（c）表示水平仲缩运动;
（<1）表示回转运动；
（c）表示俯仰运动。
解:
解:
■例2」已知坐标系｛B｝的初始位姿与｛A｝重合，首先｛B｝相对于坐标系｛A｝的s轴转30。
，再沿｛A｝的心轴移动12单位，并沿｛A｝的％轴移动6单位。
求位置矢量Sb。
和茨转矩阵脓。
假设
解：
c30°-s30°O'
0.866-0.5O'
^=/?
（z,30°）=
530°c30°0
=
0.50.8660
001
001
■
■
12
Ap^=6
0
解：
'0.866-0.50_
3
■■
12
11.098'
AP=；RBp+Ap「
0.50.8660
7
+
6
=
13.562
001
0
0
0
■例2」已知坐标系｛B｝的初始位姿与｛A｝重合，首先｛B｝相对于坐标系｛A｝的s轴转30。
，再沿｛A｝的心轴移动12单位，并沿｛A｝的几轴移动6单位。
求位置矢#VRo和旋转矩阵；心假设点“在坐标系｛B｝的描述为Bp=[3,7,0]求它在坐标系｛A｝中的
描述”
解：
ArA"
Af_E八Pbo_*一1_01J-
「0.866-0.50\2
0.50.86606
0010
_0001
「0.866
-0.5
0
12'
~3_
「11.098
Ap=^rBp=
0.5
0.866
0
6
7
13.562
0
0
1
0
0
—
0
_0
0
0
1
1
_1
「二、笛卡尔坐标系的齐次坐标变换笛卡尔坐标系oxyz中的点（x.y.z）向另一坐标系oxyz变换二雯换后的半至系（x,y,z）由下式计算：
y=q,x'+oj'+dz'+p
』ir*
x=n.xr+ozyf+a.zr+p.
式中PzPyg坐标系oty*的原点在坐标系oxyz的坐标；
坐标系oxyz^]ok'轴对坐标系O0Z的3个方向余弦;O”宀坐标系心丫£的。
丫轴对坐标系°习玄的3个方向余弦;冬,竹.,。
八坐标系oxy^的o'z'轴对坐标系a^z的3个方向余弦;
上式T是一个4X4阶矩阵，称为笛卡尔坐标系的齐次裳怏弭阵，它沟通了两个坐标系的关系，表示了在坐标系°xyz中的点r,经T变换后变成了坐标系oxyz中的点X
意义：
左上角的3X3矩阵/?
|是两个坐标系之间的旋转变换矩阵，它描述了姿态关系；右上角的3XI矩阵P是两个坐标系之间的平移变换矩阵，它描述了位置关系，所以齐次坐标变换矩阵又称为位姿矩阵。
｛A｝坐标的位姿。
解释如下：
｛B｝的坐标原点相对于｛A｝的位置为［1,-工41］丁
｛B｝的三个坐标轴相对于｛A｝的方向分别为：
｛B｝的X轴相对于｛A｝的方向矢量［（MOO］Tn｛B｝的K轴与｛A｝的y轴同向。
｛B｝的y轴相对于｛A｝的方向矢量［Q（M期丁=>｛B｝的理由与｛A｝的z轴同向。
｛B｝的z轴相对于｛A｝的方向矢®|1.0.0,0|Tn的z轴与的x轴同向°
任何一个齐次坐标变换矩阵均可分解为一个平移变换矩阵与一个旋转变换矩阵的乘积，即：
九O.YJP：
■|00p；
九4J0_
5°y比Py
010几
®°ya>0
n.o.a.p.
o01A
u.o.a.0
0001
■■
0001
■■
0001
T=
=Trans（pv,p皆p：
）Rot（k.O）
■平移齐次变^（HomogeneousTransrormationofTranslation）
-对已知矢量u^y.zAV进行平移变换所得的矢量u为：
「100/
X
■■x+a
010b
y
y+b
001c
z
z+c
0001
■OB
1
■■
1
■■
y=Tnms（aZ\c）“
'1
0
0
o'
'cO
0
S0
0_
0
cO
-sO
0
RoW）=
0
1
0
0
0
sO
cO
0
-s0
0
c9
0
0
0
0
1
0
0
0
1_
Rot（x*）=
■复合变换
-给定坐标系｛A｝,｛B｝和｛C｝,已知｛B｝相对｛A｝的描述为级，｛C｝相对｛B｝的描述为纠，则有BpW
Ap=；T・Bp叫TjT&p=；T・Cp
—复合变换湘对于｛A｝的描述）
•同理可有：
Ay_qpDEqn
Fl=ClDlElFl
■即一个坐标系变换至另一坐标系的齐次变换矩阵等于依次经历中间坐标系各齐次变换矩阵的连乘积.
■例2.3已知点心7,3,2卩，将h绕z轴旋转90。
得至U点儿再将点卩绕y轴旋转90。
得到点ms求点八
w的坐标。
解：
V=Rot（Z^9O°）M=
解:
如果把上述两变换组合在一起w=Rot（v,90°）Rot（z,90°）“
■若改变旋转次序，首先使死绕丿轴旋转90。
，再绕z轴旋转90。
，会使u变换至与护不同的位辰
■例2.4已知点〃=卩,3,2]1»将M绕z轴旋转90。
得到点*再将点V绕y轴旋转90。
得到点最后进行平移变换[4-3,7JT,求最终的坐标。
解：
将上述三个变换组合在一起
Trans（4,-3,7）Rot（v,90°）Rot（z,90°）
_0014
_100-3
=0107
-°°°，J平務变换和旋转变换组吞
解:
将上述三个变换组合在一起
n=Trans（4,-3,7）Rot（y,90°）Rot（z,90°）-u
■1、变换过程的相对性
・绕固定坐标系依次进行的坐标系转换，各齐次变换矩阵按“从右向左”依次相乘原则进行运算（右乘）・
坐标系的运动方式:
｛B｝的初始方位与坐标系｛A｝重合,首先使｛B｝绕心旋转角』再绕玖转角,0最后绕Za转
■
ca
-sa
（）■
0
-
1
0
■
0
sot
ca
0
0
1
0
0
cy
-sy
0
0
1
-S0
0
0
sy
CY.
■1、变换过程的相对性
■绕动坐标系依次进行的齐次变换，按“从左向右”的原则依次相乘（左乘）。
坐标系的运动方式:
｛B｝的初始方位与坐标系｛A｝重合,首先使｛B｝绕zb旋转角“再绕）俎转角力最后绕牝转
（«,/?
/）=R（z,a）•R（y,/3）•/?
（x,y）
ca
-sa
■
0
5
0
「1
0
o・
=
sa
ca
0
0
1
0
0
cy
一
0
■
0
1
■
■
0
■
0
■
sy
cy
■
■1、变换过程的相对性
相对于固定坐标系运动
结论：
1）变换顺序从右至左，运动是相对于固定参考系而言的;
2）变换顺序从左至右，运动是相对于运动坐标系而言的°
如何求？
已知坐标系｛B｝相对｛A曲勺描述为；T如何求？
》｛A｝相对｛B｝的描述为®To
°y
ay
0
3
o_
-p.n
-p.o
-p.a
1
•2、变换过程的可逆性
■将被变换坐标系变回到原来的坐标系时，可以用变换T的逆厂j来实现。
■例如X=TC使C变换为X,若用X求C则为
■厂i%=厂址=1c=c
■式中I为单位矩阵。
•卩表示｛B｝与｛A｝之间的变换，也即｛B｝在｛A｝中的描述；下
面从另一角度分析一下｛A｝在｛B｝中的描述。
•从逆方向去看图，固定系的x轴与动系的2轴方向一致，故X轴在动系中可表示为[0,0,1,0]T,同样固定系的丿轴可表示为[1,0,0,0]T,二轴可表示为[0,1,0,0]T,而回定系的原点可表示为[3,-7,-4,1]TO
103
01-7
00-4
001
・齐次变换逆变换的公式:
解：
-P/I=-OX1-OX2-（-1）X3=3
-Pp=-OX1-1X2-OX3=-2
=-lXl-0X2-0X3=-l则有
「00-13'
010-2j1=
100-1
0001
-例题：
已知齐次矩阵为:
_0o1r
0102A=
-1003
0001
■■
求41
第6节旋转变换通式
■1、旋转变换通式
■设K是某坐标系｛C｝的Z轴的单位向量，并设:
九°”毎°「
几660
0001
•这样，绕矢量k旋转就等于绕坐标系｛C｝的Z轴旋转，即
Rot（/f.0）=Rot（Z00）
■1.旋转变换通式
-如果被旋转的坐标系以参考坐标系描述时，记为
Y,以坐标系C为参考系时记为X,Y与X的关系为:
Y=CX或
X=CxY
绕k轴旋转Y等效于绕坐标系C的Z轴旋转X,即
Rol（K,0）『=CR"（Z「,9）X
将X=C_,K代入得：
Rot（K,&）Y=CRot（Z
■1、旋转变换通式
Rot（K,&）=CRot（Zc，0）CT
其中:
Vers0=l-cos&
■当k=\^ky=k:
=0时，即K为工轴，此时
1000
Rot（A：
^）=Rot（A\<9）=
sin。
=±寺J（q—a,'+（a.—并■）'+（死尸—oj"
2、等效转轴与等效转角
•球等效转轴K和等效转角伏即解下面的方程组。
k.kyersO^ksO0
k.k、,versO—kxs90
*）*kzkzversO^c00
01
唧■士
（2-19）
2sin0
2sin^
12.等效转轴与等效转角
■攸|J题：
求复合变换;R=R（”9（y）/?
（z,9（r）的等效转轴K和转角“。
■解：
1•计算旋转矩阵
'001'
■（）-10_
「oor
010
100
=
100
-100
■■
001
010
■»■
■2、等效转轴与等效转角
■解:
2•确定转角
宀于/H1
0=120°
■2、等效转轴与等效转角
•解：
3•确定转轴
Ta
■2.等效转轴与等效转角
•说明绕z轴旋转9（尸，再绕y轴旋转9『效果与绕空间直线K旋转12（）。
是等价的。
彳益人丄作台上加装-电视摄像
<7摄像机可见到尚联着6DOF关节机器人的机座坐标系原点，它也可以见到被操作物体（立方体）的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵"来表示，如果摄像机所见到的机座坐标系为矩阵T2表示。
■试求立方体中心在机座坐标系E0中的位耳■该手爪从上方把物体抓起，同时手爪的开合方向与物体的Y轴同向，
那么，求手爪相对于£0的姿态是什么？
■.
%=T2,求机7协
有：
机场二妆摄%=（t2）-,t1
1
0
0
0
0
0
-1
0
10
20
10
1
1
0
0
0
0
0
-1
0
1
10
9
1
0
-1
0
0
1
0
0
0
11
10
1
E0物根据Ti画出
因此物体位于机座坐标系的（11,10,1）T处，它的X,Y,7：
轴分别与机座坐标系的
-Y>X,Z轴平行。
工0机根据丁2画出
实际要求
q
卩；
叫爪
°z
0
-
0
0
b:
从上向下抓，指出手爪的。
方向物体二方向相反
贝lJWa=[OO-lf
c:
n=sxd=
■■
iJk
±10（）
00-1
=0/+±/+0A:
=|D±1Ol7
a:
丰爪开合方向与物体y向重合有刁=[斗100];
0
因此：
姿态矩阵为±1
0
±1
0
0
0
0
-1
当手爪中心与物体中心重合时
0
±1
0
0
±1
0
0
0
0
0
-1
0
11
10
1
已知工件相对于参考系｛U｝的描述为粘T机器人机座相对于参考系的描述为绐卩
§3.1微分关系
1微分关系的概念
微分运动就是指机器人的微小运动（推导不同杆件间的速度关系），而微分关系是指微分运动与速度之间的关系。
2微分关系的理论推导
下而这幅图是具冇两个自由度的简单机构。
其中每个连杆都能独立旋密,q表示第一个连杆相对于参考坐标系的旋转角度,a表示弹二个连杆才日对于第一个连杆矽旋转角度。
2014-12-30
在我们计算一下B点的速度
%二眄％
根据物理学中的相关公式，可以付到卩务］_|~一hsinG—12sin（q+$）—厶s>n（G+2）&|_広」L/jCOsq+Jcoyq+q）/2cos（^+^）j92接下来让我们对B点的位置方程求微分
XB=/,cosQ+12cos（q+0z）
Yt=/）sin&]+/2sin（^1+^2）
方程两边对q和&求微分，可得到2014-12-30青岛大学机电学院
-/jsinq_厶sin©+©）
一l2sin©+&2）
~dex_
如
■
l}cos。
】+/2cos（q+%）
l2cos（妬+g）
込
可以看到，微分方程与速度方程极为相似，只不过二者表达的物理含义不同，如果在微分方程的两边同时除以dt,则两方程就完全相同了。
3微分方程的结构
一/]sin0\-12sin（^）+/92）-lzsin（^+0JdQ、l{cosQ+厶cos©+0）l2cos（q+S）2
B点的微分运动方程
假设有一组变量为卩的方程r：
並
並］
■■
dxx
dr2
dXj
&
力；
••••••
•••
•
•
•
=
dx、
■
•
•
■
•
並
並
A_
8xj
或凶卜
则变量和函数间的微分关系可以表示为:
根据上述关系，我们可以建立机器人的关节微分运动和机器人手坐标系微分运动之间的关系。
2014■怙30青岛大学机电学院
矩阵两端都W血，就龙L度，戶叔本章主要针对微分运动讲解。
2014-12-30青岛大学机电学院
）例题：
给定某一时刻的机器人雅克比矩阵，给定关
节的微分运动，求机器人手坐标系的线位移微分运
动和角位移微分运动。
f0
例3・1给定某一时刻的机器人雅克比矩阵如下,计算给定关节的微分运动，求机器人手坐标系的线位移微分运动和角位移微分运动。
解：
将上述矩阵代入式（3.10）,得到:
-200010-
■0'
■■
0
■■
clx
-101000
0.1
-0」
dv
010000
-0.1
0.1
dz
000200
0
0
&
001000
0
-0.1
&
*
000001
■■
0.2
m■
0.2
■
8z
■■
D=JDg=
已知一个2自由度机器人及其坐标系如图所示.若因杆件1下关节轴承装配或制造不当，使杆件1沿关节轴线冇"・05单位的偏差，又由于两杆件的执行器运动不准确，旋转执行器使杆件1多转一个O.Olrad的偏差角，移动执行器使杆件2移动了一个0・1单位的偏差距离。
若杆件1的长度人=5单位，试求当机器人关节变量取
=90\rf,=10单位时，机器人手部位姿的偏差。
由已知条件可得：
—
0
cO}
-〃2昭
-w'
9Mq2dox-
ci）、
0
sOx
d2sOx+/］昭
0.01
叫1
0
0
（）
0
0
0
0
0
-0.01
0
0
-0.05
0
0
0.01
0.1
0
0
0
0
2014-12-30妄
血2浬盘击型降
0
0
gSO、
0
0
》§3.4坐标系的微分运动
1微分平移
微分平移就是坐标系平移一个微分量，因此它可以用Trans（dx,dy,dz）来表示，其含义是坐标系沿3条坐标轴做了微小量的运动。
2微分旋转
微分旋转是坐标系的小量旋转，它通常用Roige来描述，即坐标系/轴转动角度。
sin&=&（用弧度）
cos=1
绕一般坐标轴的三个微分运动可以表示为:
Rot（k,dO）=Rot（x,8x）Rot{y,^）Rot（z,&）=
1
-&
0
dz+&砂
\-8xdy&
-8x
0
&c+厲遥
•<
1
0
0
0
（）
1
・]
-dz
dv
0_
dz
1
-de
0
-3y
1
0
_0
0
JU
0
1
••
9
■•
材题：
求绕三个坐标轴作微分旋转所产生的总微分变换。
&=0.1^=0.05;&=0.02
解：
）3坐标系的微分变换
坐标系的微分变换是微分平移和微分旋转运动的合成。
如果用T表示原始坐标系，并假定由于微分变换所引起的坐标系T的变化量用dT表示，则有：
[厂+〃7']=\l'rans（dx^dy\dz）Rot{k.dO）Yr\
或\dT]=^mns（dx^y.dz）Rot（k,dd）-l\r]
可令：
[〃]=[△][门
|AJ=[Trans（dx.dy,dz）xRot（k.dd）一I\
我们称△为微分算子，用它乘以一个坐标系将导
201致L轴扌示系的变化。
吿魚夬坐知血坐殊
）进一步求得:
0-Szdvclx
（i（）
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