小学数学难题解法6.docx

小学数学难题解法6.docx

《小学数学难题解法6.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学数学难题解法6.docx（100页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

小学数学难题解法6

《小学数学难题解法大全（第六辑）151~180》

目录

151、几何公理

152、几何公式

153、几何体侧面展开

154、加法运算定律

155、几何图形的计数

156、简单方程的解法

157、解一般题用得较多的技巧

158、利用间接条件

159、连续数求和的速算

160、排列与组合

161、判断题的解答

162、平面图形的计算

163、扩缩图形

164、平移变换

165、立体图形的计算

166、几何图形旋转

167、立体图形的计算1

168、逻辑思路

169、其他定理或性质

170、奇数偶数与奇偶性分析

171、容斥原理问题

172、实践与实际操作.

173、数的大小比较

174、数的大小概念

175、数的公理

176、数的整除性规律

177、数的组成

178、数字串问题

179、数阵图

180、四则运算

151、几何公理、定理或性质（返回目录）

　　【直线公理】经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

　　【直线性质】根据直线的公理，可以推出下面的性质：

　　两条直线相交，只有一个交点。

　　【线段公理】在所有连结两点的线中，线段最短。

（或者说：

两点之间线段最短。

）

　　【垂线性质】

（1）经过一点，有一条而且只有一条直线垂直于已知直线。

（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。

（也可以简单地说成：

垂线段最短。

）

　　【平行公理】经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行。

　　【平行公理推论】如果两条直线都和第三条直线平行，那么，这两条直线也相互平行。

　　【有关平行线的定理】

（1）如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。

（2）如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么，这条直线也和另一条垂直。

　　【三角形的特性】三角形有不变形的特性，一般称其为三角形的稳定性。

由于三角形有这一特性，所以在实践中它有广泛的应用。

　　【三角形的性质】三角形的性质（或定理及定理的推论），一般有：

（1）三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边。

（2）三角形三内角之和等于180°。

　　由三角形上述第

（2）条性质，还可以推出下面的两条性质：

　　①三角形的一个外角，等于它不相邻的两个内角之和。

如图1.1，∠4=∠1+∠2。

　　②三角形的一个外角，大于任何一个同它不相邻的内角。

如图1.1，

　　∠4＞∠1，∠4＞∠2。

　　【勾股定理】在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方。

　　用字母表达就是a2+b2=c2。

（a、b表直角边长，c表斜边长。

）

　　我国古代把直角三角形叫做“勾股形”，直立的一条直角边叫做“股”，另一条直角边叫做“勾”，斜边叫做“弦”。

所以我国将这一定理称为“勾股定理”。

　　勾股定理是我国最先发现的一条数学定理。

而古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）较早地证明了这个定理。

因此，国外常称它为“毕达哥拉斯定理”。

　　【平行四边形的性质】

（1）平行四边形的对边相等。

（2）平行四边形的对角相等。

　　（3）平行四边形邻角的和是180°。

如图1.2，∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180°。

　　（4）平行四边形的对角线互相平分。

如图1.2，AO=CO，BO=DO。

　　平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。

　　【长方形的性质】

　　长方形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质：

（1）长方形四个角都是直角。

（2）长方形对角线相等。

　　长方形是中心对称图形，也是轴对称图形。

它每一组对边中点的连线，都是它的对称轴。

　　【菱形的性质】菱形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质：

（1）菱形的四条边都相等。

（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

例如图1.3，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，AC平分∠A和∠C，BD平分∠B和∠D。

　　菱形是中心对称图

　　形，也是轴对称图形，它每一条对角线都是它的对称轴。

　　【正方形的性质】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

　　【多边形内角和定理】n边形的内角的和，等于（n-2）·180°。

（又称“求多边形内角和”的公式。

）

　　例如三角形（三边形）的内角和是

　　（3-2）×180°=180°；

　　四边形的内角和是

　　（4-2）×180°=360°。

　　【多边形内角和定理的推论】

（1）任意多边形的外角和等于360°。

　　这是因为多边形每一个内角与它的一个邻补角（多边形外角）的和为180°，所以，n边形n个外角的和等于n·180°-（n-2）·180°=360°。

（2）如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。

　　例如图1.4，∠1的两边分别垂直于∠A的两边，则∠1+∠A=180°，即∠1与∠A互补。

　　又∠2、∠3、∠4的两边也分别垂直于∠A的两边，则∠3和∠A也互补，而∠2=∠A，∠4=∠A。

　　【圆的一些性质或定理】

（1）半径相等的两个圆是等圆；同圆或等圆的半径相等。

（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆。

　　（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

　　（4）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

　　（5）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

　　【轴对称图形的性质】轴对称图形具有下面的性质：

（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对应点的连结线段被对称轴垂直平分。

　　例如图1.5，图中的AA′对称点连结线段，被对称轴L垂直且平分，即L⊥AA′，AP=PA′。

（2）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么，交点在对称轴上。

　　例如图1.5中，BA与B′A′的延长线相交，交点M在对称轴L上。

　　（3）两个关于某直线对称的图形，一定是全等形。

　　例如，图1.5中△ABC与△A′B′C′全等。

　　【中心对称图形的性质】如果把一个图形绕着一个点旋转180°后，它和另一个图形重合，那么，这两个图形就是关于这个点的“中心对称图形”。

　　中心对称图形具有以下性质：

（1）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

　　例如，图1.6中对称点A与A′，B与B′，C与C′，它们的连线都经过O（对称中心），并且OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′。

（2）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

152、几何公式（返回目录）

　　【平面图形计算公式】一般的平面图形计算公式，如下表。

　　【立体图形计算公式】

（1）柱体公式。

（2）锥体公式。

　　正n棱锥（如图1．13）的公式：

　　圆锥的公式（圆锥如图1．14所示）：

　　（3）棱台、圆台公式。

　　正n棱台（如图1．15）的公式：

　　圆台（如图1．16）的公式：

　　（4）球的计算公式。

　　球的图形如图1．17所示。

　　S表=4πr2；

　　附录：

其他常用公式

　　【整数约数个数公式】一个大于1的整数，约数的个数等于它的质因数分解式中，每个质因数的个数（指数）加1的连乘积。

　　例如，求4500的约数个数。

　　解∵4500=22×32×53

　　∴4500的约数个数是

　　（2+1）×（2+1）×（3+1）=36（个）。

　　【约数之和的公式】一个大于1的自然数N，将它分解质因数为

为自然数，则N的所有约数的和为S（N），可用下列公式计算：

　　例如求1992的所有约数的和。

　　解S（1992）=S（23×31×831）

　　=5040．

　　【分数拆项公式】在奥赛中，为使计算简便，经常用到下面四个分数拆项公式：

（1）连续两个自然数积的倒数，可拆成较小的自然数的倒数，减去较大的自然数的倒数。

即

（2）连续三个自然数的积的倒数，可拆成前两个自然数的积的倒数，减去后两个自然数的积的倒数的差的一半。

即

　　（3）连续四个自然数的积的倒数，可拆成前三个自然数的积的倒数，

　　（4）一般分数拆项公式。

当n、d都是自然数时，有

　　【堆垛计算公式】

（1）三角形堆垛。

计算每堆三角形物体总个数S时，可将底边个数”乘以（n+1）再乘以（n+2），然后除以6。

用式子表示就是

　　例如，“一些桔子堆成三角形堆垛，底边每边4个，顶尖1个（如图1．18）。

桔子总数是多少个？

”

　　解依据三角形堆垛公式，得

　　=20（个）。

（2）正方形堆垛。

计算底层为正方形的堆垛物体总个数S时，可将底边个数n乘以底边数加0．5的和，再乘以底边个数加1的和，最后将乘积除以3。

用式子表示，就是

　　例如，“一些苹果堆成正方形堆垛（如图1．19），底层每边放4个，顶尖放一个。

苹果总数是多少个？

”

　　解依据公式，得

　　（3）长方形堆垛。

计算底层为长方形（近似于横放的三棱柱形，图1．20。

）的堆垛物体的总个数S时，可将底层宽边的个数n1，长边的个数n2，按照下面的公式计算：

　　例如，“有一盘馒头，底边宽5个，长边上放8个，如图1．20所示，这盘馒头共有多少个？

”

　　解此题中，n1=5，n2=8。

依据长方形堆垛公式，得

　　=45+55=100（个）

　　或者是

　　（4）梯形堆垛。

计算梯形的堆垛（近似于棱台形堆垛）物体总个数S时，可将最上层总数S1，加上最下层总数S2后，乘以层数n，再除以2。

（梯形堆垛如图1．21所示。

）用式子表示就是

　　例如，“一些酒坛，堆成梯形的堆垛（图1．21），最上层为32只，最下层为45只，共堆有14层（每层差1只）。

酒坛的总数是多少只？

”

　　解依计算公式，得

　　【数线段条数的公式】若线段AB上共有n个分点（不包括A、B端点），则AB线段上共有的线段条数S，计算的公式是：

　　S=（n+1）+n+（n-1）+…+3+2+1

　　例如，求下图（图1．22）中所有线段的条数。

　　解在线段AB上，共有五个分点。

根据数线条数的公式，得

　　S=（5+1）+5+4+3+2+1

　　注意：

这一公式，还可以用来数形如图1．23的三角形个数。

　　在这个图形中，因为底边BC上有4个分点，可依据数线段条数的计算公式，得三角形的个数为

　　【数长方形个数的公式】若长方形的一边有m个小格，另一边有n个小格，那么这个图形中长方形的总个数S为

　　S=（m+m-1+m-2+……+3+2+1）×（n+n-1+n-2+……+3+2+1）

　　例如，请数出下图1．24中共有多少个不同的长方形。

　　解长方形ABCD长边上有6个小格，宽边上有4个小格。

根据数长方形总数的公式，可得

　　=21×10=210（个）。

（答略）

　　注意：

这一公式，还可以用来数形如图1．25中的梯形的个数。

　　显然，这个图形中除了△ADE以外，其余均为大大小小的梯形。

　　最大的梯形下底上有五个小格，腰边上有4个小格。

利用数长方形个数的计算公式，可得梯形的总个数S为

　　=15×10=150（个）。

（答略）

　　【数正方形个数的公式】若一个长方形的长被分成了m等份，宽被分成了n（n＜m）等份（长和宽上的每一份长度是相等的），那么这个长方形中的正方形总数S为：

　　S=mn+（m-1）（n-1）+（m-2）（n-2）+……+（m-n+1）×1

　　特殊的，当一个正方形的边长被分成n等分时，则这个图形中正方形的总个数S为：

　　例1求下图中正方形的总个数（如图1．26）。

　　解图中AB边上有7个等分，AD边上有3个等份。

根据在长方形中数正方形个数的公式，可得：

　　S＝7×3+6×2+5×1

　　=21+12+5

　　=38（个）。

（答略）

　　例2求下图（图1．27）中的正方形有多少个。

　　解图形中正方形每边上有4等分。

根据数正方形个数的计算公式，得

　　（答略）

　　【平面内n条直线最多分平面部

　　分数的公式】平面内有n条直线，其中注意两条直线都不平行，每条直线都与其他直线相交，且不交同一点。

那么，这几条直线将平面划分的部分数S为

　　例平面内有8条直线，它们彼此都相交，但不交于同一点，求这8条直线能把平面划分出多少个部分？

　　解根据平面内n条直线，最多分平面部分数的计算公式，得

　　S=2+2+3+4+5+6+7+8

　　【n个圆将平面分成最多的部分数公式】若平面上有n个圆，每个圆都与其他圆相交，且不交于同一点，那么这个圆将平面划分的最多的部分数S为

　　S=2+1×2+2×2+…+（n-1）×2

　　=n2-n+2

　　例在一个平面上有20个圆，这20个圆最多可将平面划分为多少个部分？

　　解根据平面内n个圆将平面划分成最多的部分数的计算公式，可得

　　S=2+1×2+2×2+…+19×2

　　=202-20+2

　　=400-20+2

　　=382（块）（答略）

　　【格点面积公式】

　　每个小方格的面积都是1个面积单位的方格纸上，纵横两组平行线的交点，叫做“格点”，这样的方格纸，叫做“格点平面”。

　　在格点平面上求图形的面积，可以按照上面的公式去计算：

　　图形面积=图形内部格点数+图形周界上的格点数÷2-1。

　　例如图1．28，求格点平面内A、B两个图形的面积。

　　解A图内部无格点，B图内部有9个格点；

　　A图周界上有9个格点，B图周界上有7个格点。

　　根据格点面积公式，得：

　　A图面积=9÷2-1=3.5（面积单位）

　　B图面积=（9+7）÷2-1=11．5（面积单位）（答略）

　　如果格点是由形如“∴”或“∵”构成（如图1．29），且每相邻的三点所形成的三角形面积为1的等边三角形，则计算多边形面积公式为

　　多边形面积=2×图形内部格点数+图形周界上格点数-2。

153、几何体侧面展开（返回目录）

　　【正棱柱、圆柱侧面展开】正棱柱（底面是正多边形，侧棱与底面垂直的棱柱）和圆柱的侧面展开，摊在同一个平面上，是一个矩形。

矩形的上、下对边，是柱体上、下底面的周长；矩形左右两对边，是柱体的侧棱或母线。

　　例如图1.41，将正六棱柱ABCDEF—A払扖扗扙扚捈霸仓鵒O挼牟嗝嬲箍谕黄矫嫔希愠闪司匦蜛1A抇1A抇2A2。

图中画出的是棱柱侧面展开图。

圆柱侧面展开后，也是一矩形，只是中间没有那些虚线。

%

　　【正棱锥侧面展开】正n棱锥（底面为正n边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥）侧面展开，摊在同一平面上，是顶点公共、腰与腰相连的n个全等的等腰三角形。

　　例如图1.42，将正三棱锥S—ABC的侧面展开，摊在同一个平面上，便形成了三个全等的等腰三角形SAB、SBC和SCA捪嗔耐夹巍

　　【圆锥侧面展开】圆锥侧面展开，摊在同一个平面上，变成的是一个扇形。

扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，扇形的两条半径，是圆锥的母线。

　　例如图1.43，将圆锥SO的侧面展开，摊在同一个平面上，便成了扇形

径SA、SA挼募薪铅瓤砂聪旅娴氖阶蛹扑悖篲

　　式中r是圆锥底面圆半径，l是圆锥母线的长。

　　【正棱台侧面展开】正n棱台（用一平行于正n棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面间的几何体）侧面展开，摊在同一个平面上，得到的是n个全等的等腰梯形，并且腰腰相连。

　　例如图1.44，将正三棱台ABC—A払扖挼牟嗝嬲箍谕黄矫嫔希阈纬闪烁猛加冶叩耐夹瘟恕

　　【圆台侧面展开】圆台侧面展开，摊在同一个平面上的图形，是圆环的一部分，叫做“扇环”。

这个扇环像梯形，它的两“腰”是圆台的母线，它的上、下“底”是两条弧，其弧长分别是圆台上、下底面圆的周长。

　　例如图1.45，将圆台O1O2的侧面展开，摊在同一个平面上，就形成了

154、加法运算定律（返回目录）

　　【加法交换律】两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。

这叫做“加法的交换定律”，简称“加法交换律”。

　　加法交换律用字母表达，可以是

　　a+b=b+a。

　　例如：

864+1，236=1，236+864=2，100

　　【加法结合律】三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。

这叫做“加法的结合定律”，简称“加法结合律”。

　　加法结合律用字母表达，可以是

　　（a+b）+c=a+（b+c）。

　　例如：

（48928+2735）+7265

　　=48928+（2735+7265）

　　=48928+10000

　　=58928

155、几何图形的计数（返回目录）

【点与线的计数】

　　例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：

图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？

　　（全国第二届“华杯赛”决赛试题）

　　讲析：

可用“分组对应法”来计数。

　　将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。

第一排三角形有1个，其下行线有2点；

　　第二排三角形有3个，其下行线有3点；

　　第三排三角形有5个，其下行线有4点；

　　以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。

　　所以是小三角形个数多。

　　例2直线m上有4个点，直线n上有5个点。

以这些点为顶点可以组成多少个三角形？

　　（如图5.46）

　　（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）

　　讲析：

本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。

　　直线n上有5个点，这5点共可以组成4＋3+2＋1=10（条）线段。

以这些线段分别为底边，m上的点为顶点，共可以组成4×10=40（个）三角形。

　　同理，m上4个点可以组成6条线段。

以它们为底边，以n上的点为顶点可以组成6×5=30（个）三角形。

　　所以，一共可以组成70个三角形。

【长方形与三角形的计数】

　　例1图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点，以其中不在一条直线上的3点为顶点，可以构成三角形。

在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？

　　（全国第三届“华杯赛”复赛试题）

为3的三角形，或者高为2，底为3的三角形，都符合要求。

　　①底边长为2，高为3的三角形有2×4×4=32（个）；

　　②高为2，底边长为3的三角形有8×2=16（个）。

　　所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。

　　例2图5.48中共有______个三角形。

　　（《现代小学数学》）邀请赛试题）

　　讲析：

以AB边上的线段为底边，以C为顶点共有三角形6个；

　　以AB边上的线段为底边，分别以G、H、F为顶点共有三角形3个；

　　以BD边上的线段为底边，以C为顶点的三角形共有6个。

　　所以，一共有15个三角形。

　　例3图5.49中共有______个正方形。

　　（《现代小学数学》邀请赛试题）

　　讲析：

可先来看看图5.50的两个图中，各含有多少个正方形。

　　图5.50

（1）中，正方形个数是6×3＋5×2＋4×1=32（个）；

　　图5.50

（2）中，正方形个数是4×4+3×3+2×2＋1×1=30（个）

　　如果把图5.49中的图形，分成5×6和4×11两个长方形，则：

　　5×6的长方形中共有正方形

　　5×6+4×5＋3×4＋2×3＋1×2=70（个）；

　　4×11的长方形中共有正方形

　　4×11+3×10+2×9＋1×8=100（个）。

　　两个长方形相交部分4×5的长方形中含有正方形

　　4×5+3×4＋2×3＋1×2=40（个）。

　　所以，原图中共有正方形70＋100-40=130（个）。

　　例4平面上有16个点，排成一个正方形。

每行、每列上相邻两点的距离都相等[如图5.51

（1）]，每个点上钉上钉子。

以这些点为顶点，用线将它们围起来，一共可围成______个正方形。

　　（《小学生科普报》奥林匹克通讯赛试题）

　　讲析：

能围成图5.51

（2）的正方形共14（个）；

　　能围成图5.51（3）的正方形共2（个）；

　　能围成图5.51（4）的正方形共4（个）。

　　所以，一共可围成正方形20个。

【立体图形的计数】

　　例1用125块体积相等的黑、白两种正方体，黑白相间地拼成一个大正方体（如图5.52）。

那么，露在表面上的黑色正方体的个数是_______。

　　（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

　　讲析：

本题要注意不能重复计数。

　　八个顶点上各有一个黑色正方体，共8个；

　　每条棱的中间有一个黑色正方体，共12个；

　　除上面两种情况之外，每个面有5个黑色正方体，共5×6=30（个）。

　　所以，总共有50个黑色正方体露在表面上。

　　例2把1个棱长为3厘米的正方体分割成若干个小正方体，这些小正方体的棱长必须是整数。

如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么，最少可以分割成______个小正方体。

　　（北京市第九届“迎春杯’小学数学竞赛试题）

　　讲析：

若分成｜×××｜的小正方体，则共可分成27个。

　　但是分割时，要求正方体尽可能地少，也就是说能分成大正方体的，尽可能地分。

则在开始的时候，可分出一个2×2×2的正方体（如图5.53），余下的都只能分成1×1×1的正方体了。

　　所以，最少可分成20个小正方体。

156、简单方程的解法（返回目录）

　　【一元一次方程解法】求方程的解（或根）的过程，叫做解方程。

解一元一次方程的一般步骤（或解法）是：

去分母，去括号，移项，合并同类项，两边同除以未知数x的系数。

　　解去分母，两边同乘以6，得

　　3（x-9）-2（11-x）=12

　　去括号，得3x-27-22+2x=12

　　移项，得3x+2x=12+27+22

　　合并同类项，得5x=61

　　【分式方程解法】分母中含未知数的方程是“分式方程”。

解分式方程的一般步骤（或方法）是：

（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；

（2）解这个整式方程；

　　（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根，是原方程的增根，必须舍去。

　　解方程两边都乘以x（x-2），约去分母，得

　　5（x-2）=7x

　　解这个整式方程，得x=-5，

　　检验：

当x=-5时，

　　x（x-2）=（-5）（-5-2）=35≠0，

　　所以，-5是原方程的根。

　　解方程两边都乘以（x+2）（x-2），即都乘以（x2-4），约去分母，得

　　（x－2）2-16＝（x+2）2

　　解这个整式方程，得x=-2。

　　检验：

当x=-2时，（x+2）（x-2）=0，所以，-2是增根，原方程无解。

157、解一般题用得较多的技巧（返回目录）

　　【巧换角度】从多种角度去思考、分析复合应用题，不仅可找到多种解题方法，而且还可找到比较巧妙的解法。

例如：

　　“挖一段56米长的水沟，每天