完整word版20xx高考一轮复习教案函数及其表示doc.docx

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第一节函数及其表示

1．函数的概念及其表示

（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．

（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象

法、列表法、解析法）表示函数．

2．分段函数及其应用

了解简单的分段函数，并能简单应用．

知识点一

函数与映射的概念

函

数

映射

两集合A，

设A、B是两个非空的数集

设A、B是两个非空的集合

B

如果按照某种确定的对应关系

f，使对

如果按某一个确定的对应关系

f，使对

对应关系

于集合A中的任意一个元素

x，在集合

于集合A中的任意一个数x，在集合B

f：

A→B

f（x）和它对应

B中都有唯一确定的元素

y与之对应

中都有唯一确定的数

称f：

A→B为从集合A到集合B的一

称f：

A→B为从集合A到集合B的一

名称

个函数

个映射

易误提醒

易混“函数”与“映射”的概念：

函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从

A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．

[自测练习]

1．下列图形可以表示函数

y＝f（x）图象的是（

）

知识点二函数的有关概念

1．函数的定义域、值域

（1）在函数y＝f（x），x∈A中，自变量x的取值范围（数集A）叫作函数的定义域；函数值的

集合{f（x）|x∈A}叫作函数的值域．

（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．

2．函数的表示方法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

3．分段函数

（1）若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，

这种函数称为分段函数．

（2）分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

易误提醒

（1）解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．

（2）误把分段函数理解为几个函数组成．

必备方法求函数解析式的四种常用方法

（1）配凑法：

由已知条件f（g（x））＝F（x），可将F（x）改写成关于g（x）的表达式，然后以x替

代g（x），便得f（x）的表达式；

（2）待定系数法：

若已知函数的类型（如一次函数、二次函数）可用待定系数法；函数的实

际应用问题多用此法；

（3）换元法：

已知复合函数f（g（x））的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

1

或f（－x）的表达式，可根据已知条件再构造出另外

（4）解方程组法：

已知关于

f（x）与fx

一个等式组成方程组，通过解方程组求出

f（x）．

[自测练习]

2．（2016贵·阳期末）函数f（x）＝log（x＋1）的定义域为（）

2

A．（0，＋∞）

B．[－1，＋∞）

C．（－1，＋∞）

D．（1，＋∞）

3．f（x）与g（x）表示同一函数的是（

）

3

A．f（x）＝x2－1与g（x）＝

x－1·x＋1

B．f（x）＝x与g（x）＝x2

＋x

x

＋1

C．y＝x与y＝（x）2

D．f（x）＝x2与g（x）＝3x3

x2＋1，x≤0，

4．若函数f（x）＝1

则f（f

（2））＝（）

log2x，x>0

，

A．－1

B．2

C．1

D．0

考点一函数的定义域问题|

函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，归

纳起来常见的命题探究角度有：

1．求给定函数解析式的定义域；

2．已知f（x）的定义域，求f（g（x））的定义域；

3．已知定义域确定参数问题．

探究一求给定解析式的定义域

1．（2015江·西重点中学一联

）函数f（x）＝

3x＋lg（3－x）的定义域是（

）

x－2

A．（3，＋∞）

B．（2,3）

C．[2,3）

D．（2，＋∞）

探究二已知f（x）的定义域，求

f（g（x））的定义域

f3x的定义域是（

）

2．若函数y＝f（x）的定义域是[0,3]，则函数g（x）＝x－1

A．[0,1）

B．[0,1]

C．[0,1）∪（1,9]

D．（0,1）

探究三已知定义域求参数范围问题

3．若函数f（x）＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．

函数定义域的三种类型及求法

（1）

已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式

（组）求解．

（2）

对实际问题：

由实际意义及使解析式有意义构成的不等式

（组）求解．

（3）

若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则函数f（g（x））的定义域由不等式

a≤g（x）≤b求出．

考点二函数解析式的求法|

（1）已知f（1－cosx）＝sin2x，求f（x）的解析式；

（2）已知f（x）是二次函数且f（0）＝2，f（x＋1）－f（x）＝x－1，求f（x）的解析式；

1

（3）已知f（x）＋2fx＝x（x≠0），求f（x）的解析式．

函数解析式求法中的一个注意点

利用换元法求解析式后易忽视函数的定义域，即换元字母的范围．

求下列函数的解析式：

2

（1）已知fx＋1＝lgx，求f（x）；

（2）2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），求f（x）．

考点三分段函数|

2x－1－2，x≤1，

1．（2015高·考全国卷Ⅰ）已知函数

且f（a）＝－3，则f（6－a）

f（x）＝－log2x＋1，x>1，

＝（）

7

5

A．－4

B．－4

3

1

C．－4

D．－4

2．（2015高·考全国卷Ⅱ）如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点

P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为

x的函

数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（

）

分段函数“两种”题型的求解策略

（1）根据分段函数解析式求函数值

首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．

（2）已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围

应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段

的自变量的取值范围．

3.分段函数的定义理解不清致误

2x＋a，x<1，

若f（1－a）＝f（1＋a），则a的

【典例】

已知实数a≠0，函数f（x）＝

－x－2a，x≥1，

值为________．

[易误点评]

本题易出现的错误主要有两个方面：

（1）误以为1－a<1,1＋a>1，没有对a进行讨论直接代入求解．

（2）求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误．

[防范措施]

（1）对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解．

（2）检验所求自变量的值或范围是否符合题意

求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．

x，x≥0，

[跟踪练习

]

设函数

f（x）＝

若f（a）＋f（－1）＝2，则

a＝（

）

－x，x<0，

A．－3

C．－1

B．±3

D．±1

A组考点能力演练

1．（2015高·考陕西卷）设f（x）＝

1－x，x≥0，

则f[f（－2）]＝（

）

2x，x<0，

1

1

3

A．－1

B.4

C.2

D.2

1＋x的定义域为（）

2．（2015北·京朝阳模拟）函数f（x）＝x－1

A．[0，＋∞）

B．（1，＋∞）

C．[0,1）∪（1，＋∞）

D．[0,1）

3．已知函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞），如果f（x＋2

014）＝

2sinx，x≥0

，那么

lg－x，x<0

π

f2014＋4·f（－7986）＝（）

A．2014

B．4

1

1

C.4

D.2014

3＋x

x

3

4．（2016岳·阳质检）设函数f（x）＝lg3－x，则f

3＋f

x的定义域为（）

A．（－9,0）∪（0,9）

B．（－9，－1）∪（1,9）

C．（－3，－1）∪（1,3）

D．（－9，－3）∪（3,9）

5．若函数f（x）＝x2＋ax＋1的定义域为实数集

R，则实数a的取值范围为（）

A．（－2,2）

B．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

C．（－∞，－2]∪[2，＋∞）

D．[－2,2]

6．（2015陕·西二模）若函数f（x）＝

lgx，x>0

，则f（f（－99））＝________.

1－x，x≤0

7．函数y＝f（x）的定义域为[－2,4]，则函数g（x）＝f（x）＋f（－x）的定义域为________．

1

＝－f（x）的函数，我们称为满足“倒

8．具有性质：

fx

负”变换的函数．下列函数：

x，0

1

1

0，x＝1，

①y＝x－x；②y＝x＋x；③y＝

1

－x，x>1.

其中满足“倒负”变换的函数是

________．

x－1，x>0，

9．已知f（x）＝x2－1，g（x）＝

2－x，x<0.

（1）求f（g

（2））和g（f

（2））的值；

（2）求f（g（x））的解析式．

10．动点P从单位正方形ABCD的顶点A出发，顺次经过

B，C，D绕边界一周，当x

5

表示点P的行程，y表示PA的长时，求y关于x的解析式，并求

f2

的值．

B组高考题型专练

1

1．（2014·考山东卷高）函数f（x）＝的定义域为（）

log2x－1

A．（0,2）

B．（0,2]

C．（2，＋∞）

D．[2，＋∞）

2．（2015·考湖北卷高

x2－5x＋6

）

）函数f（x）＝4－|x|＋lg

的定义域为（

x－3

A．（2,3）

B．（2,4]

C．（2,3）∪（3,4]

D．（－1,3）∪（3,6]

3x－b，x<1，

5

3．（2015高·考山东卷）设函数f（x）＝

2x，x≥1.

若ff6

＝4，则b＝（）

7

A．1

B.8

3

1

C.4

D.2

4．（2015·考浙江卷高

）存在函数f（x）满足：

对于任意

x∈R都有（

）

A．f（sin2x）＝sinx

B．f（sin2x）＝x2＋x

C．f（x2＋1）＝|x＋1|

D．f（x2＋2x）＝|x＋1|

5．（2014高·考四川卷）设f（x）是定义在R上的周期为

2的函数，当x∈[－1,1）时，f（x）＝

－4x2＋2，－1≤x＜0，

3

x，0≤x＜1，

则f2＝________.

答案：

1.解析：

本题考查函数的概念，根据函数的概念，定义域中一个x只能对应一个y，

所以排除A，B，C，故选D.

2.解析：

由x＋1>0知x>－1，故选C.答案：

C

3.解析：

选项A，C中的函数定义域不同，选项D的函数解析式不同，只有选项B正确．

4.解析：

本题考查分段函数、复合函数的求值．由已知条件可知，

1

f

（2）＝log22＝－1，所

以f（f

（2））＝f（－1）＝（－1）2＋1＝2，故选B.答案：

B

x－2>0，

1.解析：

本题考查函数的定义域．由题意得

解得2

B

3－x>0，

0≤3x≤3，

即0≤x<1，因此函数g（x）的定义域是[0,1），故选A.

2.解析：

依题意得

x－1≠0，

.解析：

函数f（x）的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－

a≥1，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有

＝（2a）2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.答案：

[－1,0]

例1[解]

（1）f（1－cosx）＝sin2x＝1－cos2x，

令t＝1－cosx，则cosx＝1－t，t∈[0,2]，∴f（t）＝1－（1－t）2＝2t－t2，t∈[0,2]，

即f（x）＝2x－x2，x∈[0,2]．

（2）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝2，得c＝2，

f（x＋1）－f（x）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，

1

2a＝1，

a＝2，

∴

即

a＋b＝－1，

3

b＝－2.

∴f（x）＝12x2－32x＋2.

111

（3）∵f（x）＋2fx＝x，∴fx＋2f（x）＝x.

1

fx＋2fx＝x，

2x

2

2

解方程组

1

1

得f（x）＝3x－3（x≠0）．变式1

解：

（1）令t＝x＋1，则x＝t－1

，

f

x

＋2fx＝x，

∴f（t）＝lg

2，即f（x）＝lg

2

（x>1）．

t－1

x－1

（2）∵2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），∴2f（－x）－f（x）＝lg（1－x）．

2fx－f－x＝lgx＋1，

解方程组得

2f－x－fx＝lg1－x

2

1

f（x）＝3lg（x＋1）＋3lg（1－x）（－1

2x－1－2，x≤1，

a>1，

1.解析：

因为f（x）＝

f（a）＝－3，所以

或

－log2x＋1

，x>1，

－log2a＋1＝－3，

a≤1，

2a－1－2＝－3，

7

解得a＝7，所以f（6－a）＝f（－1）＝2－1－1－2＝－4，选A.答案：

A

π

π

π

2.解析：

由于f（0）＝2，f4

＝1＋

5，f2

＝2

2

，故排除选

项C、D；当点P在BC上时，f（x）＝BP＋AP＝tanx＋4＋tan2x

π

0≤x≤4，不难发现f（x）的图象是非线性的，排除选项

A.故选B.答案：

B

1.[解析]当a>0时，1－a<1,1＋a>1，由f（1－a）＝f（1＋a）可得2－2a＋a＝－1－a－2a，

解得a＝－3，不合题意；当

a<0时，1－a>1,1＋a<1，由f（1－a）＝f（1＋a）可得－1＋a－2a

2

3

3

＝2＋2a＋a，解得a＝－.[答案]－

4

4

变式解析：

因为f（－1）＝

－－1＝1，所以f（a）＝1，当a≥0时，a＝1，所以a＝1；

当a<0时，－a＝1，所以a＝－1.故a＝±1.

答案：

D

1.解析：

由f（－2）＝2－2＝

1

1

1

1

4，∴f[f（－2）]＝f

4＝1－

4

＝2.

答案：

C

2.解析：

本题考查函数的定义域．根据函数有意义的条件建立不等式组．要使函数

f（x）

x－1≠0，

解得x≥0

且x≠1，即函数定义域是

[0,1）∪（1，＋∞），故选C.

有意义，则

x≥0，

3.3.解析：

f2014＋

π

＝

π

4

2sin

＝1，f（－7986）

4

＝f（2014－10000）＝lg10000＝4，

π

则f2014＋4·f（－7986）＝4.答案：

B

4.解析：

利用函数f（x）的定义域建立不等式组求解．

要使函数f（x）有意义，则

3＋x

>0，解

3－x

x

x

3

－3<3<3，

－9

得－3

x有意义，则

3

解得

所以定义域

－3

x<－1或x>1，

为（－9，－1）∪（1,9），故选B.答案：

B

5.解析：

函数的定义域为R等价于对?

x∈R，x2＋ax＋1≥0，令f（x）＝x2＋ax＋1，结合

二次函数的图象（图略），只需＝a2－4≤0即可，解得实数a的取值范围为[－2,2]，故选D.

6.解析：

f（－99）＝1＋99＝100，所以f（f（－99））＝f（100）＝lg100＝2.答案：

2

－2≤x≤4，

7.解析：

由题意知

解得－2≤x≤2.答案：

[－2,2]

－2≤－x≤4，

1

1

1

1

1

1

8.解析：

对于①，f（x）＝x－x，f

x

＝x－x＝－f（x），满足题意；对于②，f

x＝x＋1＝f（x）≠

x

－f（x），不满足题意；对于③，

1

1

，

1

x

，0<<1

x

x，x>1，

1

1

1

fx＝0，x＝1，

即fx＝0，x＝1，

1

－x，0

－x，x>1

，

1

故fx＝－f（x），满足题意．答案：

①③

9.解：

（1）由已知，g

（2）＝1，f

（2）＝3，∴f（g

（2））＝f

（1）＝0，g（f

（2））＝g（3）＝2.

（2）当x>0时，g（x）＝x－1，故f（g（x））＝（x－1）2－1＝x2－2x；当x<0时，g（x）＝2－x，故

x2－2x，

x>0，

f（g（x））＝（2－x）2－1＝x2－4x＋3；∴f（g（x））＝

x2－4x＋3，x<0.

10.解：

当P点在AB上运动时，y＝x（0≤x≤1）；当P点在BC上运动时，

y＝

12＋x－12＝

x2－2x＋2（1

x2－6x＋10（2

上运动时，y＝4－x（3

x，0≤x≤1，

x2－2x＋2，1

5

5

∴f2＝2.

x2－6x＋10，2

4－x，3

B组

高考题型专练

log2x－1>0，

1.解析：

∵f（x）有意义，∴

∴x>2，∴f（x）的定义域为（2，＋∞）．答案：

C

x>0.

4－|x|≥0

－4≤x≤4

2.解析：

依题意知，

x2－5x＋6

，即

，