高考文科数学全国卷1含详细答案.docx
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高考文科数学全国卷1含详细答案
_
号
证
考
----------------
在 绝密★启用前
--------------------
数学（文科）
此
--------------------
使用地区：
河南、山西、河北、江西
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分,考试时间 120
分钟.
--------------------
一、选择题：
本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
6． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:
“今有委米依垣
内角，下周八尺，高五尺.问:
积及为米几何?
”其意思为 “在屋内墙角处堆放米（如图，
米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体
积和堆放的米各为多少?
”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出
堆放的米约有 （ ）
9．执行如图所示的程序框图，如果输入的t = 0.01 ，则输出的 n = （ ）
准
__
__（）
__
__
__2．已知点 （0,1）， （3,2），向量 AC （ - 4， 3），则向量 BC =（）
上
答
一项是符合题目要求的.
1．已知
_ A．5 B．4 C．3 D．2
A（ B．（7，4） C．（-1，4） D．（1，4）
A．14 斛 B．22 斛 C．36 斛 D．66 斛
7．已知{a } 是公差为 1 的等差数列， S 为{a } 的前 n 项和.若 S = 4S ，则 a = （
n n n 8 4 10
19
D．12
8．函数 （x）=cos（ω x+ ϕ） 的部分图象如图所示，则 （x）的单调递减区间为 （
）
）
A．5 B．6 C．7 D．8
⎧2x-1 - 2, x≤1,
10．已知函数 f （ x） = ⎨ 且 f （a） = -3 ，则 f （6 - a） = （ ）
⎩- log2 （ x + 1）, x＞1,
5 3 1
4 B． - 4 C． - 4 D． - 4
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r ）组成一个几何体，该几何体三视图中
的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π ，则 r = （ ）
3．已知复数 z 满足（z-1）i=1+i，则 z=（）
A．-2-iB．-2+iC．2-iD．2+i
题
--------------------
1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（）
A． 3
1
5 C．
1 1
10 D． 20
1
无
--------------------
合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|=（）
A．3B．6C．9D．12
1 3 1 3
4 4 4 4
1 3 1 3
4 4 4 4
A．1 B．2 C．4 D．8
12．设函数 y = f （ x） 的图象与 y = 2x+a 的图象关于直线 y = -x 对称，且 f （- 2） + f - 4）
= 1 ，则 a = （ ）
A． -1 B．1 C． 2 D． 4
效
数学试卷 第 1 页（共 30 页）
数学试卷 第 2 页（共 30 页）
数学试卷 第 3 页（共 30 页）
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，
第 22～24 题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：
本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中的横线上.
13．在数列{a } 中 a = 2 ， a= 2a ， S 为 {a } 的前 n 项和.若 S = 126 ，则 n = _____.
n1n+1nnnn
14．已 知 函 数 （x） ax3 + x + 1 的 图 象 在 点 （1, f
（1）） 处 的 切 线 过 点 （ 2 , 7， 则 a =
_____.
⎧ x + y - 2≤0,
⎪
⎩
19．（本小题满分 12 分）
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：
千元）对年
销售量 y （单位：
t ）和年利润 z（单位：
千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 x 和年销售
i
量 y （i＝1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
i
21．（本小题满分 12 分）
设函数 f （x ） = e2 x - a ln x .
（Ⅰ）讨论 f （x） 的导函数 f '（x） 的零点的个数；
（Ⅱ）证明：
当 a > 0 时， f （x ）≥2a + a ln 2
请考生在第 22～24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（本小题满分 10 分）选修 4—1：
几何证明选讲
如图，AB 是⊙ O 的直径，AC 是⊙ O 的切线，BC 交⊙ O 于点 E.
（Ⅰ）若 D 为 AC 的中点，证明：
DE 是⊙ O 的切线；
（Ⅱ）若 OA= 3 CE，求∠ACB 的大小.
16．已知 F 是双曲线 C：
x2 - y 2（
周长最小时，该三角形的面积为_____.
8
i
- x）2
8
i
2
8
i=1
i
i
- y）
8
i
- ω）（ y - y）
i
4
三、解答题：
本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 12 分）
已知 a ， b ， c 分别是 △ABC 内角 A ， B ， C 的对边， sin 2 B = 2sin A sin C .
（Ⅰ）若 a = b ，求 cos B ；
（Ⅱ）若 B = 90°，且 a =2 ，求 △ABC 的面积.
18．（本小题满分 12 分）
如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 交点， BE ⊥ 平面ABCD .
（Ⅰ）证明：
平面 AEC⊥平面 BED；
i=1 i=1 i=1
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8
8
i i i
i=1
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a＋bx 与 y=c＋d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传
费 x 的回归方程类型？
（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率 z 与 x，y 的关系为 z=0.2y－x.根据（Ⅱ）的结果回答下
列问题：
（i）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：
对于一组数据（u ,v ） ， （u , v ） ，…，（u , v ） ，其回归直线v = α + β u 的斜率和截
1 1 2 2 n n
23．（本小题满分 10 分）选修 4—4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，直线 C ：
x=－2，圆 C ：
（x－1）2＋（y－2）2=1，以坐标原点为极
1 2
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求 C ， C 的极坐标方程；
1 2
（
（Ⅱ）若直线 C 的极坐标方程为 θ = π ρ ∈ R ） ，设 C 与 C 的交点为 M ， N ，求
3 2 3
△C MN 的面积.
2
（Ⅱ）若 ∠ABC = 120°， AE ⊥ EC ，三棱锥 E - ACD 的体积为6
面积.
距的最小二乘估计分别为 β =
n
i=1
n
i i
i
α = v - β u .
数学试卷第 4 页（共 30 页）
i=1
20．（本小题满分 12 分）
（
已知过点 A（0,1） 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：
x - 2）2 + （y - 3）2 = 1 交于 M，N 两点.
（Ⅰ）求 k 的取值范围；
（Ⅱ）若 OM ⋅ ON = 12 ，其中 O 为坐标原点，求|MN | .
数学试卷 第 5 页（共 30 页）
24．（本小题满分 10 分）选修 4—5：
不等式选讲
已知函数 （x）=| x+1| -2 | x - a | ， a > 0 .
（Ⅰ）当 a =1 时，求不等式 （x） 1 的解集；
（Ⅱ）若 （x）的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围.
数学试卷 第 6 页（共 30 页）
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷 1）
数学（文科）答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】D
【解析】由条件知，当 n=2 时，3n+2=8，当 n=4 时，3n+2=14，故 A
【考点】集合运算
2.【答案】A
B = {8,14}，故选 D.
【解析】
AB = OB - OA = （3,1） ，∴ BC = AC - AB = （-7, -4） ，故选 A.
【考点】向量运算
3.【答案】C
【解析】∴ （ z - 1）i = 1 + i ，∴ z =
1 + 2i （1+ 2i）（-i）
= = 2 - i ，故选 C.
i -i 2
【考点】复数运算
4.【答案】C
【解析】从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数共有 10 种不同的取法，其中的勾股数只有 3，4，5，故 3
个数构成一组勾股数的取法只有 1 种，故所求概率为
1
10
，故选 C.
【考点】古典概型
5.【答案】B
【解析】 抛物线 C:
y2 = 8x 的焦点为 （2,0） ，准线方程为 x = -2 ，∴椭圆 E 的右焦点为 （2,0） ，∴椭圆 E 的
焦点在 x 轴上，设方程为
x2 y 2
+
a2 b2
c 1
= 1（a > b > 0） ， c = 2 ， e = = ，∴ a = 4 ，∴ b2 = a 2 - c2 = 12 ，∴ 椭
a 2
圆 E 的方程为
x 2 y 2
16 12
【考点】抛物线性质；椭圆标准方程与性质
6.【答案】B
11611⎛ 16 ⎫2320
43⎝ 3 ⎭9
320
【考点】圆锥的性质，圆锥的体积公式
7.【答案】B
【 解 析 】公 差 d = 1 ， S = 4S
8
4
， ∴8a + 1
1
1 1
⎛ ⎫ 1
119
∴a = a + 9d =+ 9 =，故选 B.
101
【考点】等差数列通项公式及前 n 项和公式
8.【答案】D
ω+ϕ =
54⎝
⎪ 42
π ⎛
π ⎫
4 ⎭
2kπ < πx +
π 1 3
4 4 4
⎛ 1 3 ⎫
⎝ 4 4 ⎭
故选 D.
【考点】三角函数图像与性质
9.【答案】C
【解析】执行第 1 次， t = 0.01 ， S = 1 ， n = 0 ， m =
S = 0.5 > t = 0.01 ，是，循环，
1 m
= 0.5 ， S = S - m = 0.5 ， m = = 0.25 ， n = 1 ，
2 2
执行第 2 次， S = S - m = 0.25 ， m =
m
2
= 0.125 ， n = 2 ， S = 0.25 > t = 0.01 ，是，循环，
m
执行第 3 次， S = S - m = 0.125 ， m == 0.0625 ， n = 3 ， S = 0.125 > t = 0.01 ，是，循环，
2
m
执行第 4 次， S = S - m = 0.0625 ， m == 0.03125 ， n = 4 ， S = 0.0625 > t = 0.01 ，是，循环，
2
m
执行第 5 次， S = S - m = 0.03125 ， m == 0.015625， n = 5 ， S = 0.03125 > t = 0.01 ，是，循环，
2
m
执行第 6 次， S = S - m = 0.015625 ， m == 0.0078125 ， n = 6 ， S = 0.015625 > t = 0.01 ，是，循环，
2
执行第 7 次， = S - m = 0.0078125 ，m =
故选 C.
【考点】程序框图
10.【答案】A
m
2
= 0.00390625， = 7 ， = 0.0078125 > t = 0.01 否，输出 n = 7 ，
- log （a + 1） = -3 ，解得 a = 7 ，∴ f （6 - a） = f （-1） = 2-1-1 - 2 = -
2
7
4
，故选 A.
【考点】分段函数求值，指数函数与对数函数图像与性质
11.【答案】B
【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 ，圆柱
1
2
【考点】简单几何体的三视图，球的表面积公式，圆柱的侧面积公式
12.【答案】C
【解析】设 （ x, y） 是函数 y = f （ x） 的图像上任意一点，它关于直线 y = -x 对称为 （- y, - x） ，由已知 （- y, - x） 在
函 数 y = 2x+a 的 图 像 上 ， ∴- x = 2- y+a ， 解 得 y = - o g -
2
∴ f （-2） + f （-4） = - log 2 + a - log 4 + a = 1 ，解得 a = 2 ，故选 C.
22
【考点】函数对称，对数的定义与运算
第Ⅱ卷
二、填空题
13.【答案】6
+a， 即 f （ x） = - log （- x） + a ，
2
【解析】 a = 2 ，
1
n+1
= 2a ， 数列 {a
n
n}是首项为 2，公比为 2 的等比数列， S
2（1- 2n ）
n = = 126 ， 2n = 64 ，
∴ n = 6 .
【考点】等比数列定义与前 n 项和公式
14.【答案】1
【解析】f '（ x） = 3ax2 + 1 ，∴ f '
（1） = 3a + 1 ，即切线斜率 k = 3a + 1 ，又f
（1） = a +，∴ 切点为 （1,a + 2） ，
切线过 （2,7） ，∴ a + 2 - 7 = 3a + 1 ，解得 a = 1 .
1 - 2
【考点】利用导数的几何意义求函数的切线，常见函数的导数
15.【答案】4
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线 l :
3 x + y = 0 ，平移直线 l ，当直线 l :
z = 3x + y 过点 A
00
⎧ x + y - 2=0
时， z 取最大值，由 ⎨解得 A（1,1），∴ z = 3x + y 的最大值为 4.
⎩ x - 2 y + 1=0
【考点】简单线性规划解法
16.【答案】12 6
【解析】设双曲线的左焦点为 F ，由双曲线定义知， | PF |= 2a + | PF | ，
11
∴ △ APF 的周长为 PA + PF + AF = PA + 2a + | PF1 | + AF + 2a ，由于 2a + AF 是定值，要使 △ APF 的周长最
小，则 PA+ | PF | 最小，即 P ， A ， F 共线，
11
A（0,6 6） ， F （-3,0） ，
1
xyyy 2
∴ 直线 AF 的方程为= 1 整理得 y 2 + 6 6y - 96= 0，解得
1
y = 6 6 或 y = -8 6 （舍），所以 P 点的纵坐标为 2 6 ，
∴
AFF
1
PFF
-
1
1 1
= ⨯ 6 ⨯ 6 6 - ⨯ 6 ⨯ 2 6 = 12 6 .
2 2
【考点】双曲线的定义，直线与双曲线的位置关系，最值问题
三、解答题
17.【答案】（Ⅰ）由题设及正弦定理可得 b2 = 2ac .
又 a = b ，可得 b = 2c ， a = 2c ，由余弦定理可得 cos B =
a2 + c2 - b2 1
= ；
2ac 4
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 b2 = 2ac .因为 B = 90 ，由勾股定理得 a 2 + c 2 = b2 ，故 a 2 + c2 = 2ac ，得 c = a = 2 ，所
以 △ABC 的面积为 1.
【提示】 Ⅰ）先由正弦定理将 sin 2 B = 2sin A sin C 化为变得关系，结合条件 a = b ，用其中一边把另外两边
表示出来，再用余弦定理即可求出角 B 的余弦值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 b2 = 2ac ，根据勾股定理即可求出 c ，从而求出 △ABC 的面积.
【考点】正弦定理，余弦定理，运算求解能力
18.【答案】（Ⅰ）因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC ^ BD ，因为 BE ^ 平面 ABCD ，所以 AC ^ BE ，故
AC ^ 平面 BED ，又 AC ⊂ 平面 AEC ，所以平面 AEC ^ 平面 BED .
（Ⅱ）设 AB = x ，在菱形 ABCD 中，由 ?
ABC120 ，可得 AG = GC
3 x
x ， GB = GD = .
2 2
因为 AE ⊥ EC ，所以在 Rt△AEC 中，可得 EG =
3
2
x ，由 BE ^ 平面 ABCD ，知 △EBG 为直角三角形，
可得 BE =
2 1 1
= ?
AC GD BE
E - ACD
6 6
x3 =
24 3
，故 x = 2 ，从
而可得 AE = EC = ED = 6 ，所以 △EAC 的面积为 3， △ EAD 的面积与 △ECD 的面积均为 5 .
故三棱锥 E - ACD 的侧面积为 3+2 5 .
【提示】（Ⅰ）由四边形 ABCD 为菱形知 AC ^ BD ，由 BE ^ 平面 ABCD 知 AC ^ BE ，由线面垂直判定定
理知 AC ^ 平面 BED ，由面面垂直判定定理知 AEC ^ 平面 BED ；
（Ⅱ）设 AB =，通过解直角三角形将 AG ，GC ，GB ，GD 用 x 表示出来，在 Rt△AEC 中，用 x 表示 EB ，
根据条件三菱锥 E - ACD 的体积为6 求出 x ，即可求出三菱锥 E - ACD 的侧面积.
3
【考点】线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定，三棱锥的体积与表面积的计算
19.【答案】（Ⅰ）由散点图可判断， y = c + d x 适合作为年销售 y 关于年宣传费用 x 的回归方程类型；
（Ⅱ）令 w =x ，先求出建立 y 关于 w 的线性回归方程，由于d =
8
i=1
8
i i
i
- y ）
2
=
108.8
16
= 68 ，
i=1
∴ c = y - dw = 563 - 68 ⨯ 6.8 = 100.6 ，∴ y 关于 w 的线性回归方程为 y = 100.6 + 68 x .
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当 x = 49 时，年销售量 y 的预报值 y = 100.6 + 68 49 = 576.6 ，
z = 576.6 ⨯ 0.2 - 49 = 66.32 ；
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值 z = 0.2（100.6 + 68 x - x = +x + 13.6 x +20.12∴ 当
2
【提示】（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；
（Ⅱ）令 w =x ，先求出建立 y 关于 w 的线性回归方程，即可 y 关于 x 的回归方程；
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值，列出关于 x 的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出
年利润取最大值时的年宣传费用.
【考点】非线性拟合，线性回归方程求法，利用回归方程进行预报预测
20.【答案】（Ⅰ）由题设，可知直线 l 的方程为 y = kx +1，因为 l 与 C 交于两点，所以 | 2k - 3 +1|
解得 4-
3
7
< k <
4+ 7 骣 - 7 4+ 7
3 桫
.
（Ⅱ）设 M （ x , y ） ， N （ x , y ） ，将 y = kx +1代入方程 （ x - 2）2 +（ y - 3）2 =1 ，
1122
整理得 （1+ k 2 ） x2 - 4（k +1）x +7 = 0 ，所以 x + x = 4（k +1）
12
， xx =
1 2
7
1+ k 2
.
4k （1+ k ）4k （1+ k ）
OM ON = x x + y y = （1+ k 2 ） x x + k （x + x ） +1 =+8 ，由题设可得
1 2121 21222
+8=12 ，解得 k =1 ，
所以 l 的方程为 y = kx +1，故圆心在直线 l 上，所以 | MN |= 2 .
【提示】（Ⅰ）设出直线 l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于 k 的不等式，即可求出 k 的取
值范围；
（Ⅱ）设 M （ x , y ） ，N （ x , y ） 将直线 l 方程代入圆的方程化为关于 x 的一元二次方程，利用韦达定理将 x x ，
112212
12
| MN
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