第九讲二次函数与三角形.docx

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第九讲二次函数与三角形

第九讲二次函数与三角形、四边形及其面积问题

一、知识梳理：

抛物线与几何问题，往往以计算为主线，侧重决策问题，或综合各种几何知识命题，近年全国各地中考试卷中占有相当的分量。

这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。

考查方式偏重于考查学生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。

解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决。

解抛物线与几何的综合题，应善于运用坐标，线段长度，抛物线解析式三者关系，充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。

二、精典题型剖析

考点1、二次函数与等腰三角形

例1、（2012•扬州）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？

若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

∴抛物线的解析式：

y=-x2+2x+3．

（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；

∵点A、B关于直线l对称，

∴PA=PB，

∴BC=PC+PB=PC+PA

设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：

3k+b=0

b=3

，解得：

k=-1

b=3

∴直线BC的函数关系式y=-x+3；

当x=1时，y=2，即P的坐标（1，2）．

（3）抛物线的对称轴为：

x=-

b

2a

=1，设M（1，m），已知A（-1，0）、C（0，3），则：

MA2=m2+4，MC2=（3-m）2+1=m2-6m+10，AC2=10；

①若MA=MC，则MA2=MC2，得：

m2+4=m2-6m+10，得：

m=1；

②若MA=AC，则MA2=AC2，得：

m2+4=10，得：

m=±

6

；

③若MC=AC，则MC2=AC2，得：

m2-6m+10=10，得：

m1=0，m2=6；

当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；

综上可知，符合条件的M点，且坐标为M（1，

6

）（1，-

6

）（1，1）（1，0）．

变式训练．（2012•杭州）已知抛物线y=k（x+1）（x﹣

）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（　　）

　　A．2　　B．3　　C．4　　D．5

解：

y=k（x+1）（x-3

k

）=（x+1）（kx-3），

所以，抛物线经过点A（-1，0），C（0，-3），

AC=

OA2+0B2

=

12+32

=

10

，

点B坐标为（3

k

，0），

①k＞0时，点B在x正半轴上，

若AC=BC，则

（

3

k

）2+32

=

10

，解得k=3，

若AC=AB，则3

k

+1=

10

，解得k=3

10

-1

，

若AB=BC，则3

k

+1=

（

3

k

）2+32

，解得k=3

4

；

②k＜0时，点B在x轴的负半轴，点B只能在点A的左侧，

只有AC=AB，则-1-3

k

=

10

，解得k=-3

10

+1

，

所以，能使△ABC为等腰三角形的抛物线共有4条．

故选C．

整理抛物线解析式，确定出抛物线与x轴的一个交点A和y轴的交点C，然后求出AC的长度，再分①k＞0时，点B在x轴正半轴时，分AC=BC、AC=AB、AB=BC三种情况求解；②k＜0时，点B在x轴的负半轴时，点B只能在点A的左边，只有AC=AB一种情况列式计算即

、

考点2、二次函数与直角三角形

例2．（2.2012菏泽）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．

（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；

（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？

若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）在

（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？

并写出四边形PB′A′B的两条性质．

解：

（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），

∴A′（-1，0），B′（0，2）．

设抛物线的解析式为：

y=ax2+bx+c（a≠0），

∵抛物线经过点A′、B′、B，

∴，解得，

∴满足条件的抛物线的解析式为y=-x2+x+2．

（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，

设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=-x2+x+2．

连接PB，PO，PB′，

∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，

=×1×2+×2×x+×2×y，

=x+（-x2+x+2）+1，

=-x2+2x+3．

假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，

则-x2+2x+3=4，

即x2-2x+1=0，解得：

x=1，

此时y=-1+1+2=2，即P（1，2）．

∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．

（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．

①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．

或用符号表示：

①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．

考点3、二次函数与平行四边形

例3、（2012成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数

（

为常数）的图象与x轴交于点A（

，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线

（

为常数，且

≠0）经过A，C两点，与x轴的正半轴交于点B．

（1）求

的值及抛物线的函数表达式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；

（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于

，

两点，试探究

是否为定值，并写出探究过程．

解析

（1）首先求得m的值和直线的解析式，根据抛物线对称性得到B点坐标，根据A、B点坐标利用交点式求得抛物线的解析式；

（2）存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．如答图1所示，过点E作EG⊥x轴于点G，构造全等三角形，利用全等三角形和平行四边形的性质求得E点坐标和平行四边形的面积．注意：

符合要求的E点有两个，如答图1所示，不要漏解；

（3）本问较为复杂，如答图2所示，分几个步骤解决：

第1步：

确定何时△ACP的周长最小．利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决；

第2步：

确定P点坐标P（1，3），从而直线M1M2的解析式可以表示为y=kx+3-k；

第3步：

利用根与系数关系求得M1、M2两点坐标间的关系，得到x1+x2=2-4k，x1x2=-4k-3．这一步是为了后续的复杂计算做准备；

第4步：

利用两点间的距离公式，分别求得线段M1M2、M1P和M2P的长度，相互比较即可得到结论：

M1P•M2P

M1M2

=1为定值．这一步涉及大量的运算，注意不要出错，否则难以得出最后的结论．

考点4、二次函数与矩形、菱形

例4、（2012•烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？

最大值为多少？

（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？

请直接写出t的值．

（1）根据矩形的性质可以写出点A得到坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x-1）2+4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）；

（2）利用待定系数法求得直线AC的方程y=-2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标（1，4-t），据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标；然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4-t2

4

、点A到GE的距离为t

2

，C到GE的距离为2-t

2

；最后根据三角形的面积公式可以求得

S△ACG=S△AEG+S△CEG=-1

4

（t-2）2+1，由二次函数的最值可以解得t=2时，S△ACG的最大值为1；

（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EH上．

解：

（1）A（1，4）．…（1分）

由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4

∵抛物线过点C（3，0），

∴0=a（3-1）2+4，

解得，a=-1，

∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3．…（2分）

（2）∵A（1，4），C（3，0），

∴可求直线AC的解析式为y=-2x+6．

∵点P（1，4-t）．…（3分）

∴将y=4-t代入y=-2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+t

2

．…（4分）

∴点G的横坐标为1+t

2

，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4-t2

4

．

∴GE=（4-t2

4

）-（4-t）=t-t2

4

．…（5分）

又∵点A到GE的距离为t

2

，C到GE的距离为2-t

2

，

即S△ACG=S△AEG+S△CEG=1

2

•EG•t

2

+1

2

•EG（2-t

2

）

=1

2

•2（t-t2

4

）=-1

4

（t-2）2+1．…（7分）

当t=2时，S△ACG的最大值为1．…（8分）

（3）第一种情况如图1所示，点H在AC的上方，由菱形CQHE知CQ=CE=t，

根据△APE∽△ABC，知

AP

AB

=AE

AC

，即t

4

=2

5

-t

2

5

，解得，t=20-8

5

；

第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由菱形CQHE知CQ=QE=EH=HC=t，PE=1

2

t，EM=2-1

2

t，MQ=4-2t．

则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2-1

2

t）2+（4-2t）2=t2，

解得，t1=20

13

，t2=4（不合题意，舍去）．

综上所述，t=20-8

5

或t=20

13

．…（12分）

（说明：

每值各占（2分），多出的值未舍去，每个扣1分）

考点5、二次函数与相似三角形

例5（2012铜仁）如图，已知：

直线

交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线

上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？

如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

考点6、二次函数与面积问题

例6、

（1）（四川绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；

（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，

△EFK的面积最大？

并求出最大面积．

（2）（2009济南）已知：

如图3，抛物线

的对称轴为

与

轴交于

两点，与

轴交于点

其中

、

（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）若点

是线段

上的一个动点．过点D作

∥

交

轴于点

设

的长为

，

的面积为

．求

与

之间的函数关系式．试探讨

是否存在最大值，说明理由．

变式训练：

如图将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（–3，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC

于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；

（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC

的面积与

（2）中△APE的最大面积相等?

若存在，请求

出点G的坐标；若不存在，请说明理由．（2010宜宾）

望子成龙学校九年级数学秋季班【家庭作业】

校区：

第____次课姓名：

______作业等级：

_____

1．（2012广安）如图，把抛物线y=

x2平移得到抛物线m，

抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为

P，它的对称轴与抛物线y=

x2交于点Q，则图中阴影部分的

面积为　　．

2、（2012•乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），

直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），

连接OD、BD．

①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；

②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标．

3、（2012•衢州）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？

若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？

若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．