整数线性规划.docx
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整数线性规划
第八章整數線性規劃
本章內容：
8.1各類型的整數線性規劃模式
8.2全整數規劃問題的圖解法及電腦解
8.3包含0-1變數應用
8.40-1變數賦予的建模彈性
⏹8.1各類型的整數線性規劃模式
●一線性規劃中，所有變數都限定為整數，稱為“全整數線性規劃（allintegerlinearprogram）”。
下列為一全整數線規劃摸式：
Max2X1＋3X2
s.t.3X1＋3X2≦12
1X2＋1X2≦4
1X1＋2X2≦6
X1，X2≧0且為整數
●刪除整數線性規劃決策變數的「整數」限定後線性規劃問題，稱為“整數線性規劃的LP寬鬆式（LPRelaxation）”。
●一線性規劃中，僅有部份變數被限定為整數稱為混合整數線性規劃（mixedintegerlinearprogrammingMILP）下列為一混合整數線性規劃模式：
Max3X1＋4X2
s.t.－1X1＋2X2≦8
1X2＋2X2≦12
2X1＋1X2≦16
X1，X2≧0且X2為整數
此例中將“X2為整數”的要求刪去後之線性規劃稱為“混合整數線性規劃的LP寬鬆式”。
●在全整數或混合整數線性規劃中，整數值的變數為離散變數（discretevariable），其他變數稱為連續變數（continuousvariable）。
●一整數規劃中，整數變數只允許0或1稱為0－1或二元（binary）整數規劃。
⏹8.2全整數規劃問題的圖解法及電腦解
例：
東生不動產公司目前有2,000,000元可用來投資出租房屋計劃。
公司將投資方案限於在住宅區的別墅及公寓，別墅每棟282,000元，而目前只有五戶別墅可買得到，每棟公寓售價400,000元，公寓的數量則很多。
公司管理人員每月有140小時間來管理這些投資的不動產。
每棟別墅需4小時管理，每棟公寓需40小時。
每月利潤，別墅每棟為10,000元，公寓每棟為15,000元，公司要如何分配資金投資到別墅及公寓，以使總利潤最高。
設T＝購買別墅棟數A＝購買公寓棟數
線性規劃如下：
（金錢以千元為單位）
Max10T＋15A
s.t.282T＋400A≦2000可用資金
4T＋40A≦140管理時間
T≦5可購別墅
T，A≧0且為整數
●LP寬鬆式的圖解：
最適解為：
T＝2.479，A＝3.252，Z＝73,574元，此解不合理，因決策變數非整數。
A
公寓數目
最適LP寬鬆解
T＝2.489，A＝3.252
管理時間限制
目標函數＝73.574
可行區域
可用資金限制
可購別墅限制
T
別墅數目
圖8.1東生不動產問題寬鬆式的圖解
●利用圓整得到整數解：
若將寬鬆式解（T＝2.479，A＝3.252）“化整”至最“近”的整數值，得解為T＝2，A＝3，Z＝65,000元，此解並非最適解。
●全整數問題的圖解
由圖8.2得知最適解應為T＝4，A＝2，Z＝70,000元，因此以“化整”結果將損失5,000元（＝70,000元－65,000元）。
A
注意：
黑點表示可行整數解的位置
公寓數目
管理時間限制
目標函數＝70
可用資金限制
可行區域
可購別墅限制
T
別墅數目
圖8.2東生不動產整數問題的圖解
●利用LP寬鬆式建立解的界限
整數線性規劃圖解法與線性規劃圖解法相似，首先畫出LP寬鬆式的合理區，然後將合理整數點以黑點標出，爾後即可找出目標函數線上的最適整數解點。
在極大化問題中，整數線性規劃之最適解值與LP寬鬆式之解值的關係有以下的特性：
對極大化的整數線性規劃問題，LP寬鬆解的最適值可做為整數解最適值的上限。
而對極小化的整數線性規劃問題，LP寬鬆解的最適值可做為整數解最適值的下限。
由以上特性可知，任何求極大整數或混合整數線性規劃的值，LP寬鬆式解為其上限。
●電腦解
⏹8.3包含0－1變數的應用
●資本預算
例：
艾思冰箱公司在往後4年有各種的投資計劃，但面對有限的資金來源，公司必須選擇最有利潤的計劃及資金支出的預算。
估計的計劃的現值，資金需求，及可用資金如表8.1。
表8.1艾思冰箱公司的計劃現值﹑資金需求﹑及可用資金
計畫
工廠擴建
倉庫擴建
購新機器
新產品研發
總可用資金
淨現值
$90,000
$40,000
$10,000
$37,000
第1年資金
$15,000
$10,000
$10,000
$15,000
$40,000
第2年資金
$20,000
$15,000
$10,000
$50,000
第3年資金
$20,000
$20,000
$10,000
$40,000
第4年資金
$15,000
$5,000
$4,000
$10,000
$35,000
決策變數定義為：
P＝1代表工廠擴建計劃被接受；0代表拒絕
W＝1代表倉庫擴建計劃被接受；0代表拒絕
M＝1代表新機器計劃被接受；0代表拒絕
R＝1代表新產品研發計劃被接受；0代表拒絕
0－1整數線性規劃模式如下：
金錢以千元為單位）
Max90P＋40W＋10M＋37R
s.t.15P＋10W＋10M＋15R≦40第1年可用資金
20P＋15W＋10R≦50第2年可用資金
20P＋20W＋10R≦40第3年可用資金
15P＋5W＋4M＋10R≦35第4年可用資金
P，W，M，R＝0，1
最適解為P＝1，W＝1，M＝1，R＝0，Z＝14,000元。
因此，公司應該投資工廠擴建計劃﹑倉庫擴建計劃以及購買新機器。
●固定成本
例1：
固定成本函數
某工廠同時生產三種產品，每一種產品均有對應的
固定成本，但只有在產量為正時才會發生。
若已有兩個資源限制條件如下：
解：
設
：
第
種生產活動的邊際利潤貢獻
（售價-變動成本=利潤+固定成本）
：
固定成本
：
當
時
表示生產
或
時
表示不生產
Max.
s.t.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
例2：
階梯狀的成本函數
X1及X2兩種產品利潤貢獻為C1及C2，所需直接人工分別為6及4小時，根據過去歷史資料，將固定成本及直接人工時數及座標圖表示得下圖：
18,000
15,000
10,000
固定成本
15,000
10,000
20,00030,00050,000
直接人工小時
定義
為0-1整數，本問題固定成本共有三種可能，
代表固定成本為第
種水準，則可列出模型如下：
Max.
（1）
利潤貢獻固定成本
s.t.
（2）
（3）
（4）
（1）及
（2）兩式保證只有一個
會等於1，如果
，
及
必等於零。
在目標函數中應減去該範圍的固定成本（$15,000），而
（2）式限制了在$15,000固定成本所能用的直接人工時數上限30,000小時。
例3：
RMC公司有3種原料用於生產3種產品：
燃料添加劑、溶劑基劑、以及地毯清潔劑。
決策變數如下：
F＝燃料添加劑噸數
S＝溶劑基劑噸數
C＝地毯清潔劑噸數
燃料添加劑每噸利潤40元、溶劑基劑每噸30元、地毯清潔劑每噸50元。
每噸燃料添加劑含0.4噸原料1及0.6噸原料3，每噸溶劑基劑含0.5噸原料1、0.2噸原料2及0.3噸原料3，每噸地毯清潔劑含0.6噸原料1、0.1噸原料2及0.3噸原料3。
RMC公司有20噸的原料1、5噸的原料2及21噸的原料3。
希望找出最適的生產組合。
RMC問題的線性規劃模式如下：
Max40F＋30S＋50C
s.t.0.4F＋0.5S＋0.6C≦20原料1
0.2S＋0.1C≦5原料2
0.6F＋0.3S＋0.3C≦21原料3
F，S，C≧0
假設下表為各種產品的設立成本及每次最大產量。
產品
設立成本
最大產量
燃料添加劑
$200
50噸
溶劑基劑
$50
25噸
地毯清潔劑
$400
40噸
0－1變數定義如下：
SF＝1代表生產燃料添加劑；0則否
SS＝1代表生產溶劑基劑；0則否
SC＝1代表生產地毯清潔劑；0則否
RMC問題的固定成本模式：
Max40F＋30S＋50C－200SF－50SS－400SC
s.t.0.4F＋0.5S＋0.6C≦20原料1
0.2S＋0.1C≦5原料2
0.6F＋0.3S＋0.3C≦21原料3
F－50SF≦0F上限
S－25SS≦0S上限
C－40SC≦0C上限
F，S，C≧0；SF，SS，SC＝0，1
最適解為F＝25，S＝20，Z＝1350
燃料添加劑與溶劑基劑的生產設立成本為200＋50＝250元。
地毯清潔劑設立成本較高（400元）應避免生產。
●配銷系統設計
例：
馬丁貝克公司在聖路易士有一家工廠，年產量30,000件產品。
預期需求量將上升，計畫增設工廠以增加產量。
估計四個候選地點的年固定成本及產能如下：
工廠位置
年固定成本
年產能
底特律
拖利多
丹佛
堪薩斯市
$175,000
$300,000
$375,000
$500,000
10,000
20,000
30,000
40,000
預估各配銷中心年需求量如下：
配銷中心
年需求量
波士頓
亞特蘭大
休士頓
30,000
20,000
20,000
從各工廠到各配銷中心的單位運輸成本如表8.2。
可能的配銷網路模式如圖8.7所示，產能及需求皆以一千為單位。
表8.2馬丁貝克公司配銷系統單位運輸成本
配銷中心
工廠位置
波士頓
亞特蘭大
休士頓
底特律
拖特多
丹佛
堪薩斯市
聖路易
5
4
9
10
8
2
3
7
4
4
3
4
5
2
3
工廠
15
10底特律2配銷中心
3
241
20拖特多3波士頓30
4
39
30丹佛72
5亞特蘭大20
410
40堪薩斯市4
23
58休士頓20
50聖路易4
3
產能配銷路徑需求量
0-1變數定義如下：
Y1＝1代表在底特律設廠；0則否
Y2＝1代表在拖利多設廠；0則否
Y3＝1代表在丹佛設廠；0則否
Y4＝1代表在堪薩斯市設廠；0則否
Xij＝每件產品從工廠i運往配銷中心j
i＝1，2，3，4，5，j＝1，2，3
馬丁貝克配銷系統設計問題的完整模式如下：
Min5X11+2X12+3X13+4X21+3X22+4X23+9X31+7X32+5X33+10X41
+4X42+2X43+8X51+4X52+3X53+175Y1+300Y2+375Y3+500Y4
s.t.X11＋X12＋X13－10Y1≦0底特律產能
X21＋X22＋X23－20Y2≦0拖特多產能
X31＋X32＋X33－30Y3≦0丹佛產能
X41＋X42＋X43－40Y4≦0堪薩斯市產能
X51＋X52＋X53≦30聖路易產能
X11＋X21＋X31＋X41＋X51＝30波士頓需求
X12＋X22＋X32＋X42＋X52＝20亞特蘭大需求
X13＋X23＋X33＋X43＋X53＝20休士頓需求
Xij≧foralliandj；Y1，Y2，Y3，Y4＝0，1
最適解為Y4＝1，X42＝20，X43＝20，X51＝30，表示在堪薩斯市設置新廠，總成本為860,000元，其中包括在堪薩斯市設廠的固定成本500,000元。
●銀行設址
⏹8.40－1變數賦予的建模彈性
●多重選擇與互斥限制式
例：
艾司冰箱公司的資本預算問題，決策變數定義為：
P＝1代表工廠擴建計劃被接受；0代表拒絕
W＝1代表倉庫擴建計劃被接受；0代表拒絕
M＝1代表新機器計劃被接受；0代表拒絕
R＝1代表新產品研發計劃被接受；0代表拒絕
將擴建計劃增加為3個，則新0-1整數線性規劃模式如下：
W1＝1代表原先的倉庫擴建計劃被接受；0代表拒絕
W2＝1代表第2個倉庫擴建計劃被接受；0代表拒絕
W3＝1代表第3個倉庫擴建計劃被接受；0代表拒絕
若只能且必須有一個倉庫擴建計畫被接受的多重限制式為：
W1＋W2＋W3≦1
此種修改可以允許沒有倉庫擴建（W1＝W2＝W3＝0），但不允許超過1個倉庫擴建。
此種限制式稱為互斥限制式。
●n個之中選出k個的限制式
例：
假設W1﹑W2﹑W3﹑W4及W5代表5個可能的倉庫擴建計劃，且必須在其中選擇2個。
則新限制式為：
W1＋W2＋W3＋W4＋W5＝2
若要求計畫不超過2個，則限制式為：
W1＋W2＋W3＋W4＋W5≦2
而這些變數的值都必須限制為0-1值。
●條件性與同時要求之限制式
例：
假設艾斯公司的倉庫擴建計劃必須依附在廠房擴建計劃下考慮。
以P代表工廠擴建，W代表倉庫擴建，限制式為：
W≦P
如果當工廠擴建計劃被接受，倉庫擴建計劃也要被接受，反之亦然。
則稱P與W為被同時要求的計劃。
反映這種狀況的限制式為：
W＝P
此限制式強迫P與W的值必須相同。
●敏感度分析的注意事項
由於最適解的目標值隊限制式的係數非常敏感，因此建議在選定最適解之前，先將係數稍作變化，然後再解整數線性規劃幾次。
補充：
就求極大值而言，如果不考慮整數限制而求得最適解，其目標值必大於或等於任何其他整數解的目標值。
我們定義非整數的最適解為連續變數解，其對應的目標值為OBJC，而整數的最適解定義為間斷變數解，其對應的目標值為OBJd，連續變數值化整後之可行解，我們稱之為化整解，其對應的目標值為OBJr，這三個目標值之間存在下列關係：
OBJr≦OBJd≦OBJC
“化整”解≦間斷變數解（整數解）≦連續變數解（可有小數之LP解）
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