如你并不需要自己去倾家荡产一次才能领会到什么是金融市场中正确的风险控制——你甚至只需要在纸上演算一番就有数了。
有证据表明非洲的一种鱼甚至都能使用简单的推理来替代实际经历，例如，如果它和鱼B有过一次冲突并失败了，如果它观察到鱼B和鱼C有一次冲突，鱼B失败了，它就能直接意识到它自己不是鱼C的对手，从而避免所谓“直接去经历一下”而可能导致的灾难性后果（这里的进化价值是显而易见的）。
此外，很多时候你也无法真正遍历每条人生路径看看会发生什么，你没有这样的时间资源，取而代之的是你只能通过别人的“替代经验”，自己的“虚拟经历”，来获得尽量多的信息。
4） 抽象和推广：
如果一件事情就是一件事情，那么我们永远也无法学习到“未来”的知识，结果就是每堵墙都要去自己撞一遍试试硬度。
人类大脑最杰出的能力之一就是强大的归纳推理（inductivereasoning），或者我们常说的：
泛化、推广、举一反三、抽象。
意思都差不多，都是将特例中得到的规律推广到一般情况。
前面关于激光杀死肿瘤的那个实验充分说明了抽象的价值所在，不加抽象的话，知识总是会和无关紧要（irrelevant）的细节挂钩，被约束在狭窄的一个特定场景中，无法传播，抽象使其在知识树（fornon-geeks：
设想一颗倒长的树，根在上）上上升一个或多个层次，从而能够被运用到更多的分枝上。
同样，在遇到具体问题的时候也别忘了将问题也抽象一下，剔除不相关细节，使问题也从一个特定的分枝往上抽象，从而碰到之前泛化过的结论。
以上这段介绍本身就有点抽象，不妨举一个例子：
我们从大量的经济决策中得到一条适用范围很广的规律——经济决策可以抽象为对投入/回报比例的考量。
这是知识获取阶段的抽象；而在问题求解阶段，我们遇到决策问题就可以从投入/回报这个维度上来考量，而不是没头苍蝇一样这边看着想想也对，一忽儿又觉得那个选项看看也对。
如果不懂得看到问题的本质（如：
经济决策），便很难利用之前推广出来的结论（如：
投入/回报，风险估计等等），而是会被我们的原始大脑的一些可预期的非理性所控制（例如从众、从权威、甚至最可怕的行为陷阱——“推迟决策”），成为正常的傻瓜。
5） 联系/比较自身的经历：
将别人的经历或者通过阅读和观察得来的经历和自身的经历进行比较，常常能够得到非常有价值的结论。
“观察”和“比较”本身就是获得知识的一个重要途径，例如：
我之前做过某件事情，但不知道什么原因失败了；有一天我看到或阅读到某个人做类似或同样的事情，他成功了。
我通过比较两人的差别，可以比较靠谱地推测到底是什么导致了我们的成功概率的差异。
值得注意的是：
1）样本大小很关键：
比较的个体样本越少越容易产生错误归因，最好多多观察，多多比较和总结。
2）警惕“沉默的证据”、事后偏见、自利归因：
读他人的传记的时候，不管传记是本人写的还是传记作家通过访谈写的，都会有意无意地犯事后偏见，例如最常见的将成功归因为个人能力，忽略机遇因素。
将偶然看作必然。
有一天我在书店看巴菲特的那本最近很火的自传《滚雪球》，开篇就提到巴菲特小时候第一次滚雪球的场景，“1939午的冬天，9岁的巴菲特在院子里玩雪。
他把少量的积雪铲到一块，揉成一个雪球，然后把它放在地上慢慢滚动，雪球越滚越大..从此，巴菲特再也没有停下脚步，目光投向白雪皑皑的整个世界..”（虽然你可以说这只是一种修辞或衬托，但不可否认的是它背后隐藏的是一种无法抗拒的归因倾向）这种手法读来令人倍感深沉，仿佛冥冥之中有一条强大而确定的因果之线，穿越60年光阴，将人一生所有的事情穿在一起。
令人肃然起敬。
然而这并不是事实，从一个单个个体的观察角度来说，外界的不确定性因素实在太多了，机缘巧合的事情太多了。
然而无论是作者本人还是“客观”作家都很难抵抗这种演绎手法的诱惑，可叹的是这已经是我们能够了解他人的经历，拥有“虚拟”的多重经历的唯一途径。
观察、阅读，并别忘带着你的理性去审视（包括本文），弄清娱乐是娱乐，知识是知识，如果你想真正得到一些知识，最好过滤一下你的信息。
否则你只是在别人的思考中得意着。
记忆是理解的前提，是学习知识，形成能力的必要条件。
学习数学时，采用恰当的记忆方法，可以收到良好的记忆效果。
下面介绍几种常用有效的记忆数学知识的方法：
一、“理解”记忆法。
理解是一种最常用的、有效的、基本的记忆方法。
丰富的数学知识，靠死记硬背是很容易忘记的，就是记住了也不会灵活使用。
只有深刻理解了才能记得牢，才能灵活应用。
因此，对概念、性质的概括，公式的推导等过程都必须一清二楚。
二、“重点”记忆法。
数学知识越来越多，要想全记住，既费时又费脑，效果也不好。
要学会记住重点内容，然后通过内在的联系去推导、去联想、去记住别的内容。
三、“归类”记忆法。
数学知识有一个最显著的特点，就是系统性很强。
数学知识之间有着内在的联系，把有联系的知识进行归类，可以帮助我们更好地理解知识的内在联系，掌握知识结构，提高记忆的效率。
四、“比较”记忆法。
指在可比的基础上，对数学概念，定理，法则，性质等说明异同分析产生的原因，从而进一步达到掌握知识，形成能力的目的。
比较时，一定要按同一标准进行。
或按性质归类，或按穿插联系展开。
二是选准比较点。
五、“联想”记忆法。
将教材知识点，编成一个个问题，让学生进行思考、理解，寻根求源，寻找规律，从而强化印象，加深记忆。
教师要善于把密切相关的数学知识，按着联系，区别，知识结构提供材料和适度的提示，由学生自行概括，想象。
按知识结构联想，尽可能提供充分想象，发动学生积极开展联想活动，再现知识形成过程，再造想象天地，发展学生的创造想象力，启发他们的创造思维。
在数学教学中，不能单纯地向学生灌输知识，而要遵循数学教学特点，力争在传授知识的同时，又教给学生掌握和记忆知识的方法和途径，注意培养学生分析，综合掌握知识中形成能力，最大限度地唤起学生学习的注意力和求知欲，学好数学知识，只要教师能引之以思，启之以疑，导之以问，拟之以法，速记是一定能够奏效的。
六、“四多”记忆法。
要使记忆对象经久不忘，一般来说要经过多次反复的感知。
“四多”即多看、多听、多读、多写。
特别是边读边默写，记忆效果更佳。
七、“静心”记忆法。
记忆要从平心静气开始，根据一定的记忆目标，找出适合于自己学习特点的记忆方法。
比如记忆环境的选择就因人而异：
有人觉得早晨记忆力好；有人感到晚上记忆力好；有人习惯于边走边读边记；有人则要在安静的环境下记忆才好等等。
不管选择何种方式记忆，都必须保持“心静”。
心静才能集中注意力记忆，心静才能形成记忆的优势兴奋中心，记忆需从“静”开始！
八、“重复”记忆法。
重复记忆有三种方式
（1）标志记忆法。
在学习某一章节知识时，先看一遍，对于重要部分用彩笔在下面画上波浪线，在重复记忆时，就不需要将整个章节的内容从头到尾逐字逐句的看了，只要看到波浪线，在它的启示下就能重复记忆本章节主要内容，这种记忆称为标志记忆。
（2）回想记忆法。
在重复记忆某一章节的知识时，不看具体内容，而是通过大脑回想达到重复记忆的目的，这种记忆称为回想记忆。
在实际记忆时，回想记忆法与标志记忆法是配合使用的。
（3）使用记忆法。
在解数学题时，必须用到已记住的知识，使用一次有关知识就被重复记忆一次，这种记忆称为使用记忆。
使用记忆法是积极的记忆，效果好。
九、“系统”记忆法。
系统记忆法，就是按照数学知识的系统性，把知识进行恰当的比较、分类、条理化，顺理成章，编织成网，这样记住的就不是零星的知识而是一串，它往往采取列表比较的形式，或抓住主线、内在联系把重要概念、公式和章节联系串为一个整体。
十、“首次”记忆法。
首次记忆有四种方式：
（1）背诵记忆法。
将运算过程和结果在理解的基础上背诵记熟，这种记忆称为背诵记忆。
（2）模型记忆法。
有许多数学知识有它具体的模型，我们可以通过模型来记忆。
有些数学知识可有规律的列在图表内，借助于图表来记忆，这些记忆都称模型记忆。
（3）差别记忆法。
有些数学知识之间有许多共性，少数异性。
要记住它们，只需记住一个基本的和差异特征，就可以记住其它的了，这种记忆称为差别记忆。
（4）推理记忆法。
许多数学知识之间逻辑关系比较明显，要记住这些知识，只需记忆一个，而其余可利用推理得到，这种记忆称为推理记忆。
十一、“循环”记忆法。
即是将要记忆的材料分成若干组，当记后几组时，要有规律地复习记忆前面的几组。
也可用此方法于自学读书。
当阅读一本数学书时，先读第一章并记忆其中的一些主要结果；在读第二章以后的书时，应分别简要地复读前一章书中的主要结果；读一章书也一样，应在读后节内容之前，复读一下以前各节的主要内容。
这样的循环记忆，实则是在强化识记的痕迹，利于记忆的保持，自然可收到深刻记忆的效果。
十二、“交替”记忆法。
即是把不同的学习内容、不同的学科互相交替记忆；把学习和休息、学习和体育锻炼互相交替。
这样，可以提高大脑的记忆力。
十三、“逻辑”记忆法。
按照知识的顺序、层次、系统列出某单元知识结构图，根据知识结构图逐步分层记忆，可提高记忆的效率。
十四、“意趣”记忆法。
有意义的和感兴趣的事物容易记住，这是每个有记忆力的人的共同感受，把平淡、枯燥的记忆目标意趣化，例如，利用谐音或者生动形象的比喻等，都是强化记忆的有效方法。
十五、“分类”记忆法。
遇到数学公式较多，一时难于记忆时，可以将这些公式适当分组
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