初一下生活中的轴对称性质及简单轴对称图形 全解.docx

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初一下生活中的轴对称性质及简单轴对称图形全解

知识清单：

1.如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

2.对称轴是一条直线，有些轴对称图形可能有几条，甚至无数条对称轴.

如图1，有3条对称轴.图2有无数条对称轴

图2

图1

3．把一个图形沿着一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点.

图3

4．轴对称图形与轴对称的区别：

区别：

轴对称是两个图形的位置关系，而轴对称图形是一个具有特殊形状的图形.

经典例题

【例1】等边三角形的对称轴有________条．

【例2】下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）

ABCD

【例3】如图所示，是小明用棋子摆成的字母“T”，它的主要特点是轴对称图形．请你再用棋子摆出两个轴对称图形的字母（用○代表棋子）

★【例4】数的计算中有一些有趣的对称形式，如：

12×231=132×21；仿照上面的形式填空，并判断等式是否成立：

（1） 12×462=×（）

（2） 18×891=×（）

（3） 24×231=×（）（4） 18×462=×（）

【变式1】下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A.

B.

C.

D.

【变式2】将一张矩形的纸对折后，用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可能见到的是（　）

A.

B.

C.

D.

【变式3】下面的希腊字母中，是轴对称图形的是（　　）

A.

B.

C,

D.

★★【变式4】下列说法正确的是（　　）

A．任何一个图形都有对称轴B．两个全等三角形一定关于某条直线对称

C．若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC≌△A′B′C

D．点A、点B在直线l的两旁，且AB与直线l交于点O，若AO＝BO，则点A与点B关于直线l对称

★【变式5】下面是轴对称图形的有（  ）个

圆、一个角为30度的直角三角形、长方形、正方形、等腰梯形

A．1个B．2个C．3个D．4个

★★【变式6】如图所示，在3×3的正方形网格中已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的办法有（　　）

A．3种B．4种C．5种D．6种

【变式7】如图是汽车牌照在水中的倒影，则该车牌照上的数字是________．

【变式8】如图，从轴对称的角度来看，你觉得哪一个图形比较独特？

简单说明你的道理．

★【变式9】如图，AC＝AD，BC＝BD，AB与CD相交于O点，试猜想AB与CD的关系，并说明理由．

★【变式10】图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形成为轴对称图形．

方法总结：

判断图形是否是轴对称图形

1.找到一条对称轴

2.沿着对称轴折叠，看两边的图形是否完全重合，重合的是轴对称图形。

（二）轴对称的性质

图5

图4

1.在轴对称图形中对应点所连的线段被对称轴垂直平分.

如图4，线段AE,BF,DH,CG均被对称轴平分

2.对应线段相等，对应角相等.

如图4，AB=EF,BC=FG,CD=GH,AD=EH

3.轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置.

4.成轴对称的两个图形，它们的对应线段或其延长线相交，交点在对称轴上.

经典例题：

【例1】以下结论正确的是（）．

A．两个全等的图形一定成轴对称B．两个全等的图形一定是轴对称图形

C．两个成轴对称的图形一定全等D．两个成轴对称的图形一定不全等

【例2】下列说法中正确的有（）．

①角的两边关于角平分线对称

②两点关于连接它的线段的中垂线为对称

③成轴对称的两个三角形的对应点，或对应线段，或对应角也分别成轴对称

④到直线L距离相等的点关于L对称

A．1个B．2个C．3个D．4个

【例3】

（1）已知Rt△ABC中，斜边AB=2BC，以直线AC为对称轴，点B的对称点是B′，如图所示，则与线段BC相等的线段是______，与线段AB相等的线段是_______和_______．与∠B相等的角是_______和_______，因此，∠B=________．

（2）如图，∠AOB内一点P，分别画出P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=5cm，则△PMN的周长为

【例4】

（1）如图，已知∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D到边AB的距离为_____．

（2）如图，在△ABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，

则∠C=_________

【例5】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D、F分别为AB、AC的中点，DE⊥AB，GF⊥AC，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度．

（三）简单的轴对称图形

1、等腰三角形

（1）等腰三角形是轴对称图形

（2）等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边的高互相重合（也称三线合一）

它们所在的直线是等腰三角形的对称轴

（3）等腰三角形的两个底角相等，简称为等边对等角

2、等边三角形

（1）等边三角形定义：

三条边都相等的三角形是等边三角形，又称正三角形。

（2）等边三角形具备等腰三角形的一切性质（等边三角形是腰与底相等的特殊等腰三角形）。

（3）等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴。

（4）等边三角形的性质：

等边三角形三条边都相等，三个角都是60°。

3、线段是轴对称图形

（1）线段的对称轴有两条，一条是它的垂直平分线，另一条是线段本身所在的直线。

（2）线段垂直平分线：

垂直一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。

（3）线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

4、角是轴对称图形

（1）角平分线所在的直线是它的对称轴，角只有这一条对称轴

（2）角平分线的性质：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

等腰三角形

【例1】若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（　　）

A．80°B．50°C．40°D．20°

★★【例2】如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（　　）

A．18°B．24°C．30°D．36°

例2图例3图例4图

【例3】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）

A． 6B． 7C． 8D． 9

★【例4】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，CD＝5，则AD的长是________．

★【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为（　　）

A．BD＝CEB．AD＝AEC．DA＝DED．BE＝CD

第1题第2题

★★【变式2】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，则图中等腰三角形共有（　　）

A． 5个B． 6个C． 7个D． 8个

★【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，∠ADE＝48°，则下列结论中不正确的是（　　）

A．∠B＝48°B．∠AED＝66°C．∠A＝84°D．∠B＋∠C＝96°

第3题第4题第5题

【变式4】如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝CE，∠D＝74°，则∠B的度数为（　　）

A．68°B．32°C．22°D．16°

【变式5】如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D．请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形．你添加的条件是________．

★★【变式7】在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O点作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，写出图中所有的等腰三角形．

方法总结：

1.等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边的高互相重合（也称三线合一）

它们所在的直线是等腰三角形的对称轴

2.等腰三角形的两个底角相等，两条腰相等。

3.在求角度时，经常和方程思想、内角和结合在一起。

等边三角形

★【例1】已知：

在△ABC中，∠A＝60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：

①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；

②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；

③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．上述说法中，正确的说法有（　　）

A．3个B．2个C．1个D．0个

★【例2】如图所示，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________．

例2图例3图

【例3】已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE＝CD＝1，连接DE，则DE＝________．

★【例4】如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形．

（1）求证：

△DAB≌△DCE；

（2）求证：

DA∥EC．

★【变式2】已知：

如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD．求证：

BD=DE．

★【变式3】如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，BC为边，在Rt△ABC外作两个等边三角形△ACE和△BCF，连接BE，AF．

求证：

BE=AF．

方法总结：

1.等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴。

2.等边三角形的性质：

等边三角形三条边都相等，三个角都是60°

3.经常和全等三角形一起证明线段和角相等。

垂直平分线的性质的考查

【例1】在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AC于E，BE＝5 cm，△BCE的周长为18 cm，求BC．

【例2】如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（　）

A．AB＝ADB．AC平分∠BCDC．AB＝BDD．△BEC≌△DEC

★★【例3】如图，已知线段AB．

（1）用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在

（1）中所作的直线l上任意取两点M、N（点M，N在线段AB的上方），连接AM、AN、BM、BN，求证：

∠MAN＝∠MBN．

【变式1】点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝7，则PB＝________．

【变式2】如图，△ABC中，AB＋AC＝6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为________cm．

第2题第3题

★【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为________．

【变式4】如图所示，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于

AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（　　）

A．7B．14C．17