一轮复习课时精品提升作业之平行垂直的综合问题Word版含答案.docx
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一轮复习课时精品提升作业之平行垂直的综合问题Word版含答案
课时提升作业（四十七）
一、填空题
1.（2013·宿迁模拟）已知a,b是直线，α,β,γ是平面，给出下列命题：
①若α∥β,a⊂α,则a∥β;
②若a,b与α所成角相等，则a∥b;
③若α⊥β,β⊥γ,则α∥γ;
④若a⊥α,a⊥β,则α∥β.其中正确的命题的序号是_______.
2.设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：
①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；
②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；
③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；
④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.
其中正确命题的序号是_________.
3.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD（只要填写一个你认为是正确的条件即可）.
4.设X，Y，Z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”为真命题的是________（填序号）.
①X，Y，Z是直线；②X，Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X，Y是平面；
④X，Y，Z是平面.
5.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，给出下列结论：
①PB⊥AD；
②平面PAB⊥平面PBC；
③直线BC∥平面PAE；
④直线PD与平面ABC所成的角为45°.
则所有正确结论为_________（填序号）.
6.已知三个不同的平面α，β，γ,a,b,c分别为平面α，β，γ内的直线，若β⊥γ且α与γ相交但不垂直，则下列命题为真命题的个数为________.
①任意b⊂β,b⊥γ；②任意b⊂β，b∥γ；③存在a⊂α，a⊥γ；
④存在a⊂α，a∥γ；⑤任意c⊂γ，c∥α；⑥存在c⊂γ,c⊥β.
7.（2013·南通模拟）如图所示的“双塔”形立体建筑，已知P-ABD和Q-CBD是两个高相等的正三棱锥，四点A，B，C，D在同一平面内，要使塔尖P，Q之间的距离为50m，则底边AB的长为_______m.
8.点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列三个命题中正确的个数是_________.
①三棱锥A-D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1.
9.如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起.下列说法正确的是_______.（填上所有正确的序号）
①不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥平面DEC;
②不论D折至何位置都有MN⊥AE;
③不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥AB.
10.（能力挑战题）正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为______.
二、解答题
11.（2013·南京模拟）如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点.
（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：
AD⊥DC1.
（2）求证：
A1B∥平面ADC1.
12.如图，△ABC中，AC⊥BC，四边形ABED是正方形，平面ABED⊥平面ABC，
若G，F分别是EC，BD的中点.
（1）求证：
GF∥平面ABC.
（2）求证：
平面EBC⊥平面ACD.
13.（2013·淮安模拟）如图，空间几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，直角梯形ADFE所在平面与平面ABCD垂直，且AE⊥AD,EF∥AD，其中P,Q分别为棱BE，DF的中点.
（1）求证：
BD⊥CE.
（2）求证：
PQ∥平面ABCD.
14.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD与四边形CC1D1D均是边长为1的正方形，∠ADD1=120°，点E为A1B1的中点，点P，Q分别为BD，CD1上的动点，且
（1）当平面PQE∥平面ADD1A1时，求λ的值.
（2）在
（1）的条件下，设N为DD1的中点，求多面体ABCD-A1B1C1N的体积.
答案解析
1.【解析】①是显然正确的.
②如果a，b是圆锥的母线，α是圆锥的底面，显然不正确.
③如教室的墙角的三个平面关系，不正确.
④是显然正确的.
答案：
①④
2.【解析】①错误，l可能在平面α内；②正确；③错误，直线可能与平面相交；④正确.故填②④.
答案：
②④
3.【解析】由定理可知，BD⊥PC，
∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD，
而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
故填DM⊥PC（或BM⊥PC等）.
答案：
DM⊥PC（或BM⊥PC等）
4.【解析】由垂直于同一个平面的两条直线平行，垂直于同一条直线的两个平面平行，可知②③正确.
答案：
②③
5.【解析】∵AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，∴①不成立；又平面PAB⊥平面PAE，∴平面PAB⊥平面PBC也不成立，即②不成立；∵BC∥AD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，即③不成立；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确.
答案：
④
6.【解析】④a平行于α与γ的交线即可；⑥c垂直于β与γ的交线即可.
答案：
2
7.【解析】由正三棱锥的概念知，顶点P，Q在底面的射影分别是正三角形ABD和正三角形BCD的中心，因为高相等，所以塔尖P,Q之间的距离即为两个正三角形中心间的距离，由平面几何易知，底边AB的长为
m.
答案：
8.【解析】因为BC1∥AD1，所以直线BC1∥平面ACD1，则点P到平面ACD1的距离为定值，所以
为定值，故①正确；又平面A1C1B∥平面ACD1，A1P⊂平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1,故②正确，显然③错.
答案：
2
9.【解析】将△ADE沿AE折起后所得图形如图,取DE中点P,EC中点Q,
连结PM，PQ，QN，DC.
则PM
AE，NQ
BC，
∴PM
NQ，∴四边形PMNQ为平行四边形，
∴MN∥PQ.
又MN⊄平面DEC，PQ⊂平面DEC，
∴MN∥平面DEC，
故①正确.
又AE⊥ED，AE⊥EC，DE∩EC=E，
∴AE⊥平面DEC，∴AE⊥PQ，∴AE⊥MN，
故②正确.
由MN∥PQ，PQ与EC相交知MN与EC不平行，
从而MN与AB不会平行.
答案：
①②
10.【思路点拨】PE⊥AC恒成立，即P点在与AC垂直的平面内.
【解析】如图，取CD的中点F，SC的中点G，连结EF，EG，FG，
设EF交AC于点H，连结GH，
易知AC⊥EF.
又GH∥SO，
∴GH⊥平面ABCD，
∴AC⊥GH.又GH∩EF=H，
∴AC⊥平面EFG.
故点P的轨迹是E-G-F-E，其周长是
.
答案：
11.【证明】
（1）因为AB=AC,D为BC的中点，所以AD⊥BC,
因为平面ABC⊥平面BCC1B1,
平面ABC∩平面BCC1B1=BC,
AD⊂平面ABC,所以AD⊥平面BCC1B1.
因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1.
（2）连结A1C，交AC1于点O，连结OD，则O为A1C的中点，
因为D为BC的中点，所以OD∥A1B,因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1,
所以A1B∥平面ADC1.
12.【证明】
（1）取BE的中点H，连结HF，GH.
∵G，F分别是EC和BD的中点，
∴HG∥BC，HF∥DE.
∵四边形ABED为正方形，
∴DE∥AB，∴HF∥AB.
∴HF∥平面ABC，同理，HG∥平面ABC.
又HF∩HG=H，
∴平面HGF∥平面ABC.又GF⊂平面HGF，
∴GF∥平面ABC.
（2）∵四边形ABED为正方形，∴EB⊥AB.
又∵BE⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴BE⊥AC.
又∵AC⊥BC，BC∩BE=B，
∴AC⊥平面EBC.又AC⊂平面ACD，
∴平面EBC⊥平面ACD.
【变式备选】已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1=2，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点.
（1）求证：
DE∥平面ABC.
（2）求证：
B1F⊥平面AEF.
【证明】
（1）设G是AB的中点，连结DG，GC，
∴DG
BB1，又∵EC
BB1，∴DG
EC，
∴四边形DECG是平行四边形，∴DE∥GC，
又GC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，
∴DE∥平面ABC.
（2）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点，
∴BC⊥AF，
又B1B⊥平面ABC，∴AF⊥B1B，又B1B∩BC=B，
∴AF⊥平面BB1F，∴B1F⊥AF，
∵AB=AA1=2，易求得
∴B1F2+EF2=B1E2，∴B1F⊥FE，
又AF∩EF=F，∴B1F⊥平面AEF.
13.【证明】
（1）连结AC,在菱形ABCD中，AC⊥BD,因为平面ADFE⊥平面ABCD，交线为AD,而AE⊥AD,AE⊂平面ADFE,所以AE⊥平面ABCD.
因为BD⊂平面ABCD，所以AE⊥BD,
又AC∩AE=A,所以BD⊥平面AEC,
所以BD⊥CE.
（2）方法一：
取AE的中点G，连PG,QG.
在△ABE中，BP=PE,AG=GE,所以PG∥BA,又PG⊄平面ABCD，BA⊂平面ABCD,所以PG∥平面ABCD,在梯形ADFE中，DQ=QF,AG=GE,所以GQ∥AD,同理GQ∥平面ABCD,
又PG∩GQ=G,PG,GQ⊂平面PQG,
所以平面PQG∥平面ABCD.
又PQ⊂平面PQG,所以PQ∥平面ABCD.
方法二：
连结EQ并延长与AD的延长线交于点H，
连结BH,在梯形ADFE中，EF∥DH,FQ=QD,
所以△EFQ≌△HDQ,所以EQ=QH,
在△BEH中，BP=PE,EQ=QH,所以PQ∥BH;
又PQ⊄平面ABCD，BH⊂平面ABCD,
所以PQ∥平面ABCD.
14.【解析】
（1）由平面PQE∥平面ADD1A1，得点P到平面ADD1A1的距离等于点
E到平面ADD1A1的距离.
而四边形ABCD与四边形CC1D1D均是边长为1的正方形，
∴DC⊥AD，DC⊥DD1，又AD∩DD1=D，
∴DC⊥平面ADD1A1，∴A1B1⊥平面ADD1A1.
又∵E是A1B1的中点，∴点E到平面ADD1A1的距离等于
∴点P到平面ADD1A1的距离等于
，即点P为BD的中点，
（2）连结B1D1，由
（1）知DC⊥平面ADD1A1，可知A1B1⊥平面ADD1A1，
∴
由CC1∥平面BB1D1D，得点C1到平面BB1D1D的距离等于点C到平面BB1D1D的距离，由平行六面体ABCD-A1B1C1D1的对称性，知点C1到平面BB1D1D的距离等于点A1到平面BB1D1D的距离，
∴
即
由
（1）得DC⊥平面ADD1A1，而DC=1，
菱形ADD1A1的面积S=AD·DD1sin∠ADD1=1×1×sin120°=
，
∴平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积V=S·AB=
∴多面体ABCD-A1B1C1N的体积
【误区警示】本题易因不能转化距离而求错体积导致错解.
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